Экономико-математические методы и модели

До появления сетевых  методов планирование работ, проектов осуществлялось в небольшом объеме. Наиболее известным средством такого планирования был ленточный график Ганта, недостаток которого состоит в том, что он не позволяет установить зависимости между различными операциями.

Современное сетевое планирование начинается с разбиения программы  работ на операции. Определяются оценки продолжительности операций и строится сетевая модель (график). Построение сетевой модели позволяет проанализировать все операции и внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации. Строится календарный график, определяющий начало и окончание каждой операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Календарный график выявляет критические операции, которым надо уделять особое внимание, чтобы закончить все работы в директивный срок. Что касается некритических операций, то календарный план позволяет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать при задержке выполнения работ или эффективном применении как трудовых, так и финансовых ресурсов.

Сетевая модель – графическое  изображение плана выполнения комплекса  работ, состоящего из нитей (работ) и  узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций. В основе сетевого моделирования лежит изображение  планируемого комплекса работ в  виде графа. Граф – схема, состоящая  из заданных точек (вершин), соединенных  системой линий. Отрезки, соединяющие  вершины, называются ребрами (дугами) графа. Ориентированным называется такой  граф, на котором стрелкой указаны  направления всех его ребер (дуг), что позволяет определить, какая  их двух его граничных вершин является начальной, а какая – конечной. Исследование таких сетей проводится методами теории графов.

Теория графов оперирует  понятием пути, объединяющим последовательность взаимосвязанных ребер. Контур означает такой путь, у которого начальная  вершина совпадает с конечной. Сетевой график – это ориентированный граф без контуров. В сетевом моделировании имеются два основных элемента – работа и событие. Работа – это активный процесс, требующий затрат ресурсов, либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата.

Фиктивная работа – это  связь между результатами работ (событиями), не требующая затрат времени  и ресурсов.

Событие – это результат (промежуточный или конечный) выполнение одной или нескольких предшествующих работ.

Путь – это любая  непрерывная последовательность (цепь) работ и событий.

Критический путь – это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса. Работы, расположенные на критическом пути, называются критическими. Все остальные работы являются некритическими (ненапряженными) и обладают резервами времени, которые позволяют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

При построении сетевых моделей  необходимо соблюдать следующие  правила.

1. Сеть изображается слева направо, и каждое событие с большим порядковым номером изображается правее предыдущего. Общее направление стрелок, изображающих работы, также в основном должно быть расположено слева направо, при этом каждая работа должна выходить из события с меньшим номером и входить в событие с большим номером.
2. Два соседних события могут объединяться лишь одной работой. Для изображения параллельных работ вводятся промежуточное событие и фиктивная работа.
3. В сети не должно быть тупиков, т.е. промежуточных событий, из которых не выходит ни одна работа.
4. В сети не должно быть промежуточных событий, которым не предшествует хотя бы одна работа.
5. В сети не должно быть замкнутых контуров, состоящих из взаимосвязанных работ, создающих замкнутую цепь. Для правильной нумерации событий поступают следующим образом: нумерация событий начинается с исходного события, которому дается номер 1. Из исходного события 1 вычеркивают все исходящие из него работы, на оставшейся сети вновь находят событие в которое не входит ни одна работа. Этому событию дается номер 2. Затем вычеркивают работы, выходящие из события 2, и вновь находят на оставшейся части сети событие, в которое не входит ни одна работа, ему присваивается номер 3, и так продолжается до завершающего события.

Продолжительность выполнения работ устанавливается на основании  действующих нормативов или по экспертным оценкам специалистов. В первом случае временные оценки являются детерминированными (однозначными), во втором – стохастическими (вероятностными).

Основным временным параметром сетевого графика является продолжительность  критического пути.

Расчет критического пути включает два этапа. Первый называется прямым ходом. Вычисления начинают с  исходного события и продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто завершающее событие. Для каждого  события определяется одно число, представляющее ранний срок его наступления. На втором этапе, называемом обратным проходом, вычисления начинают с завершающего события и продолжают, пока не будет  достигнуто исходное событие. Для каждого  события вычисляется поздний  срок его наступления.

