Классификация систем массового обслуживания

      3) Среднее число заявок m в МК СМО определяется так же, как и в ОК:

m=

      4) Средняя длина очереди

l=

где k–N — число заявок в очереди, когда в системе находится k заявок.

      5) Среднее время ожидания w определяется по формуле Литтла:

w=l/l.

      6) Среднее время пребывания

u=m/l=w+b.

      7) Вероятность ожидания или вероятность того, что все N приборов заняты обслуживанием заявок

      8) Для МК СМО представляет интерес  такая характеристика как среднее число занятых приборов, определяемая следующим равенством:

С другой стороны, — это среднее число заявок, находящиеся в обслуживающих приборах, т.к., очевидно, что число занятых приборов всегда равно числу заявок в приборах. Вспомним, что загрузка r=lb/N — это среднее число заявок в приборе (одном). Тогда среднее число заявок в N приборах равно Nr. Таким образом

      Очевидно, что m=l+ (сравните с m=l+r для ОК СМО). Действительно

      2.4. Вывод формулы  Литтла.

      Универсальная формула Литтла (справедлива для  любой системы без отказов) устанавливает  связь между средними значениями числа заявок, времени пребывания и интенсивности поступления. Так для СМО в целом эта связь имеет вид: m=lu, вывод которой приводится ниже.

      Рассмотрим  производную СМО и достаточно длинный интервал (0, t) ее функционирования. Пусть a(t) — число заявок, поступивших в систему, а d(t) — число заявок, покинувших ее за время t.

        Очевидно, что n(t)=a(t)–d(t) — число заявок в системе в момент времени t. С другой стороны, площадь между кривыми a(t) и d(t) (заштрихованная площадь) на интервале (0, t) есть общее (суммарное) время, проведенное всеми заявками в системе на момент времени t. Обозначим это общее время через g(t).

       Пусть l_t — интенсивность поступления заявок в систему на интервале (0, t). Очевидно, что l_t= .

      Пусть u_t — среднее время пребывания заявок в системе на интервале (0, t). Тогда u_t = .

      Пусть m_t — среднее число заявок в системе на интервале (0, t). Тогда m_t= . Из полученных равенств имеем:

      Пусть существуют пределы l= l_t, u= u_t и m= m_t, что имеет место, если система имеет стационарный режим функционирования. Тогда m=ll, что и требовалось показать.

      Теперь  если под "системой", о которой  шла речь выше, понимать "очередь" или "прибор", то получим соответствующие выражения для средней длины очереди (l=lw) и среднего числа заявок в обслуживающем приборе (r=lb). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Заключение 

      Основной  задачей теории СМО является изучение режима функционирования обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания.

      Так, одной из характеристик обслуживающей системы является время пребывания требования в очереди. Очевидно, что это время можно сократить за счет увеличения количества обслуживающих устройств.  Однако каждое дополнительное устройство требует определенных материальных затрат, при этом увеличивается время бездействия обслуживающего устройства из-за отсутствия требований на обслуживание, что также является негативным явлением.

        Следовательно, в теории СМО  возникают задачи оптимизации: каким образом достичь определенного уровня обслуживания  (максимального сокращения очереди или потерь требований) при минимальных затратах, связанных с простоем обслуживающих устройств. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Список  используемой литературы 
 

1. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. — Системы массового  обслуживания.
2. Г.И. Ивченко, В.А. Каштанов, И.Н. Коваленко. Теория массового обслуживания.
3. http://www.sardismusic.com/topics/t9r2part2.html
4. http://www.studfiles.ru/dir/cat32/subj1235/file11055/view111169/page2.html