Стохастические модели в экономике

 

     Решение. В правом верхнем углу каждой клетки проставлены тарифы (стоимости) перевозок по различным маршрутам. Начнем возить кирпич по более дешевым маршрутам. Со второго завода завезем 50 тыс. штук на 2 объект. С третьего завода завезем 60 тыс.шт. на 4 объект. Получим таблицу 2. 

Таблица 2.

Заводы	Объекты								Объёмы  перевозок кирпича
	1		2		3		4
1		4		5		2		2	110
2		8		1		7		6	80	30
			50
3		4		2		3		1	60
							60
Потребности	40		50		100		60

 

     Дальше  завезем 100 тыс.шт. с первого завода на 3 объект. Осталось завезти кирпич только на 1 объект. Туда завезем 10 тыс.шт. с 1 завода и 30 тыс.шт. со 2 завода. Получим таблицу 3. 

Таблица 3.

Заводы	Объекты								Объёмы перевозок кирпича
	1		2		3		4
1		4		5		2		2	110	10
	10				100
2		8		1		7		6	80	30
	30		50
3		4		2		3		1	60
							60
Потребности	40		50		100		60

 

     Подсчитаем  расходы на перевозку кирпича:

     10*4+100*2+30*8+50*1+60*1 = 590 тыс.руб. 

     Самый дорогой маршрут – (2,1) = 30*8 = 240 тыс.руб.

     Попробуем улучшить план перевозок.

     Поставим  тонну груза на маршрут (2,3), для равновесия снимем с маршрута (2,1); добавим в маршрут (1,1) и снимем с маршрута (1,3). Получим изменение стоимости перевозок: 7+4-8-2=1. Этот вариант не подойдет, т.к. увеличивает стоимость перевозок.

     Проверим  клетку (1,2). Для нее имеем: 5+8-4-1=8. Эта клетка также не подходит.

     Следовательно, предложенный маршрут является оптимальным.

     Теория  игр исследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наивыгоднейших производственных решений системы научных и хозяйственных экспериментов, с организацией статистического контроля, хозяйственных взаимоотношений между предприятиями всех форм собственности, между хозяйствующими субъектами и коммерческими банками. Формализуя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру двух, трех и т. д. игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своей выгоды, своего выигрыша за счет другого.

     Решение подобных задач требует определенности в формулировании их условий: установления количества игроков и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является стратегия, т. е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной – функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к некоторой системе дифференциальных уравнений

      На  промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимальных решений, например при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, в вопросах качества продукции и других экономических ситуациях. В первом случае противоборствуют две тенденции: увеличении запасов, в том числе и страховых, гарантирующих бесперебойную работу производства; сокращения запасов, обеспечивающих минимизацию затрат на их хранение; во втором – стремления к выпуску большего количества продукции, ведущее к снижению трудовых затрат, к повышению качества, сопровождающемуся часто уменьшением количества изделий и, следовательно, возрастанием трудовых затрат. В машиностроительном производстве противоборствующими направлениями являются стремление к максимальной экономии металла в конструкциях, с одной стороны, и обеспечение необходимой  прочности  конструкций – с другой.

      В сельском хозяйстве теория игр может  применяться при решении экономических задач, в которых оппозиционной силой выступает природа, и когда вероятность наступления тех или иных событий многовариантна или неизвестна.

      Природные условия нередко сказываются  и на эффективности работы промышленных предприятий.

      Рассмотрим  пример.

      ОАО «Элема» выпускает одежду, которая реализуется через сеть фирменных магазинов. Сбыт продукции во многом зависит от состояния погоды (теплая, холодная). ОАО «Элема» занимается производством женской одежды двух видов: платья и костюмы. Затраты на производство и реализацию единицы продукции составляют: костюмы ОАО «Элема» 270 руб., платья ОАО «Элема» 80 руб., а продажная цена ОАО «Элема» 480 и 160 руб. По данным наблюдений, ОАО «Элема» может реализовать в течение мая в условиях теплой погоды 1200 костюмов и 3950 платьев, а при холодной погоде 2000 костюмов и 1250 платьев.

      Задача  состоит в максимизации средней  величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом капризов погоды. ОАО «Элема» располагает в этих ситуациях двумя стратегиями: в расчете на теплую погоду (стратегия А); в расчете на холодную погоду (стратегия В).

      Если  принимается стратегия А и погода будет теплой (стратегия природы С), то вся продукция будет реализована, значит, будет получена прибыль от реализации  П(АС): 

      П(АС) = 1200 * (480 - 270) + 3950 * (160 - 80) = 568 000 руб. 

      Если  АО примет стратегию А и погода будет холодной (стратегия природы Д), то костюмы будут проданы полностью, а платья – только в количестве 1250 шт. Прибыль АО в данном случае П(АД) составит: 

      П(АД) = 1200 * (480 - 270) + 1250 * (160 - 80) - (3950 - 1250) * 80 =

      = 136 000 руб. 

