Классификация систем массового обслуживания

      2) Загрузка системы — это отношение интенсивности поступления l к интенсивности обслуживания m и обозначается через r:

      r=l/m=lb=b/а,

где а=1/l и b=1/m – средние значения интервалов поступления и длительности обслуживания соответственно.

      Значение  загрузки определяет условие существования  в системе стационарного режима. Необходимым и достаточным условием существования в стохастической СМО стационарного режима является условие, когда r<1 или l<m. Выполнение этого условия означает, что система в среднем справляется с поступающей нагрузкой. Если r³1, то система работает в режиме перегрузок.  

      Загрузка r СМО характеризует:

      а) среднее число заявок, поступающих в систему за среднее время обслуживания одной заявки;

      б) долю времени, в течение которого прибор занят обслуживанием;

      в) вероятность того, что прибор занят  обслуживанием заявок;

      г) среднее число заявок, находящихся  в обслуживающем приборе.

      Перечисленные утверждения составляют физический смысл загрузки.

      Справедливость  утверждения "а" следует из определения  загрузки r=lb: если l – среднее число заявок, поступающих в единицу времени, то за время b в систему поступят в среднем lb заявок.

      Справедливость  утверждения "б" можно показать следующими простыми рассуждениями. Рассмотрим достаточно длинный интервал t времени функционирования системы. Для простоты предположим, что в начале и в конце этого интервала система была свободна. Очевидно, что за время t в систему в среднем поступят lt заявок. Каждая из этих заявок в среднем обслуживается за время b. Тогда суммарное время обслуживания всех заявок равно ltb. Отсюда доля времени, в течение которого прибор занят обслуживанием заявок, равна ltb/t=lb=r, что и следовало показать.

      Утверждение "в" напрямую следует из утверждения "б", ибо рассмотренная ранее доля времени и есть вероятность занятости прибора. Тогда вероятность простоя системы равна 1–r.

      Справедливость  утверждения "г", в свою очередь, следует из утверждения "в": в приборе может находиться 1 заявка с вероятностью r и 0 заявок с вероятностью 1–r. Тогда среднее число заявок в приборе равно

1·r + 0·(1–r)=r.

      3) Время ожидания — это, как правило, случайное время, которое заявка проводит в очереди в состоянии ожидания. Среднее значение этого времени, которое представляет наибольший интерес, обозначается через w.

      4) Время пребывания — это случайный промежуток времени от момента поступления заявки в систему до момента окончания ее обслуживания. Для среднего значения u времени пребывания справедливо равенство:

u=w+b.

      5) Среднее число заявок в очереди или средняя длина очереди

l=lw.

      6) Среднее число заявок m, находящихся в системе, складывается из средних значений числа заявок, находящихся в очереди (l) и в приборе (r):

m=l+r=lw +lb=l(w+b)=lu

      Формулы r =lb, l=lw и m=lu называются формулами Литтла соответственно для прибора, очереди и системы в целом. Справедливость этих формул показывается далее в разделе 2.4.

      Ранее отмечалось, что если известны вероятности  состояний, то можно определить и  все остальные характеристики системы. Предположим, что вероятности состояний  Р_к=Pr{в системе находится k заявок}, k = 0, 1, 2, ..., известны или заданы. Тогда загрузка системы, которая характеризует вероятность того, что, прибор занят обслуживанием, определяется равенством:

r

,

где P₀ – вероятность простоя системы.

      В системе могут находиться 1, 2, 3, ... заявок соответственно с вероятностями P₁, P₂, P₃, .... Тогда, исходя из определения математического ожидания дискретной случайной величины, среднее число заявок в системе

.

      Если  в системе находится k заявок, то в очереди ожидают k–1 заявка (k= 1, 2, 3, ...). Тогда средняя длина очереди

m–r.

      Зная  среднее число заявок в системе (m) и в очереди (l), соответствующие временные характеристики можно определить по формуле Литтла:

u=m/l       и       w=l/l=u–b.

