Моделирование систем массового обслуживания

.

Но событие   равносильно событию , вероятность которого равна

.

С другой стороны,

,

следовательно,

,

откуда, согласно формуле (19.3.10), получим 

,

что и требовалось  доказать.

Таким образом, мы доказали, что если промежуток времени   распределен по показательному закону, то любые сведения о том, сколько времени уже протекал этот промежуток, не влияют на закон распределения оставшегося времени. Можно доказать, что показательный закон - единственный, обладающий таким свойством. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для «отсутствия последействия», которое является основным свойством простейшего потока.

 

 Нестационарный  пуассоновский поток

Если поток  событий нестационарен, то его основной характеристикой является мгновенная плотность  . Мгновенной плотностью потока называется предел отношения среднего числа событий, приходящегося на элементарный участок времени , к длине этого участка, когда последняя стремится к нулю:

,                        (19.4.1)

где  - математическое ожидание числа событий на участке .

Рассмотрим поток  однородных событий, ординарный и без  последействия, но не стационарный, с  переменной плотностью . Такой поток называется нестационарным пуассоновским потоком. Это - первая ступень обобщения по сравнению с простейшим потоком. Легко показать методом, аналогичным примененному в 5.9, что для такого потока число событий, попадающих на участок длины , начинающийся в точке , подчиняется закону Пуассона

                 ,                       (19.4.2)

где  - математическое ожидание числа событий на участке от  до  равное

.                      (19.4.3)

Здесь величина  зависит не только от длины  участка, но и от его положения на оси .

Найдем для  нестационарного потока закон распределения  промежутка времени   между соседними событиями. Ввиду нестационарности потока этот закон будет зависеть от того, где на оси  расположено первое из событий. Кроме того, он будет зависеть от вида функции . Предположим, что первое из двух соседних событий появилось в момент , и найдем при этом условии закон распределения времени  между этим событием и последующим:

.

Найдем   - вероятность того, что на участке от  до  не появится ни одного события:

,

откуда 

.                      (19.4.4)

Дифференцируя, найдем плотность распределения 

    .                       (19.4.5)

Этот закон  распределения уже не будет показательным. Вид его зависит от параметра   и вида функции . Например, при линейном изменении

плотность (19.4.5) имеет вид 

.               (19.4.6)

График этого  закона при  ;  и  представлен на рис. 19.4.1.

Рис. 19.4.1.

Несмотря на то, что структура нестационарного  пуассоновского потока несколько сложнее, чем простейшего, он очень удобен в практических применениях: главное  свойство простейшего потока - отсутствие последействия - в нем сохранено. А именно, если мы зафиксируем на оси   произвольную точку , то закон распределения  времени , отделяющего эту точку от ближайшего по времени будущего события, не зависит от того, что происходило на участке времени, предшествующем , и в самой точке  (т. е. появлялись ли ранее другие события и когда именно).

             1.4 Механизм обслуживания

МЕХАНИЗМ ОБСЛУЖИВАНИЯ [service mechanism] — понятие теории массового обслуживания. Принято включать в это понятие три главные характеристики системы обслуживания: а) время или длительность обслуживания; б) пропускную способность; в) доступность.

Время обслуживания — время, затрачиваемое системой на обслуживание отдельного требования; чаще всего длительность обслуживания считают случайной величиной и характеризуют распределением F(t₁): оно означает вероятность того, что время, затраченное на обслуживание требования, не больше чем t₁. Время ожидания обслуживания (пребывания в очереди) некоторые авторы включают во время обслуживания, другие учитывают отдельно.

Пропускная способность системы — это максимальное число требований, которые могут быть обслужены одновременно.

Доступность системы включает описание всевозможных причин, по которым число требований, удовлетворяемых одновременно, меньше, чем пропускная способность; кроме того, вся система может быть время от времени не готова к приему требований (напр., обеденный перерыв в магазине), поэтому доступность включает характеристики времени “отключения” системы. Время “отключения” системы чаще всего считают, так же как и длительность обслуживания, случайной величиной и описывают вероятностью того, что канал или вся система отключается на определенное время. Хотя математические исследования относятся обычно к полнодоступным системам (т. е. таким, обслуживающие каналы которых всегда готовы к приему требований), реальные системы часто “неполнодоступны”.

