2. Математическое  значение уравнения  Слуцкого

      

     Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение Слуцкого.

     Это уравнение позволяет увязать  действие эффекта дохода с результирующим изменением спроса.

     Основное  матричное уравнение: 

       можно записать следующим образом:

      =    (9) 

     Решение этой системы относительно показателей сравнительной статики по спросу имеет вид:

           (11)

     Здесь - обратная матрица Гессе, а - скалярная величина. Можно показать, что поэтому скаляр можно интерпретировать как коэффициент убывания предельной полезности денег.

     Сравнивая (11) и (12) замечаем, что 

     Сопоставляя это уравнение с (10), получаем 

                                             (13)

     Равенство (13) называется уравнением Слуцкого. Это  же уравнение называют основным уравнением теории ценности.

     В координатной форме уравнение Слуцкого выглядит так:

                     (14)

     Первое  слагаемое в правой части описывает  действие эффекта замены (т. е. компенсированное изменение цены на спрос), второе – действие эффекта дохода (влияние изменения дохода на спрос), выраженное в тех же единицах измерения. Слева записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода.

     Перепишем уравнение следующим образом:

                        (15)

     Из (4) следует, что матрица влияния  замены симметрична и отрицательно определена. Из отрицательной определенности следует

                                                   (16)

     Отсюда  вывод 1– компенсированное возрастание  цены товара приводит к уменьшению спроса на этот товар.

     Из  симметричности матрицы влияния  замены и уравнения (15) получаем:

     

     Поэтому уравнение Слуцкого, в частности, означает, что:

                      (17)

     Здесь производная  называется влиянием на спрос (на j – й товар) изменения частной цены (цены j - го товара). Равенство (17) используют для характеристики типов товаров.

     Товар вида j называется:

     1) нормальным, если ;

     2) товаром Гиффина, если ;

     3) ценным, если ;

     4) малоценным, если .  

     Два товара i и j являются:

       А) взаимозаменяемыми, если ;

     Б) взаимодополняемыми, если  .

     На графике это обусловлено выпуклостью линий уровня функции полезности!

     Как следует из (16) и (17), должно быть:

     

     С учетом условия  приходим к следующим выводам:

     А) если , то обязательно ;

     Б) если , то обязательно .

     Отсюда  вывод 2, товар Гиффина не может  быть ценным, т. е. он обязательно малоценный.

     В общем случае каждый товар попадает в одну из следующих категорий.

1. нормальный и ценный ( ; );
2. нормальный и малоценный ( ; )
3. товар Гиффина и малоценный ( ; ).

 
 

     Выпишем и проверим уравнение Слуцкого для рассмотренной задачи потребительского выбора с функцией полезности: 

      Пусть U (x₁,x₂) = x₁ * x₂ → max, тогда

                                                                       (18)

        

                                                                     (19)

       ,                                                                    (20)

                                                                              (21)

                       (22)

     Отсюда

      ,                          (23)

       и                                        (24) 

     Итак, в обоих случаях уравнения  Слуцкого (при i = j и при ij) здесь выполнены. 
 
 
 
 
 
 

     

3. Практическая  часть

 

     Задача 1

     Опишите процесс моделирования в принятии управленческого решения из опыта вашей деятельности (производственной или по управлению домашним хозяйством), отмечая отдельные этапы и выделив критерии отбора оптимального решения. Выделите экзогенные и эндогенные переменные модели.

     Решение:

     Пример (рассмотрим постановку задачи планирования выпуска при ограниченных ресурсах из курса линейного программирования).

     Проблема. Руководители фирмы, производящей несколько видов продукции, хотят выяснить, каким должен быть план выпуска по каждому виду продукции, чтобы предприятие  работало наиболее  эффективно.

     Постановка  задачи: Имеется фирма, производящая несколько видов продукции. Определить объемы производства с целью максимизации прибыли.

