Расчет показателей тесноты связи

а) по расходу на питание

у

S_xy » 0,7 – 0,9 

0                                     х

б) по расходу на одежду

z

S_xz » 1 

0                                     x

На графиках взаимосвязь между хy и хz близка к линейной и прямая достаточно хорошо соответствует эмпирическим точкам. Поэтому в данном случае в качестве зависимости между ху и хz целесообразно выбрать линейную функцию.

Парный  регрессионный анализ.

Поведение и значение любого экономического показателя зависит практически от бесконечного количества факторов и все учесть нереально. Но в этом нет необходимости. Обычно лишь ограниченное количество факторов действительно существенно воздействуют на исследуемый экономический показатель. Доля влияния остальных факторов столь незначительна, что их игнорирование не может привести к существенным oтклонениям в поведении исследуемого объекта. Выделение и учет в модели лишь ограниченного числа реально доминирующих факторов и является серьезной предпосылкой для качественного анализа, прогнозирования и управления ситуацией.

Можно указать два варианта для рассмотрения взаимосвязей между двумя перечисленными х и у. В первом случае обе переменные считаются равноценными в том смысле, что они не подразделяются на первичную и вторичную переменные. Основным в этом случае является вопрос о наличии и силе взаимосвязи между этими переменными.

Другой  вариант рассмотрения взаимосвязей выделяет одну из величин как независимую, а другую как зависимую. В этом случае изменение первой из них может  служить причиной для изменения  другой.

В нашем  случае рост дохода ведет к увеличению потребления. Однако такая зависимость  не является однозначной в том  смысле, что каждому конкретному  значению объясняющей переменной соответствует  некоторое вероятное распределение  зависимой переменной. Поэтому анализируют как объясняющая переменная влияет на зависимую переменную «в среднем». Зависимость такого      типа выражается соотношением:

   M(у/х) = f(x)

называется  функцией регрессии y и х. При этом х называется независимой (объясняющей) переменной- регрессором, у–зависимой (объясняемой) переменной. При рассмотрении зависимости двух случайных величин говорят о парной регрессии. Под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним) значением зависимой переменной, которая строится с целью предсказания (прогнозирования) этого среднего значения при фиксированных значениях первых.

Для отражения  того факта, что реальные значения зависимой  переменной не всегда совпадают с  ее условиями математическими ожиданиями и могут быть различными при одном и том же значении объясняющей переменной, фактическая зависимость должна быть дополнена некоторым слагаемым Е, которое по существу является случайной величиной и указывает на стохастическую суть зависимости. Из этого следует, что связи между зависимой и объясняющей переменными выражается соотношениями:

У = M(y/x) + E

      У =M(y/x₁,x₂,…,x_m) + E

называемыми регрессионными моделями.

2. Методы определения параметров

      в уравнении регрессии.

1. Парная линейная регрессия.

      Если  функция регрессии линейна, то говорят  о линейной регрессии. Модель линейной регрессии является наиболее распространенным и простым видом зависимости  между экономическими переменными. Кроме того, построение линейного  уравнения может служить начальной точкой экономического анализа.

      Задачи  линейного регрессионного анализа  состоят в том, чтобы по имеющимся  статистическим данным  (х_i,y_i)   i=1,2,…,n,  для переменных х и у:

а) получить наилучшие оценки неизвестных параметров b₀ и b₁;

б) проверить  статистические гипотезы о параметрах модели;

в) проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется  со статистическими данными.

      Для линейной функции:

      а) по расходу на питание

      а = 0,709 / 2,0 = 0,354

      б) по расходу на одежду

      а = 0,628 / 2,0 = 0,314

2. Метод проб.

      Метод проб заключается в том, что всем параметрам кроме одного задают ориентировочные  числовые значения. Затем методом  средних вычисляется неизвестный  параметр, в дальнейшем можно фиксировать  его значение и методом средних  найти другой параметр.

      а₀  = у –х

      а₁ =1/х (у – а₀)

      а) по расходу на питание

      а₀ =0,709 – 2,0 = -1,291

      а₁ = 1/2,0 (0,709 + 1,291) = 1

      б) по расходу на одежду

      а₀ = 0,628 – 2,0 = -1,372

      а₁ = 1/2,0 (0,628 + 1,372) = 1

3. Метод наименьших квадратов.

      Этот  метод оценки является наиболее простым  с вычислительной точки зрения:

- оценки  метода наименьших квадратов,  являются функциями от выборки,  что позволяет их легко рассчитывать;

- оценки  метода наименьших квадратов,  являются точечными оценками  теоретических коэффициента регрессии;

- эмпирическая  прямая регрессии обязательно проходит через   точку (x,y);

-  эмпирическое  уравнение регрессии построено  таким образом, что сумма отклонений åе_i, а так же среднее значение отклонения e равны нулю;

• случайные отклонения е, не коррелированы наблюдаемыми значениями у_i зависимой переменной y.

 

      а) по расходу на питание 

      

      y  -                                                                                                               .

      1611 -

      -

      -

      -

      -

      986   -                                                                  .

      906   -                                            .

      -

      715   -                                   .

      -

      -

      -

      316   -                  .

      241   -        .              ^.

      190   -

       `          `          `          `          `          `          `          `          `          `             x

      0     400   800 1200  1600 2000               3000                                    5000 
 
 
 
 
 
 
 
 

       б) по расходу на одежду

      z

      -

       1650 -                                                                                                               _.

      -

      -

      -

      -

      -

-

      966   -                                                                  _.

      -

      -

      -

      -

      508   -

      444  -                        ^.                 _.

      405   -

210,211 -       .          .

      -

       `          `          `          `          `          `          `          `          `          `             x

      0     400   800 1200  1600 2000               3000                                    5000 
 

По расположению точек на корреляционном поле полагаем, что зависимость между х и у линейная:     у = в₀ + в₁х

Вычисления  производим на основании таблицы  № 2.

Таким образом уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

ху  – х  у

в₁ =

х² – х² 

в₀ = у – в₁ х 

      а) по расходу на питание

2,084-2,0 0,709

в₁ =                                 = 0,315

6,114 – 4,0 

в₀ = 0,709 – 0,315 2,0 = 0,079 

      б) по расходу на одежду

1,943 -2,0 0,628

в₁ =                                 = 0,325

6,114 – 4,0 

в₀ = 0,628 – 0,325 2,0 = - 0,022 
 
 
 

Таким образом уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

      а) по расходу на питание

      у = 0,079 + 0,315х

      б) по расходу на одежду

      z = -0,022 + 0,325х

      В нашем примере коэффициент в₁ может трактоваться как предельная склонность к потреблению(МРС₁» 0,315);(МРС₂» 0,325).

      Фактически  он показывает на какую величину изменятся  объем потребления, если располагаемый  доход возрастет на единицу. Свободный  член в₀ уравнения регрессии определяет прогнозируемое значение у при величине располагаемого дохода х, равной нулю (т.е. автономное потребление). В нашем случае значение в₀=0,079 говорит о том, что при нулевом располагаемом доходе расходы на потребление составят в среднем 79 тысяч рублей. Следует помнить, что эмпирические коэффициенты регрессии в₀ и в₁ являются лишь оценками теоретических коэффициентов b₀ и b₁, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных. Индивидуальные значения переменных в силу различных причин могут отклоняться от модельных значений.