Применение теории матричных игр с нулевой суммой в создании экономических стратегий

Целью игроков является выбор наиболее выгодных стратегий, доставляющих игроку А максимальный выигрыш, а игроку В минимальный проигрыш. В теории игр предполагают, что каждый игрок считает своего противника разумным и стремящимся помешать ему достичь наилучшего результата.

Оптимальной стратегией для игрока А называют стратегию, если при ее применении выигрыш игрока А не уменьшается, какими бы стратегиями не пользовался игрок В.

Оптимальной стратегией для игрока В называют стратегию, при использовании которой проигрыш игрока В не увеличивается, какие бы стратегии ни применял  игрок А.

С учетом этого игрок А анализирует матрицу выигрышей: для каждой чистой стратегии Аi он определяет минимальное значение . Затем по минимальным выигрышам αi он отыскивает такую чистую стратегию Аi0, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находит

.

Число α называется нижней чистой ценой игры (максимином). Оно показывает, какой минимальный выигрыш может получить игрок А, применяя свои чистые стратегии при любых действи­ях игрока В. Соотве­тствующая стратегия Аi0 игрока А называется максиминной.

Игрок В старается максимально уменьшить проигрыш. Для каждой чистой стратегии Вj он отыскивает . Затем по βj находит свою стратегию Bj0, при которой его проигрыш будет минимальным, т.е.

.

Число β называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Оно показывает, какой максимальный проигрыш при использовании своих чистых стратегий может быть у игрока В. Соответствующая чистая стратегия Bj0 игрока B мини­максной.

Таким образом, используя чистые стратегии игрок А обеспечивает выигрыш не меньше α, а игрок B в результате применения своих чистых стратегий не позволит игроку А выиграть больше, чем β. Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор максиминной и минимаксной стратегий, называют принципом минимакса.

Пример1.2 Найти максиминную и минимаксную стратегии в игре с матрицей

Решение.

Макси­минной чистой стратегией является А2.

Минимаксной для игрока B является стратегия В3.

Теорема 1. В матричной игре нижняя чистая цена игры не превосходит верхней чистой цены игры, т.е. α ≤ β.

Доказательство:

По определению

,

значит αi ≤ aij ≤ βj или αi ≤ βj.

Это неравенство справедливо при любых комбинациях i и j. Будет оно справедливо для тех i и j, для которых и , и при этих i и j получим α ≤ β.

Если в матричной игре нижняя и верхняя чистые цены игры совпадают, т.е. α = β, то это игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры .

Обозначим через i* и j* номера чистых стратегий, при которых имеет место равенство α = β. Пару чистых стратегий игроков А и В, при которых достигается равенство α = β, называют седловой точкой матричной игры, а элемент ai*j* матрицы, стоящий на пересечении i* строки и j* столбца, – седловым элементом платежной матрицы.

Седловой элемент является наименьшим в i* строке и наибольшим в j* столбце, т.е. . Поэтому, если игрок В отклонится от своей минимальной стратегии, то его проигрыш может увеличиться. Аналогично, отклонение игрока А от своей максимальной стратегии ведет к уменьшению его выигрыша. Таким образом, минимальные стратегии в игре с седловой точкой обладают свойством устойчивости, создают ситуацию равновесия. Следовательно, если в матрице игры существует седловой элемент, то наилучшими для игроков являются их минимальные стратегии. Назовем чистые стратегии и , образующие седловой элемент, оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков А и В. Набор назовем решением игры.

2.3 Решения матричных игр в смешанных стратегиях

2.3.1 Решение матричной игры графическим методом

Суть графического метода состоит в том, что из матрицы удаляют дублирующие и поглощаемые строки и столбцы. Дублирующими называют полностью одинаковые строки или столбцы. Доминирующей строкой называется такая строка, которая содержит элементы, большие или равные соответствующим элементам другой строки, называемой поглощаемой. Доминирующим столбцом называется такой, который содержит элементы, меньше или равные соответствующим элементам другого столбца, который называется поглощаемым.

Воспользуемся табл. 2.3.1

Строка (стратегия) А1 является доминирующей по отношению к строке (стратегии) А4 , так как содержит элементы, большие соответствующих элементов строки А4 . Соответственно строка А4 является поглощаемой и из дальнейшего рассмотрения удаляется (табл. 2.3.2).

Таблица 2.3.2

Первый шаг упрощения таблицы

Первый столбец является доминирующим по отношению ко второму, третьему и четвертому столбцам (поглощаемым). Поступаем аналогично

(табл. 2.3.3).

Таблица 2.3.3

Второй шаг упрощения таблицы

Еще раз рассматриваем строки. Первая строка поглощает третью строку. Поглощаемые строки (столбцы) содержат самые плохие стратегии. Окончательно получим (табл. 2.3.4).

Таблица 2.3.4

Третий шаг упрощения таблицы

Вероятность использования первой фирмой первой стратегии обозначим через p1. Тогда вероятность использования второй стратегии первым игроком будет p2 = 1- p1 . Ожидаемый выигрыш фирмы А от применения

(3.1)