      Полученные  соотношения взаимосвязи между  характеристиками функционирования системы справедливы при любых законах распределений интервалов поступления и длительности обслуживания заявок и таким образом носят фундаментальный (универсальный) характер. Единственное требование — это требование, чтобы система была без отказов, т.е. емкость накопителя была не ограничена. 
 

      2.2. Характеристики одноканальной  СМО

      с неоднородной нагрузкой.

      Рассмотрим характеристики функционирования ОК СМО с неоднородной нагрузкой. Пусть в СМО поступают заявки Н классов с параметрами:

      – l₁, l₂, ... , l_н — интенсивность поступления;

      – n_а1, n_а2, ... , n_ан — КВ интервалов поступления;

      – b₁, b₂, ... , b_н — среднее время обслуживания;

      – n₁, n₂, ... , n_н — КВ длительности обслуживания.

       Приведенные параметры полностью описывают  систему, которая является СМО типа : 

      Характеристики  СМО в случае неоднородной нагрузки определяются как для заявок отдельных классов, так и для заявок объединенного потока, и те и другие характеристики во многом аналогичны соответствующим характеристикам системы с однородной нагрузкой. 

Характеристики  заявок отдельных  классов.

      1) Pr{n₁, n₂, ..., n_H} — вероятности состояний СМО, где под состоянием системы здесь понимается вектор , показывающий, сколько заявок каждого класса находятся в системе.

      2) r_к=l_кb_к — загрузка СМО заявками класса k (k–заявок). При этом, загрузка r_к имеет тот же физический смысл, что и в случае однородной нагрузки, но только применительно к классу k .

      3) w_k — среднее время ожидания k–заявок.

      4) u_k=w_k+b_k — среднее время пребывания в системе k–заявок.

      5) l_k=l_kw_k — средняя длина очереди заявок класса k.

      6) m_k=l_ku_k =l_k+r_k — среднее число k–заявок в системе .

      Соотношения взаимосвязи между характеристиками заявок отдельных классов такие  же, что и в случае однородной нагрузки. Эти соотношения также  всегда справедливы, если только СМО  является системой без отказов.

Характеристики заявок объединенного потока.

      1) — суммарная загрузка системы и СМО функционирует в стационарном режиме, если R<1. При этом h=1–R — коэффициент простоя.

      2) — среднее время ожидания заявок объединенного потока, где — интенсивность результирующего потока.

      3) — среднее время пребывания, где — усредненное время обслуживания.

      4) — средняя (суммарная) длина очереди.

      5) — среднее число заявок в системе. 
 
 

      2.3. Характеристики многоканальной  СМО

      (однородная  нагрузка). 

      Рассмотрим  МК СМО из N обслуживающих приборов, в которую поступает поток заявок интенсивности l и КВ n_а интервалов поступления. Все приборы совершенно идентичны и среднее время обслуживания в одном приборе равно b, а КВ длительности обслуживания – n. Определим для описанной МК СМО (типа G/G/N) характеристики функционирования.

      1) Вероятности состояний. Под состоянием МК СМО как и в случае ОК СМО понимается число заявок k, находящихся в системе, и вероятность такого состояния также обозначается через P_k, k = 0, 1, 2, ...

      2) Загрузка. По аналогии с ОК СМО произведение lb можно было бы трактовать как загрузку МК СМО. Однако это не так и в качестве загрузки МК СМО принимается загрузка ее одного прибора, определяемая как r=lb/N. Это делается с тем, чтобы использовать одинаковые обозначения для загрузки, придать одинаковый смысл загрузке, "приравнять" отдельные приборы МК СМО и прибор в ОК СМО. После такого определения загрузки МК СМО для нее справедливы все утверждения, приведенные ранее относительно загрузки ОК СМО. Отношение l/N=l¢ в выражении для загрузки характеризует интенсивность заявок, приходящих на один прибор МК СМО. Условием существования стационарного режима: r=l¢b<1.