Стохастические модели в экономике

      Для изготовления изделий А,Б,В и Г используется 3 вида ресурсов. Затраты ресурсов на единицу продукции и прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице. Определить, сколько и какой продукции надо выпустить, чтобы получить максимальную прибыль. 

Вид ресурсов	Кол-во ресурсов	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции
		А	Б	В	Г
1	60	3	5	2	4
2	400	22	14	18	30
3	128	10	14	8	16
Прибыль	-	30	25	56	48

 

     Обозначим переменные задачи:

     i – индекс ресурсов; i = 1,m; m = 3;

     j – индекс продукции; j = 1,n; n = 4;

     х _j – количество произведенной продукции j-го вида;

     b _i – количество ресурсов i- го вида;

     a _{i j} – нормы затрат i-го ресурса для j-го вида продукции;

     с _j – прибыль от единицы произведенной продукции j-го вида;

     m – множество видов ресурсов;

     n – множество видов продукции. 

     Математическая  модель задачи в общем виде:

     целевая функция – максимум прибыли: max Z = с _j х _j ;

     ограничения на количество ресурсов: a _{i j} х _j b _i;

     неотрицательность переменных: х _j 0. 

     Математическая  модель задачи в развернутом виде:

     целевая функция – максимум прибыли: max Z = с ₁ х ₁ + с ₂ х ₂ + с ₃ х ₃ + с ₄ х ₄

     ограничения на количество ресурсов: 

     a ₁₁ х ₁ + a ₁₂ х ₂ + a ₁₃ х ₃ + a ₁₄ х ₄ b ₁;

     a ₂₁ х ₁ + a ₂₂ х ₂ + a ₂₃ х ₃ + a ₂₄ х ₄ b ₂;

     a ₃₁ х ₁ + a ₃₂ х ₂ + a ₃₃ х ₃ + a ₃₄ х ₄ b ₃; 

     неотрицательность переменных: х ₁ 0; х ₂ 0; х ₃ 0; х ₄ 0.  

     Математическая  модель задачи с числовыми данными:

     целевая функция – максимум прибыли: max Z = 30 х ₁ + 25 х ₂ + 56 х ₃ + 48 х ₄ 

     ограничения на количество ресурсов: 

     3 х ₁ + 5 х ₂ + 2 х ₃ + 4 х ₄ 60;

     22 х ₁ + 14 х ₂ + 18 х ₃ + 30 х ₄ 400;

     10 х ₁ + 14 х ₂ + 8 х ₃ + 16 х ₄ 128; 

     неотрицательность переменных: х ₁ 0; х ₂ 0; х ₃ 0; х ₄ 0.  
 

     Задача 7. 

     Распределить  работу между тремя рабочими таким образом, чтобы максимизировать выпуск валовой продукции при производстве деталей трех видов. Трудоемкость изготовления деталей рабочими, их количество и цена, а также фонд времени каждого рабочего приведены в таблице. 

	Трудоемкость  изготовления деталей, мин.			Фонд  времени рабочих, ч
	А	Б	В
1 рабочий	8	6	17	180
2 рабочий	9	7	20	180
3 рабочий	2	5	15	120
План  выпуска деталей	88	150	40	-
Цена  детали, руб.	0-15	0-40	1-20	-

     Обозначим переменные задачи:

     i – индекс рабочих; i = 1,m; m = 3;

     j – индекс деталей; j = 1,n; n = 3;

     х _ij – количество деталей j-го вида, изготовленных i-м рабочим;

     Т _i – фонд времени i-го рабочего;

     t _{i j} – трудоемкость изготовления j-й детали i-м рабочим;

     b _j – план выпуска деталей j - го вида;

     с _j – цена j-й детали;

     m – множество рабочих;

     n – множество видов деталей. 

     Математическая  модель задачи в общем виде:

     целевая функция – максимум валового выпуска  деталей: max Z = с _j х _ij ;

     ограничения на фонд времени: t _{i j} х _ij Т _i;

     ограничения на план выпуска деталей: х _ij b _j; 

     неотрицательность переменных: х _ij 0. 

