2.3. Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной надёжностью 0,95.

    Точечный  прогноз рассчитаем по формуле:

     В нашем случае тыс. у.е.

     Интервальный  прогноз рассчитаем по формуле

,

где , ,

     Вычисляем:

;

     Тогда

     При этом t_0,95;13=1,771

     Поэтому:

     Или: тыс. у.е.  ; тыс. у.е.

     Оформим результаты в таблице.

     Таблица 6.

3. Экономическая интерпретация

     На  основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости  цены автомобиля от его возраста и  мощности двигателя.

     Цена  от возраста

     На  основе визуального анализа поля рассеяния выдвигаем гипотезу о  линейной зависимости цены от возраста, методом наименьших квадратов получаем уравнение парной регрессии: - зависимость цены от возраста. Первый коэффициент определяет цену автомобиля с возрастом 0 лет, эта цена равна 20,54 тыс. у.е., второй коэффициент означает изменение цены в зависимости от изменения возраста, при «старении» на 1 год цена уменьшается в среднем на 2,51 тыс. у.е., при этом данные коэффициенты существенно отличны от нуля, то есть статистически значимы.

     В целом уравнение регрессии статистически  значимо с надёжностью 0,9.

     Если  поступает автомобиль с возрастом 3 года, то его прогнозная цена составит 13,01 тыс. у.е., и будет находиться в интервале 10,31÷15,71 тыс. у.е. с надёжностью 0,95. 
 

     Цена  от мощности

     На  основе визуального анализа поля рассеяния выдвигаем гипотезу о  линейной зависимости цены от мощности, методом наименьших квадратов получаем уравнение парной регрессии: - зависимость цены от мощности. Первый коэффициент определяет цену автомобиля мощности 0 л.с., эта цена равна 1,82 тыс.у.е., второй коэффициент означает изменение цены в зависимости от изменения мощности, при увеличении мощности на 1 л.с. цена увеличивается в среднем на 0,05 тыс. у.е., при этом данные коэффициенты существенно отличны от нуля, то есть статистически значимы. Коэффициент парной корреляции, равный 0,77 означает, что между мощностью и ценой существует сильная положительная связь, носящая прямой характер: с увеличением мощности увеличивается цена, при этом коэффициент статистически значим, то есть существенно отличен от нуля.

     Если  поступает автомобиль с мощностью  165 л.с., то его прогнозная цена составит 10,31 тыс. у.е., и будет находиться в интервале 7,52÷12,62 тыс. у.е. с надёжностью 0,95. 
 
 
 
 

Задача 2

     В базе данных магазина также содержится информация об объёме ежемесячных продаж автомобилей за прошлый год, представленная в таблице 7.

Таблица 7.

     1. Представить графически ежемесячные  объёмы продаж автомагазина. На основе визуального анализа построенного графика выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости объёма продаж от времени и записать её математически.

     2. Методом наименьших квадратов  найти оценку уравнения линейного  тренда 

     3. Для линии тренда построить  доверительную полосу надёжности 0,975. Нарисовать её на графике  вместе с линией тренда и  исходным временным рядом.

     4. С помощью уравнения тренда  найти точечный и интервальный  прогноз (надёжности 0,975) для среднего  объёма продаж на конец первого  квартала текущего года. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение

1. Представим графически ежемесячные объёмы продаж автомагазина.

     Построим  ломаную кривую изменения объема продаж от времени

Рисунок 5. Изменение объема продаж от времени

     На  основе визуального анализа построенного графика выдвигаем гипотезу о  линейном виде статистической зависимости  объёма продаж от времени и запишем  её математически:

2. Методом наименьших квадратов находим оценки уравнения линейного тренда

     Система нормальных уравнений имеет вид:

     При этом коэффициенты находятся из уравнений.

Составим  расчётную таблицу

Таблица 8.

     Получаем

     Следовательно, уравнение тренда (регрессии) будет  иметь вид:

     3. Для линии тренда построим  доверительную полосу надёжности 0,975 и нарисуем её на графике  вместе с линией тренда и  исходным временным рядом.

     Доверительные интервалы для объёма продаж рассчитываем по формуле.

где   - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала в точке ;

      - квантиль распределения Стьюдента  с доверительной вероятностью  1-a и числом степеней свободы n-2. При a=0,025 t_0,025;10=2,7638.

     Расчётная таблица

     Таблица 9.

- стандартная ошибка 

; - остаточная дисперсия уравнения регрессии.

     Рассмотрим  уравнение парной регрессии.

Иллюстрируем  графически

Рисунок 6. Поле рассеяния с полосой надежности. 

     4. С помощью уравнения тренда  найти точечный и интервальный  прогноз (надёжности 0,975) для среднего  объёма продаж для t=15.

     Точечный прогноз

 тыс. у.е.

     Интервальный  прогноз

,

или

тыс. у.е.

тыс. у.е. 

Задача 3

     Проверка  моделей на автокорреляцию и мультиколлинеарность.

     1. Для регрессионных моделей:

 и 

с помощью  критерия Дарбина – Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости α=0,05.

     2. Для регрессионной модели 

проверим  наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используем:

     а) парный коэффициент корреляции (приближённо);

     б) критерий «хи - квадрат» χ² на уровне значимости α=0,05. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Решение

     1. Для регрессионных  моделей

 и 

с помощью  критерия Дарбина – Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости α=0,05.