Метод неопределенных коэффициентов

Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся

«Портфолио» 2005/2006

Исследовательская работа

                  

                                   Выполнили:

                                               Мельникова Ольга,

                                                   Куренкова Екатерина

                                                   учащиеся 10А класса

                                                    МОУ «Гимназия №9»

                                                                        физико-математического профиля

                                                                 г. Усолье-Сибирское, 2006 г.

                                      Руководитель:

                              Сизых Т.В

                              учитель математики МОУ«Гимназия №9»

                                                                   высшей квалификационной категории.

 

Содержание

1. О  методе неопределенных коэффициентов                                  3

2. Функциональные  уравнения и метод неопределенных коэффициентов    4       

3. Использование  метода неопределенных коэффициентов  при выполнении тождественных  преобразований выражений           12

1) Расположение  многочлена по степеням           12   

2) Представление  произведения в виде многочлена стандартного вида      12

3. Разложение многочлена на множители              13
4. Упрощение выражений                 13
5. Избавление от иррациональности в знаменателе          14
6. О решении одного класса кубических уравнений            15

4. Заключение                                   16

5. Список  используемой литературы             17       

    

 
 

1. О методе неопределенных  коэффициентов 

     XV и XVI столетия вошли в историю Европы под названием «эпоха Возрождения». Для нее характерен расцвет науки и культуры, связанный с глубокими социальными преобразованиями.

     Итальянские математики XVI в. сделали крупнейшее математическое открытие. Они нашли формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней.

     Для решения уравнений третьей и четвертой степеней мы хотим предложить вам метод неопределенных коэффициентов. Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей – многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

1. два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х;
2. любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей;
3. любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух многочленов второй степени.

 
 
 
 
 
 
 
 

2. Функциональные уравнения  и метод неопределенных  коэффициентов

     Функциональное  уравнение» - уравнение, в котором  искомая функция связана с  известными (данными) функциями при  помощи операции образования сложной функции (помимо, быть может, алгебраических операций).

       В последние десятилетия задачи, связанные с решением функциональных  уравнений, часто предлагают участником  математических олимпиад. Такие  задачи печатаются в соответствующих  разделах журналов «Математика в школе» и «Квант». Их решение не требует знаний, выходящих за рамки программы по математике общеобразовательных школ.

     Одним из способов нахождения решений функциональных уравнений является метод неопределенных коэффициентов. Его можно применять тогда, когда по внешнему виду уравнения можно определить общий вид искомой функции. Это относится, прежде всего, к тем случаям, когда решения уравнений следует искать среди целых или дробно рациональных функций.

     Изложим суть этого приема, решая следующие задачи.

     Следует отметить, что равенства, указанные  в каждой из этих задач, являются функциональными  уравнениями.

Задача 1. Функция ¦(x) определена при всех действительных х и удовлетворяет при всех xÎR условию:

     2¦(x)+¦(1-x)=x²                                             (1)

       Найдите ¦(x).

Р е  ш е н и е. Так как в левой части уравнения над независимой переменной x и значениями функции ¦ выполняются только линейные операции, а правая часть уравнения – квадратичная функция, то естественно предположить, что искомая функция также квадратичная: ¦(x) = ax² + bx + c, где a, b, c – коэффициенты, подлежащие определению, т.е. неопределенные коэффициенты.

  Подставляя  функцию в уравнение, приходим  к тождеству:

2(ax²+bx+c) + a(1-x)² + b(1-x)+c=x² Û 3ax²+(b-2a)x+(a+b+3c)=x²

  Два  многочлена будут тождественно  равны, если равны коэффициенты  при одинаковых степенях переменной;

                                                            3a=1

                                                             b - 2a=0

                                                              a + b + 3c=0

    Из этой системы находим коэффициенты

                          a=¹ / ₃   ,  b=²/₃   , c= ^{- 1}/₃    ,

    а вместе с этим и функцию ¦(x) = ¹/₃(x²+2x-1), являющуюся искомым решением функционального уравнения.

    Докажем, что других решений  нет. Предположим, что функция  g(x) также удовлетворяет равенству (1) на множестве всех действительных чисел. При этом существует такое x₀ÎR, что g(x₀)¹¦(x₀). Тогда при x=x₀ и x=1-x₀ должны выполнятся равенства:

                         2g(x₀)+g(1-x₀)=x₀² ,

                  2g(1-x₀)+g(x₀)=(1-x₀)²,

 из  которых следует, что 

                 g(x₀)=¹/₃(x₀²+2x₀-1)=¦(x₀)             

Полученное  противоречие опровергает сделанное  предположение.

Следовательно, задача имеет единственное решение.

О т в  е т: ¦(x)=¹/₃(x²+2x-1).

Задача 2. Функция y=¦(x) при всех x определена, непрерывна и удовлетворяет условию

                          ¦(¦(x))=¦(x)+x                               (2)

Найдите две такие функции.

Р е  ш е н и е. Запишем уравнение  так:

                                                                                                                               ¦(¦(x))-¦(x)=x     (3)

Над искомой  функцией выполняется два действия – операция составления сложной функции и вычитание. Учитывая, что правая часть уравнения – линейная функция, естественно предположить, что искомая функция тоже линейная: ¦(x)=ax+b, где a и b – неопределенные коэффициенты. Подставив эту функцию в (3) и выполнив преобразования, получим равенство                 (a²-a)x+ab=x, которое должно выполнятся для всех xÎR. Это возможно только тогда, когда

                            a² - a=1

                            ab=0

Отсюда  находим  a=0,5 ^. (1±Ö5), b=0. Следовательно, имеем две непрерывные функции  ¦(x)=0,5^.(1±Ö5)x, являющиеся решениями функционального уравнения (2). Других решений задача не имеет.

О т в  е т: ¦(x)=0,5 ^. (1±Ö5)x.

Задача 3. Найдите все функции ¦: R®R, для которых равенство

 ¦(x + y) +  ¦(x - y) – 2¦(x)(1+y)=2xy(3y-x²)    (4)

выполняется при всех x, yÎ R.

Р е  ш е н и е. Правая часть равенства (4) является многочленом четвертой степени переменных x и y. В левой части равенства над этими переменными и функцией ¦ выполняются только арифметические действия. Поэтому функцию ¦ следует искать среди многочленов. Наличие слагаемого 2¦(x)(1+y) наводит на мысль, что этот многочлен должен быть третьей степени:

                ¦(x) = ax³ + bx² + cx + d       (5)

Для определения  коэффициентов a, b, c, d  подставим ¦(x) в левую часть равенства (4). Выполнив преобразования, получим:

-2ax³y + 6axy² –  2bx²y + 2by² – 2cxy – 2dy = - 2x³y + 6xy².

Приравниваем  коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

-2a= -2, 2a=6, -2b=0, 2b=0, -2c=0, -2d=0.

После этого находим: a = 1, b = с = d = 0. Следовательно, ¦(x) = x³.

Докажем от противного, что других функций, удовлетворяющих равенству (4), нет. Предположим, что существует функция  g(x), удовлетворяющая условию задачи, и такая, что g(x₀) ¹ x₀³ для некоторого x_0. Тогда при x =  x_0,   y = -1 и x = x_0, y = 1 из (4) получим два равенства:

g(x₀ – 1) + g(x₀ + 1) = - 2x₀ (-3 – x₀²),

g(x₀ + 1) + g(x₀ - 1) – 4g (x₀) = 2x₀ (3 – x₀²),

из которых  вытекает противоречие g(x₀) = x₀³.

Следовательно, ¦(x) = x³ – единственное решение задачи.