Применение теории матричных игр с нулевой суммой в создании экономических стратегий

min (max (max a ij - a ij).(2.3.13)

где максимум выбирается в каждом конкретном столбце.

Для примера возьмем таблицу стратегий (табл. 2.3.5) и составим для нее таблицу рисков (табл. 2.3.6).

Если фирма (игрок) выберет стратегию А1, а природа реализует стратегию В1 , то фирма получит максимально возможную прибыль 5 (недополученная прибыль составит 0). Фирма угадала состояние природы. Но если природа реализует стратегию В4, то фирма вместо максимально возможной прибыли 12 получит прибыль 5, а недополученная прибыль составит 7.[7]

Таблица 2.3.5

Таблица стратегий

Таблица 2.3.6

Таблица рисков

Пример : Швейная фабрика на летний сезон может реализовать два вида костюмов: 1200 костюмов по цене 520 руб. и 200 костюмов по цене 1000 руб., если погода будет жаркой. Если погода будет холодной, то фабрика может реализовать 650 костюмов первого вида и 700 костюмов второго вида.

Определить план выпуска костюмов каждого вида и прибыль, полученную от их реализации.

Решение:

Швейная фабрика располагает двумя стратегиями: А1 - погода будет жаркой и А2 – погода будет холодной.

Если фабрика воспользуется первой стратегией и погода действительно будет жаркой, то прибыль фабрики составит:

1200 · 520 + 200 · 1000 = 624 000 + 200 000 = 824 000 руб.

Если фабрика воспользуется первой стратегией, но погода будет холодной, то прибыль фабрики составит:

650 · 520 + 200 · 1000 – (1200 – 650) · 520 = 338 000 + 200 000 – 286 000 = 252 000 руб.

Если фабрика воспользуется второй стратегией и погода действительно будет холодной, то прибыль фабрики составит:

650 · 520 + 700 · 1000 = 338 000 + 700 000 = 1 038 000 руб.

Если фабрика воспользуется второй стратегией, но погода будет жаркой, то прибыль фабрики составит:

650 · 520 + 200 · 1000 – (700 – 200) · 1000 = 338 000 + 200 000 – 500 000 = 38 000 руб.

Составим матрицу прибыли (таб. 2.3.7).

Таблица 2.3.7

Матрица прибыли

α = max (252 000; 38 000) = 252 000 руб.

β = min (824 000; 1 038 000) = 824 000 руб.

Таким образом, цена игры находится в диапазоне от 252 000 руб. до 824 000 руб.

Минимальный гарантированный доход швейной фабрики составит 252 000 руб., но возможен и доход в 824 000 руб.

Определим план выпуска изделий швейной фабрикой. Вероятность выбора стратегии А1 обозначим через х1, а вероятность выбора стратегий А2 – через х2. Учитывая, что х2 = 1 - х1,можем записать:

(a11 – a12)· х1 + a12 = (824 000 – 38 000)· х1 + 38 000 = 786 000 х1 + 38 000;

(a21 – a22)· х1 + a22 = (252 000 – 1 038 000) · х1 + 1 038 000 = -786 000 х1 + 1 038 000;

786 000 х1 + 786 000 х1 = 1 038 000 – 38 000

1 572 000 х1 = 1 000 000

х1 = 0,64; х2 = 1 – 0,64х2 = 0,36;

0,64 (1200; 200) + 0,36 (650; 700) = (1002; 380).

Цена игры составит: 786 000 х1 + 38 000 = 541 040 руб.

Таким образом, план выпуска изделий таков: 1002 костюма первого вида и 380 костюмов второго вида, и при любых погодных условиях швейная фабрика получит прибыль не менее 541 000 руб.

Определим критерии.

1.                  Критерий Вальде:

max (min a ij) = max (38 000; 252 000) = 252 000 руб.

Швейной фабрике целесообразно использовать стратегию А1 .

2.                  Критерий максимума:

max (max a ij ) = max (824 000; 1 038 000) = 1 038 000 руб.

Швейной фабрике целесообразно использовать стратегию А2 .