      Аналогичным образом можно определить прибыль  предприятия в случае применения им стратегии В. В условиях теплой погоды (стратегия природы С) прибыль П(ВС) составит: 

      П(ВС) = 1200 * (480 - 270) + 1250 * (160 - 80) - (2000 - 1200) * 270  =

      =136 000 руб. 

      Принятие  той же стратегии, но в условиях холодной погоды, позволит реализовать всю выпущенную продукцию, и прибыль П(ВД) в этом случае составит: 

      П(ВД) = 2000 * (480 - 270) +1250 * (160 - 80) = 520 000 руб. 

      Рассматривая  ОАО «Элема» и природу в качестве двух игроков Р|И получим по итогам произведенных расчетов так называемую платежную матрицу следующего вида.

      По  данным платежной матрицы игрок  Р (ОАО «Элема») никогда не получит прибыль меньше 136 000 руб. Если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то прибыль АО (выигрыш) будет составлять 568 000 или 520 000 руб. Если игрок Р₁ будет постоянно принимать стратегию А, а игрок Р₂ –стратегию Д, то прибыль снизится до 136 000 руб. То же самое будет, если игрок Р₁ постоянно принимает стратегию В, а игрок Р₂ – стратегию С. Следовательно, ОАО «Элема» может обеспечить себе наибольшую прибыль, если будет попеременно принимать то стратегию А, то стратегию В. Такая стратегия называется смешанной, а ее элементы (А и В) – чистыми стратегиями. 

    Платежная матрица

                                                                                                                (руб.)

Игроки	( ОАО «Элема»)
(природа)	стратегии	стратегия  А	стратегия  В	min по строкам
	стратегия  С	568000	136 000	136 000
	стратегия Д	136000	520 000	136 000
	max по столбцам	568 000	520 000	-

 

      Оптимизация смешанной стратегии позволит игроку всегда получать среднее значение выигрыша (прибыли) независимо от стратегии игрока Р₂. Для оптимизации смешанной стратегии необходимо определить частоту применения игроком стратегии А и стратегии В. Обозначим частоту применения стратегии А через x, тогда частота применения стратегии В будет (1 - х).

      Если  игрок Р₁ принимает оптимальную смешанную стратегию, то и при стратегии игрока Р₂ (природа) С (теплая погода) и при его стратегии Д (холодная погода) игрок Р₁ должен получить одинаковую среднюю прибыль (выигрыш): 

      568 000x + 136 000(1 - x) = 136 000x + 520 000(1 - x); 

      568 000x - 136 000 x - 136 000x + 520 000x = 520 000 - 136 000; 

      816 000x-384 000; x=384 000/816 000 = 8/17; 1 - x = 9/17. 

      Действительно, игрок Р₁ принимая чистые стратегии A и В в соотношении 8:9, будет иметь оптимальную смешанную стратегию, при которой средний выигрыш будет составлять:

      при теплой погоде (стратегия С игрока Р₂): 

      П(С) = 568000 * 8/17 + 136000 * 9/17 = 1/17 * (4 544 000 + 1 224 000) = 1/17 * 5 768 000 = 339 300 руб.; 

    при холодной погоде (стратегия  Д игрока Р₂): 

    П(Д) = 136000 * 8/17 + 520000 * 9/17 = 1/17 * (1088 000 + 4 680 000) = 1/17 * 5 768 000 =339 300 руб. 

      Таким образом, средняя прибыль (средний  платеж), которую получит ОАО «Элема» при реализации оптимальной смешанной стратегии, будет равна 339 300 руб. Средний платеж, который получается при реализации оптимальной смешанной стратегии, называется ценой игры.

      В заключение следует определить, сколько  платьев и сколько костюмов должно выпустить в мае ОАО «Элема» для реализации оптимальной смешанной стратегии, т. е. для получения максимальной прибыли при любой погоде. 

      (1200 кост. + 3950 плат.) * 8/17+(2000 кост. + 1250 плат.)* 9/17=1/17 * (9600 кост. +31 600 плат. + 18 000 кост. + 11 250 плат. )= 1/17 * (27 600 кост. +42 850 плат.) = 1624 кост. + 2520 плат. 

      Значит, оптимальная стратегия ОАО «Элема» означает выпуск 1624 костюмов и 2520 платьев, в этом случае при любых погодных условиях ОАО «Элема» получит среднюю прибыль Пср в сумме 339 300 руб.:

      - при теплой погоде (стратегия С игрока Р₂): 

      Пср. =1200 * (480 - 270) + 2520 * (160 - 80) - (1624 - 1210) * 270 = 339 300 руб.; 

      - при холодной погоде (стратегия Д игрока Р₂): 

    Пср.=1624 * (480 - 270) + 1250 * (160 - 80) - (2520 - 1250) * 80= 339 300 руб. 

      Также рассмотрим дискретную стохастическую модель оптимизации начального запаса.

      Мы  отказываемся от предположения о  постоянстве и детерминированности величины спроса на товар и предполагаем известным распределение величины спроса.

      Пусть S – размер запаса на начало периода планирования;

      D – величина спроса за период планирования (целое число);