1.5 Графы состояния.

     При построении распределенных систем обработки  информации возникает вопрос о распределении  нагрузки между основными устройствами обработки информации. Построив модель движения информации относительно устройств  обработки и определив основные параметры  данного устройства, возможно построение системы с оптимальными параметрами, по нагрузке, времени обработки и др. Информационная модель наглядно демонстрирует систему взаимодействия между пакетами информации и позволяет определить, какую роль выполняет тот или иной пакет информации. Так же можно проследить взаимосвязь входных и выходных пакетов информации.

     Однако  информационная модель не дает в полном объеме представление о системе  в целом, в связи с чем необходимо построить математическую модель системы,  помощью которой можно получить основные характеристики системы при различных условиях.

     Информационные  потоки обладают следующими характеристиками: плотность потока требований; время, затрачиваемое на обслуживание одного документа; объем передаваемой информации и др.

     На  первом этапе необходимо определить взаимосвязь вершин ориентированного графа движения информационных потоков  и обслуживающих устройств. Таким образом, каждое обслуживающее устройство  e_i представляет собой множество E, состоящее из пакетов информации a_ij, которые проходят через данное устройство обслуживания непосредственно[1].

 - множество устройств обслуживания

 - множество пакетов информации, принадлежащие устройству обслуживания.

Поскольку каждая вершина графа представляет собой пакет информации  z_i=a_ji , тогда выражение  можно представить в виде .

В конечном итоге получим ориентированный  граф движения информации и взаимосвязь  устройств обслуживания с пакетами информации (Рисунок 1).

Рис. 1 Граф-схема взаимосвязи информационного графа 
с устройствами обслуживания

Ребра ориентированного графа определяют перемещение данных из одного пакета информации в другой, а любое движение информации характеризуется следующими основными свойствами: интенсивность поступления, объем, время переноса данных. Таким образом, каждой вершине графа принадлежит множество перемещаемых данных . На основании граф-схемы представленной на рисунке 1 строим схему движения потоков информации относительно устройств обработки (Рис.2).

Определяем  интенсивность,  объем и время обработки для каждого u_ij, данные заносим в  таблицу 1.  

Рис. 2 Схема  движения потоков информации относительно устройств обработки  
 
 

Таблица 1

 

 

     Основные  задачи теории массового обслуживания - нахождение вероятностей различных  состояний систем массового обслуживания (СМО), а также установление зависимости  между заданными параметрами  и характеристиками работы СМО. В  качестве таких характеристик могут  рассматриваться:

     -       среднее число заявок А, которое обслуживает СМО в единицу времени;

     -       вероятность обслуживания поступившей заявки Q (относительная пропускная способность СМО)

     -       вероятность отказа Ротк , т.е. вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена

     -       среднее число заявок в СМО (которые обслуживаются или ожидают своей очереди) z;

     -       среднее число заявок в очереди r ;

     -       среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или        под обслуживанием) t_сист;

     -       среднее время пребывания заявки в очереди t_оч;

     В общем случае все эти характеристики зависят от времени. Но многие СМО  работают в неизменных условиях достаточно долгое время, и поэтому для них  успевает установиться режим, близкий  к стационарному.

     Для любой открытой СМО (одноканальной, многоканальной, при любых видах  потоков и обслуживании) справедливы  формулы [2]:

     1) среднее время пребывания заявки  в системе

     2) среднее время пребывания заявки  в очереди

     Экспоненциальные  модели основаны на предположении о  том, что потоки заявок, поступающие  в систему, являются пуассоновскими, а время обслуживания имеет экспоненциальное распределение.[3]

     Для таких систем получены точные методы для определения их характеристик; трудоемкость получения решения  зависит в основном от размерности  системы. [2] Для построения модели, описывающей  функционирование системы необходимо ввести ряд упрощающих предположений.

     Предположение о независимости устраняет зависимость  между временами обслуживания в  каналах и состоит в том, что  длина пакета, поступающего в i-тый  канал, выбирается независимо в соответствии с плотностью распределения