     Математическая  модель задачи в развернутом виде:

     целевая функция – максимум валового выпуска  деталей:

     max Z = с₁х₁₁ + с₂х₁₂ + с₃ х₁₃ + с₁х₂₁ + с₂ х₂₂ + с₃х₂₃ + с₁х₃₁ + с₂х₃₂ + с₃ х₃₃ 

     ограничения на фонд времени:

     t ₁₁х ₁₁ + t ₁₂ х ₁₂ + t ₁₃ х ₁₃ Т₁;

     t ₂₁ х ₂₁ + t ₂₂х ₂₂ + t ₂₃ х ₂₃ Т₂;

     t ₃₁ х ₃₁ + t ₃₂ х ₃₂ + t ₃₃х ₃₃ Т₃; 

     ограничения на план выпуска деталей:

     х ₁₁ + х ₂₁ + х ₃₁ b ₁;

     х ₁₂ + х ₂₂ + х ₃₂ b ₂;

     х ₁₃ + х ₂₃ + х ₃₃ b ₃; 

     неотрицательность переменных: х ₁₁ 0; х ₁₂ 0; х ₁₃ 0; х ₂₁ 0; х ₂₂ 0; х ₂₃ 0; х ₃₁ 0; х ₃₂ 0; х ₃₃ 0.  

     Математическая  модель задачи с числовыми данными:

     целевая функция – максимум валового выпуска  деталей:

     max Z =0,15х₁₁ + 0,40х₁₂ + 1,20х₁₃ + 0,15х₂₁ + 0,40х₂₂ + 1,20х₂₃ + 0,15х₃₁ + 0,40х₃₂ + 1,20х₃₃ 

     ограничения на фонд времени:

     8х ₁₁ + 6 х ₁₂ + 17 х ₁₃ 180;

     9 х ₂₁ + 7х ₂₂ + 20 х ₂₃ 180;

     2 х ₃₁ + 5 х ₃₂ + 15х ₃₃ 120; 

     ограничения на план выпуска деталей:

     х ₁₁ + х ₂₁ + х ₃₁ 800;

     х ₁₂ + х ₂₂ + х ₃₂ 150;

     х ₁₃ + х ₂₃ + х ₃₃ 40; 

     неотрицательность переменных: х ₁₁ 0; х ₁₂ 0; х ₁₃ 0; х ₂₁ 0; х ₂₂ 0; х ₂₃ 0; х ₃₁ 0; х ₃₂ 0; х ₃₃ 0.  

     Транспортная  задача.

     Составить и решить транспортную задачу методом потенциалов. Допустимый план получить методом северо-западного угла.  

     На  трех заводах находится соответственно 110, 90 и 50 тыс.штук кирпича. На строительные объекты требуется доставить 40, 50, 100 и 60 тыс.штук кирпича соответственно.

     Стоимость перевозки одной тысячи штук кирпича  из пункта а₁ в пункты b₁, b₂, b₃, b₄ соответственно 4; 2; 2; 5 ден.ед., из пункта а₂ – 5; 4; 1; 3 ден.ед., а из пункта а₃ – 4; 2; 3; 1 ден.ед.

       Требуется найти оптимальный  план перевозок так, чтобы общая сумма транспортных расходов была минимальной.  

Заводы	Объекты				Мощности
	1	2	3	4
1	4	2	2	5	110
2	5	4	1	3	90
3	4	2	3	1	50
Потребности	40	50	100	60

 

     40+50+100+60 = 110+80+60, следовательно, задача – закрытого типа. 

	b1	b2	b3	b4	a i
а1	40              4	50              2	20              2	5	110
а2	5	4	80              1	10              3	90
а3	4	2	3	50              1	50
b j	40	50	100	60

 

      ₁=0, ₁= ₁+ с₁₁ = 0+4=4

      ₂= ₁+ с₁₂ = 0+2=2

      ₃= ₁+ с₁₃= 0+2=2

      ₂ = ₃ – с₂₃ = 2-1 = 1

      ₄= ₂+ с₂₄ = 1+3= 4

      ₃ = ₄ – с₃₄ = 4-1= 3 

	1=4	2= 2	3=2	4=4
1 = 0	40             4	50              2	20              2	5
2 =1	5	4	80               1	10                                                         3
3 = 3	4	2	3	50                                1