3.                  Критерий Гурвица:

пусть α = 0,4 , тогда для стратегии А1

α min a ij + (1 - α) max a ij = 0,4 · 252 000 + (1 – 0,4) · 824 000 = 595 200 руб.

для стратегии А2

α min a ij + (1 - α) max a ij = 0,4 · 38 000 + (1 – 0,4) · 1 038 000 = 638 000 руб.

Швейной фабрике целесообразно использовать стратегию А2 .

4.                  Критерий Сэвиджа:

Максимальный элемент в первом столбце – 824 000, во втором столбце – 1 038 000.

Матрица рисков будет иметь вид:

Швейной фабрике целесообразно использовать стратегию А1 или А2 .

2.4 Взаимодействие теории игр и экономики

Теория игр - раздел математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. При этом под конфликтом подразумевается явление, в котором различные стороны, имеют противоположные интересы и возможность выбора доступных для них действий в соответствии с этими интересами. В условиях конфликта каждый противник стремится скрыть свои предстоящие действия при этом создавая неопределенность. Неопределённость при принятии решений (например, на основе недостаточных данных) можно интерпретировать как конфликт принимающего решения субъекта с природой. Поэтому теория игр рассматривается так же, как теория принятия оптимальных решений в условиях неопределённости. Она позволяет систематизировать некоторые важ­ные аспекты принятия решений в технике, сельском хозяйстве, медицине и социологии, экономике. Участвующие в конфликте стороны называются игроками; доступные для них действия - их стратегиями; возможные исходы конфликта – ситуациями.

Задача теории игр в нахождении того, что является:

1) оптимальным поведением в игре.

2)исследование свойств оптимального поведения

3)определение условий, при которых использование оптимального поведения осмысленно (вопросы существования, единственности, а для динамических игр и вопросы именной состоятельности).

4) построение численных методов нахождения оптимального поведения.

Теория игр, предназначенная для математического решения задач экономического и социального происхождения, не может в целом опираться на классические математические теории, созданные для решения физических и технических задач. Однако в различных конкретных ситуациях теория игр часто использует весьма разнообразные классические математические методы.

Теория игр взаимодействует с другими математическими дисциплинами внутренним образом. В теории игр систематически и по существу употребляются понятия теории вероятностей. На языке теории игр можно сформулировать большинство задач математической статистики, и так как теория игр, связана с теорией принятия решений, то она представляет собой существенную составную часть математического аппарата исследования операций.

Игра как математическое понятие может использоваться начиная от простых салонных игр (в том числе домино, шашки, карточные игры),так и для создания описания экономической системы, в которой имеется большое количество конкурирующих сторон, к примеру поставщики и продавцы. Не вдаваясь в детали, игру в общих чертах можно представить как ситуацию, в которой одна или несколько сторон, именуемые в теории игр «игроками», совместно управляют некоторым множеством переменных и каждый игрок, принимая решение и совершая действия, должен учитывать действия всей группы. «Платеж», приходящийся на долю каждого игрока, определяется не только его собственными действиями, но и действиями других членов группы. Некоторые из «ходов» (индивидуальных действий) в ходе игры могут носить случайный характер. К примеру игра в покер: начальная сдача карт является случайным ходом. Последовательность ставок и контрставок, предшествующая финальному сравнению взяток, образована остальными ходами в игре.

Теория игр получило свое начало с анализа карточных игр. Американский математик Джон фон Нейман, считающийся отцом Теории игр, придумал её во время наблюдения за игрой в покер. Из-за этого теория получила свое название «Теория игр».

Рассмотрим ход истории математической теории состоящий из трех этапов:

Первый этап - до выхода в свет монографии Дж. фон Неймана и О. Моргенш­терна. Его можно назвать «до монографическим». На этом этапе игра конкретное состязание, описываемое своими правилами в содержательных терминах. Лишь в конце его Дж. фон Нейман вырабатывает представление об игре как об общей модели абстрактного конфликта. Итогом этого этапа явилось накопление ряда конкретных математических результатов и даже отдельных принципов будущей теории игр.