Уравнение Слуцкого. Экономическое значение

     Пусть:

     x₁ – количество сена, x₂ – количество силоса, x₃ – количество сенажа,

     p₁=4500, p₂=500, p₃=600 - цены на 1 тонну продукта,

     k₁=3,5; k₂=2; k₃=2,2  - капитал на 1 тонну продукта,

     l₁ =5; l₂=2; l₃=2 - труд на 1 тонну продукта,

     r₁=6; r₂=2,5; r₃=2,7 - сырье на  1 тонну продукта,

     K= 432,5 - всего капитала, (машино-час.)

     L=  499- всего трудовых ресурсов, (человеко-час)

     R= 623,5 всего сырья.(тонн)

     Тогда получаем конкретную модель: 

     x₁× 4500+ x₂× 500+ x₃× 600 ® max  - целевая функция (размер прибыли)

     x₁× 3,5+ x₂× 2+ x₃× 2,2<= 432,5 ü

     x₁× 5+ x₂× 2+ x₃× 2<=499       ý- ограничения по ресурсам

     x₁× 6+ x₂× 2,5+ x₃× 2,7<=623,5 þ 

     Далее используя компоненту Поиск решения  в приложении Microsoft Office 2007, ввести данные в форму настройки поиска решений, предварительно подготовив нижеследующую таблицу.

     Таблица 1

       В таблице 1 мы находим размер  максимальной  прибыли, равной 303500 рублей при производстве 53 тонны сена, 52 тонны силоса и 65 тонн сенажа. 
 

     Задача 2

     Решите  задачу потребительского выбора, найдя  функции спроса, при ценах благ p₁=5, p₂=1 и доходе I=40, с функцией полезности U=(x₁-3)^1/2×(x₂ –1)^2/3®max.

     Изобразите  допустимое множество и кривые безразличия.

     Решение:

     Пояснение к решению задачи:

     Формально задача потребительского выбора имеет  вид:

     U (х₁, х₂) → (max) 

     р₁х₁ + р₂х₂ ≤ I                                    (25)

     х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0,

     где р₁, р₂ – рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а I – доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов, величины р₁, р₂, I – заданы (экзогенные).

       А формула №25  - это бюджетное ограничение означающее, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода.

     Задача  заключается в выборе такого потребительского набора (х₁⁰, х₂⁰), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

     Набор (х₁⁰, х₂⁰), которой является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным равновесием потребителя или локальным рыночным равновесием потребителя.

       Для того чтобы найти потребительский  набор (х₁⁰, х₂⁰) воспользуемся функцией полезности U в модели Стоуна. Она характеризуется минимальным объемом потребления x₁⁰ _, x₂⁰ и коэффициентом полезности для каждого из товаров a₁ и a₂, соответственно. В нашем случае x₁⁰ =3_, x₂⁰=1, a₁=1/2 и a₂=2/3.

     Т.е  в данной задаче при заданном бюджетном ограничении потребительский набор, максимизирующий функцию полезности равен (3,1).

     Функция спроса модели Стоуна имеет вид:

     x_i= x_i⁰+ a_i (I - p_j x_j⁰) / [p_i a_j] , где i = 1..n – вид товара.                        (26)

      Эту функцию легко интерпретировать. Вначале приобретается минимально необходимое количество каждого блага a_i. Затем рассчитывается сумма денег, оставшаяся после этого, которая распределяется пропорционально «весам» важности α_i. Разделив количество денег на сумму р_i, получаем дополнительно приобретаемое, сверх минимума, количество i – го блага и добавляем его к а_i.

     Используя формулу, получаем функции спроса:

           x₁= 3+0, 5*(40-5*3-1*1)/(5*(0, 5+0,67)) = 7,1

           x₂= 1+0,67*(40-5*3-1*1)/(1*(0, 5+0,67)) = 9,74.

     То  есть х₁=7.1 и х₂=9.74 – это набор продуктов, которые можно приобрести не превышая доход.

     Далее находим фукцию бэджетного ограничения:

         ;                                                                          (27)

       9,74-1) = =2,02*4,27=8,62

     Выводим формулу  кривой безразличия x^u₂:

                                                                                    (28) 

     Далее составим таблицу с допустимым множеством значений и построим кривые безразличия и прямую бюджетного ограничения.

     Таблица 2

 

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 3. Кривая безразличия (х2U=max) и прямая бюджетного ограничения (х2бюдж).

Задача 4

  На  графике изображены карта кривых безразличия производственной функции, показывающая возможные уровни производства при различных сочетаниях ресурсов: труда (x₁) и капитала (x₂). Точка А - показывает реальное сочетание ресурсов (технологический способ). ВС – линия бюджетного ограничения, показывает множество комбинаций ресурсов, расходы на покупку которых одинаковы. 

    
 
 
 
 
 
 
 
 

  Отметьте  на графике точку, соответствующую  ситуации:

     Задание 19: Оптимальный уровень производства при условии, что уровень заработной платы повысился в 1,5 раза, а плата за капитал осталась прежней.

     Решение:

     Изобразим графически на рисунке 5: 

     

     Рисунок 5.  
 

  На  рисунке 5 Оптимальное сочетание ресурсов, дающее максимальную прибыль, достигается в точке D касания линии бюджетного ограничения и кривой безразличия Y₃. Новая линия бюджетных ограничений ВС₁ соответствует условиям задачи. Так как, по условию задачи, уровень заработной платы повысился в полтора раза, а плата за капитал осталась прежней, отрезок ОС₁ в 1,5 раза длиннее отрезка ОС, о отрезок ОВ не изменился. 

 

     Решение:

     Межотраслевой баланс представляет собой таблицу, характеризующую взаимосвязи между объектами экономической системы. Предполагается, что экономическая система состоит из n отраслей, каждая из которых производит некоторый однородный продукт, отличный от продуктов других отраслей, поэтому каждая отрасль представлена в таблице дважды: в качестве производителя и в качестве потребителя продукции других отраслей.

     Построим  математическую модель межотраслевого баланса, разделив свое решение поэтапно.

1. Проверка баланса исходной таблицы 3, для этого вычисляются итоги по каждому столбцу. Сумма итогов потребления и конечного продукта равна итогу валового продукта, в данном случае 773 (таблица 3.1).

Таблица 3.1.

                                     Исходная матрица