Эконометрика. Задача

Таблица 3.

Представим  полученные результаты графически

     Рисунок 3. Поле рассеяния с полосой надежности.

     Рассмотрим  второе уравнение парной регрессии.

2. - зависимость цены от мощности.

     Составим  расчётную таблицу

     Таблица 4.

 
 
 
 
 
 

Представим полученные результаты графически

     Рисунок 4. Поле рассеяния с полосой надежности. 

     1.6. На продажу поступила очередная  партия однотипных автомобилей.  Их возраст 3 года, мощность двигателя  165 л.с. Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

     1) Подставляем в первую модель возраст 3 года, получаем точечный прогноз:

тыс. у.е.

     Подставляем точечный прогноз среднего цены и в уравнения границ доверительного интервала и получаем интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,95:

, или  ; тыс. у.е.

     2) Подставляем во вторую модель мощность 165 л.с., получаем точечный прогноз:

 тыс. у.е.

     Подставляем точечный прогноз среднего цены и в уравнения границ доверительного интервала и получаем интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,95:

, или  ; тыс. у.е.

     2. Множественная зависимость

     2.1. По методу наименьших квадратов  находим оценки коэффициентов  множественной линейной регрессионной  модели 

     Система нормальных уравнений имеет вид.

     Находим численные значения оценок в данной задаче. Обозначим:

; ; ;

     Тогда  

    Для этого выполним следующие расчеты:

              

    

    

    

    

     Множественная линейная регрессионная модель

имеет вид:

     2.2. Проверим статистическую значимость  параметров и уравнения множественной  регрессии с надёжностью 0,9.

     Расчётная таблица

     Таблица 5.

    По  таблице критических точек определяем фактическое значение t-критерия Стьюдента:

t_0,95;13=1,771.

    Рассчитаем  стандартные ошибки коэффициентов  регрессии по формуле:

 j=0,1,…,m,

где z_jj – диагональные элементы обратной матрицы (X^T×X)^-1, которые равны соответственно:

     ,

     ,

     ,

    Т.к. неравенство t_Ф > t_0,95;13=1,771 выполняется для всех коэффициентов, то коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, т.е. они существенно отличны от нуля.

     Проверим  статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии  с надёжностью 0,9:

     Проверка осуществляется по формуле:

, где r_xy – коэффициент множественной корреляции.

     Коэффициент множественной корреляции определяется по формуле:

             

     Коэффициент детерминации равен: 0,9911, следовательно, множественная регрессия объясняет 99,11 % колебаний значений y. Это свидетельствует о суммарном влиянии независимых переменных x₁ и x₂ на y.

     Проверим  статистическую значимость коэффициента множественной корреляции:

     

     Условие выполняется, следовательно, коэффициент  множественной корреляции существенно  отличен от нуля. 
 

     Проверим  уравнение регрессии на значимость:

 для зависимости у от х₁ и x₂.

    При уровне значимости a=0,1 и количестве степеней свободы df₁=1,                 df₂=16-3=13 определяем, что табличное значение F-статистики Фишера будет равно F_т(0,1;1;13)=3,14. Т.к. F_т<F_ф то признается статистическая значимость уравнения регрессии, и оно может быть использовано в прикладных целях.