     Анализ  ситуации: Для того чтобы решить задачу, необходимо выделить наиболее существенные элементы и отбросить незначительные, то есть нужно построить модель, доступную с точки зрения расчета и в то же время отражающую самые главные свойства процесса. Анализ производится с учетом реальной ситуации. Решение о том, какие факторы будут выбраны как существенные, во многом субъективно, то есть зависит от способностей, личной заинтересованности и компетентности модельера.

     Будем считать, что из анализа ситуации мы узнали следующее. В процессе производства используется три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье; ресурсы однородны; количества их известны и в данном  производственном цикле увеличены быть не могут. Известен расход каждого из ресурсов, а также прибыль на единицу продукции каждого вида.

     Что мы не учли при постановке?

     Поставленная  задача далеко не всегда хорошо описывает  ситуацию и соответствует задачам  лица, принимающего решение. В действительности, по крайней мере:

1. ресурсы могут быть взаимозаменяемы;
2. затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (постоянные и переменные);
3. объемы ресурсов не строго фиксированы, так могут продаваться, покупаться, сдаваться в аренду;
4. ресурсы неоднородны и разные их составляющие по разному влияют на выпуск;
5. цена продукта может зависеть от объема реализации (неконкурентный рынок), то же - и цена ресурса;
6. фирма может использовать не одну, а выбирать из нескольких технологий, характеризующихся определенными сочетаниями ресурсов;
7. размер прибыли может быть оценен по-разному, это, например, зависит от налоговой системы;
8. предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, значит, целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;
9. реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени,  важны динамические взаимосвязи;
10. на ситуацию могут оказать влияние случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

     Построение  гипотезы: Построение модели в рамках  линейного программирования (формулирование целевой функции, ограничений и граничных условий), несмотря на  простоту модели, даст решение, приемлемое в реальной обстановке.

     Формализация (построение  математической модели – в виде формул  или алгоритмов): включает в себя выбор переменных и установление связей между ними.  В нашем случае это три неравенства, ограничивающие затраты ресурсов и выражение для расчета прибыли в качестве целевой функции.

     Введем  обозначения для эндогенных переменных – тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не известны заранее. В нашем случае – это неизвестные  объемы производства x₁, ... , x_n.

     Опишем  экзогенные переменные (заданные вне модели, то есть известные заранее). В задаче заданы количества К - капитал, L - труд и количество сырья R, а также коэффициенты их расхода на единицу продукции каждого вида: к_i, l_i, r_i.

       Для каждого вида продукции,  расходов ресурсов на единицу  продукции и для прибыли на единицу р_i мы  ввели индекс i, он меняется от 1 до n. Индексы позволяют нам записать связи в наиболее компактной, удобной для восприятия форме.

     Закончив описание переменных и параметров, переходим к установлению связей между переменными задачи.

     Совокупный  расход каждого вида ресурса не должен превышать допустимое значение:

     x₁× k₁+ x₂× k₂+…+ x_n× k_n<= K  ü

     x₁× l₁+ x₂× l₂+ …+x_n× l_n<= L ý- ограничения по ресурсам

     x₁× r₁+ x₂× r₂+…+ x_n× r_n<= R þ

     x₁× p₁+ x₂× p₂+…+ x_n× p_n®max        - целевая функция (размер прибыли)

       Мы сформулировали задачу линейного  программирования – по известному математическому методу. Далее пользуясь методом и подставляя реальные значения, мы можем дать руководителям фирмы вполне конкретные рекомендации по плану выпуска продукции.  Следует отметить, что не всегда задача сводится к известным математическим приемам, она может потребовать разработки и нового способа решения.

     Анализ  адекватности модели - последний этап моделирования. Здесь, например, можно принять во внимание, что расходы ресурсов на единицу продукции, и другие экзогенные переменные являются случайными величинами. Поэтому достижение максимальной прибыли возможно лишь с вероятностью, определение которой и даст ответ на вопрос о приемлемости решения.

     Для примера, опишем модель производства корма для сельского хозяйства: сена, силоса и сенажа. Здесь применяется относительно однородное сырье – трава.