Стохастические модели в экономике

      Н – удельные издержки хранения за период;

      В – удельные издержки дефицита за период;

      p(D) – вероятность того, что величина спроса за период планирования составит D.

      Функция распределения величины спроса:

      F(x) = р (D < х) =

 

      В случае когда величина спроса за период планирования превышает размер запаса (D > S), возникает дефицит и соответствующие издержки дефицита. Если запас больше, чем величина спроса (S > D), то возникают издержки хранения. Математическое ожидание C₁(S) величины издержек хранения за период планирования для размера начального запаса S можно оценить следующим образом:

      

 

      Математическое  ожидание С₂(S) величины издержек дефицита за период планирования для размера начального запаса S можно оценить следующим образом:

      

 

      Математическое  ожидание C(S) совокупных издержек в этом случае имеет вид

      

 

      В стохастической модели оптимальным является такой размер начального запаса S*, при котором математическое ожидание совокупных издержек C(S*) имеет минимальное значение, т.е. такой размер запаса S*, который удовлетворяет условию:

      

 

      Если

      F(S*) =

, то  

      С(S*)= С(S*+1) 

и оптимальными являются как размер запаса S*, так и размер запаса S* + 1.

      Рассмотрим  пример. Торговый агент компании Volvo занимается продажей последней модели этой марки автомобиля. Годовой спрос на эту модель оценивается в 4000 единиц. Цена каждого автомобиля равна 90 тыс. руб., а годовые издержки хранения составляют 10% от цены самого автомобиля. Анализ показал, что средние издержки заказа составляют 25 тыс. руб. на заказ. Время выполнения заказа – 8 дней. Ежедневный спрос на автомобили равен 20.

      Вопросы:

      1. Чему равен оптимальный размер  заказа?

      2. Чему равна точка восстановления?

      3. Каковы совокупные издержки?

      4. Каково оптимальное количество  заказов в год?

      5. Каково оптимальное время между двумя заказами, если предположить, что количество рабочих дней в году равно 200?

      Решение. Исходные данные:

      величина  спроса D = 4000 единиц;

      издержки  заказа K = 25 тыс. руб.;

      издержки  хранения H = 9/200 тыс. руб.;

      цена  за единицу с = 90 тыс. руб.;

      время выполнения заказа L = 8 дней;

      ежедневный  спрос d = 20 единиц;

      число рабочих дней Т= 200.

      Используя простейшую модель оптимального размера  заказа, получаем:

      размер  заказа Q = 149 единиц;

      точка восстановления R = 160 единиц;

      число заказов за год N= 26,83;

      совокупные  издержки С = 1341 тыс. руб;

      стоимость продаж cD = 360 млн руб.;

      число дней между заказами t = 7,45.

      Рассмотрим  еще один пример. Поставка товара с фиксированным интервалом времени.

      Магазин закупает духи  на одной из парфюмерных фабрик. Годовой спрос на этот продукт составляет 600 шт. Издержки заказа равны 850 руб., издержки хранения – 510 руб за одну упаковку (20 шт.) в год. Магазин заключил договор на поставку с фиксированным интервалом времени.

      Количество  рабочих дней в году – 300. Время поставки товара – 6 дней. Стоимость одного флакона – 135 руб.

      Вопросы:

      1. Чему равно оптимальное число  заказов в течение года?

      2. Чему равна точка восстановления  запаса?

      3. Каковы минимальные совокупные  издержки?

      Решение. Оптимальный размер заказа 

      

 

      Число заказов в течение года 

      

 

      Поскольку среднесуточный спрос равен 600/300 = 2 шт., точка восстановления запаса составит 2 * 6 = 12 шт. Минимальные издержки заказа и хранения:

      

 
 

      Рассмотрим  такой пример. Создание запаса продукции при дискретном спросе.

      Небольшой салон специализируется на продаже  видеомагнитофонов стоимостью 2000 руб. Затраты на хранение единицы продукции составляют 500 руб. Изучение спроса, проведенное в течение месяца, дало следующее распределение числа покупаемых видеомагнитофонов: 

Спрос, шт.	3	4	5	6	7
Вероятность	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

      Найдите оптимальный размер запаса.

      Решение. Доказано, что при дискретном случайном спросе суммарные затраты

      C(S) = Н

(S–D)p(D) + В (D–S)p(D) 

        минимальны при размере запаса S*, удовлетворяющем неравенству:

        
 

      F(S)

< < F(S*+1) 

      где = – плотность убытков, F(S)=р(D<S) – функция распределения величины спроса. Вычислим плотность убытков:  

      

= 2000/2500 = 0,8

      Найдем  значения функции распределения  величины спроса: 

Запс, шт.	3	4	5	6	7	Более 7
Спрос, шт.	3	4	5	6	7	Более 7
F(S)	0,0	0,1	0,3	0,6	0,9	1,0

 

      Оптимальный размер запаса продукции удовлетворяет неравенству F(6) < 0,8 < F(7). Следовательно, размер запаса в 6 единиц будет оптимальным. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ 

     Задача 1. 

     Max Z = 2Х₁ + Х₂

     3Х₁+4Х₂ 24

     Х₁+2Х₂ 12

     2Х₁+Х₂ 6

     X_j 0 

     Канонический  вид: 

     Max Z = 2Х₁ + Х₂ + 0Х₃ + 0Х₄+ 0Х₅

     3Х₁+4Х₂+Х₃ =24

     Х₁+2Х₂+Х₄ =12

     2Х₁+Х₂ +Х₅ =6 

Cj	БП	2	1	0	0	0	Вi
		Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
0	Х3	3	4	1	0	0	24
0	Х4	1	2	0	1	0	12
0	Х5	2	1	0	0	1	6
Z		-2	-1	0	0	0	0
Cj	БП	2	1	0	0	0	Вi
		Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
0	Х3	0	2,5	1	0	-1,5	15
0	Х4	0	1,5	0	1	-0,5	9
2	Х1	1	0,5	0	0	0,5	3
Z		0	0	0	0	1	6

 

     Ответ: Х₁= 3, Х₂= 0, Z(Х)= 6. 

     Задача 2. 

     Min Z = 5Х₁ + 2Х₂

     Х₁+Х₂ 6

     3Х₁+4Х₂ 21

     5Х₁ 15

     X_j 0 

     Min Z = 5Х₁ + 2Х₂

     -Х₁-Х₂ -6

     -3Х₁-4Х₂ -21

     -5Х₁ -15

     X_j 0 

     Канонический  вид: 

     Min Z = 5Х₁ + 2Х₂+ 0Х₃ + 0Х₄ + 0Х₅

     -Х₁-Х₂ + Х₃ = 6

     -3Х₁-4Х₂+ Х₄= 21

     -5Х₁ + Х₅ = 15 

Cj	БП	5	2	0	0	0	Вi
		Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
0	Х3	-1	-1	1	0	0	-6
0	Х4	-3	-4	0	1	0	-21
0	Х5	-5	0	0	0	1	-15
Z		-5	-2	0	0	0	0
Cj	БП	5	2	0	0	0	Вi
		Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
0	Х3	-0,25	0	1	-0,25	0	-0,75
2	Х2	0,75	1	0	-0,25	0	5,25
0	Х5	-5	0	0	0	1	-15
Z		-3,5	0	0	-0,5	0	10,5
Cj	БП	5	2	0	0	0	Вi
		Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
0	Х3	0	0	1	-0,25	-0,05	0
2	Х2	0	1	0	-0,25	0,15	3
5	Х1	1	0	0	0	-0,2	3
Z		0	0	0	-0,5	-0,7	21