 Рассмотрим прямой  ход:

 

 

 

 

 

 

Прямой проход закончился, начинаем обратный:

 

 

 

 

Используя результаты вычислений при прямом и обратном проходах, можно определить операции критического пути. Операция принадлежит критическому пути, если она удовлетворяет условиям:

 

 

 

 

Операции связаны еще  двумя сроками:

 Он является  наиболее поздним (максимальным) из допустимых моментов начала  данной работы, при котором еще  возможно выполнение всех последующих  работ в установленный срок:

 

 Он является  наиболее ранним (минимальным) из  возможных моментов окончания  работы при заданной продолжительности  работ:

 

 

Различают два вида резервов времени: полный резерв и свободный резерв .

Полный резерв времени  показывает, на сколько может быть увеличена сумма продолжительности всех работ относительно критического пути. Он представляет собой разность между максимальным отрезком времени, в течение которого может быть выполнена операция, и ее продолжительностью и определяется как:

 

Свободный резерв времени  – максимальное время, на которое  можно отсрочить начало или увеличить  продолжительность работы при условии, что все события наступают  в ранние сроки:

 

Конечным результатом  выполняемых на сетевой модели расчетов является сетевой график (план). При  построении сетевого графика необходимо учитывать наличие ресурсов, так  как одновременное выполнение некоторых  операций из-за ограничений, связанных  с рабочей силой, оборудованием  и другими видами ресурсов, иногда оказывается невозможным. Именно в этом отношении представляют ценность полные резервы времени некритических операций.

Сдвигая некритическую операцию в том или ином направлении, но в пределах ее полного резерва  времени, можно добиться снижения максимальной потребности в ресурсах. Однако даже при отсутствии ограничений на ресурсы  полные резервы времени обычно используются для выравнивания потребностей в  ресурсах на протяжении всего срока  реализации программы работ. Это  означает, что работы удастся выполнить  более или менее постоянным составом рабочей силы.

Роль полных и свободных  резервов при выборе сроков объясняется  двумя правилами:

1. если полный резерв равен свободному, то календарные сроки некритической операции можно выбрать в любой точке между ее ранним началом и поздним окончанием;
2. если свободный резерв меньше полного, то срок начала некритической операции можно сдвинуть по отношению к раннему сроку ее начала не более чем на величину свободного резерва.

Анализ сетевой  модели, представленной в графической или табличной (матричной) форме, позволяет: более четко выявить взаимосвязи этапов реализации проекта и определить наиболее оптимальный порядок выполнения этих этапов в целях, например, сокращения сроков выполнения всего комплекса работ.

В экономических исследованиях  сетевые модели возникают при  моделировании экономических процессов методами сетевого планирования и управления.

Объектом управления в  системах сетевого планирования и управления являются коллективы исполнителей, располагающих  определенными ресурсами и выполняющих  определенный комплекс операций, который  призван обеспечить достижение намеченной цели, например, разработку нового изделия, строительства объекта и т.п. [4, стр. 506 – 513].

 

7. Теория управления запасами

Предприятия, фирмы имеют  различные запасы: сырье, комплектующие  изделия, готовую продукцию, предназначенную  для продажи, и т.д. Совокупность подобных материалов, представляющих временно не используемые экономические  ресурсы, называют запасами предприятия.

Запасы создаются по различным  причинам. Одна из них состоит в  том, что если в некоторый момент производства потребуется какой-то вид деталей, который поставляется другим предприятием, и он отсутствует  на складе, то процесс производства может остановиться. Поэтому на складе всегда должно быть нужное количество деталей данного вида. Однако если запасы увеличить, то возрастет стоимость  их хранения. Задача управления запасами состоит в выборе для предприятия  целесообразного решения.

Рассмотрим простейшие математические модели управления запасами. На рис. 7.1 представлены возможные графики  изменения запаса Q, имеющегося на складе, во времени t, для которого рассматривается этот запас.

 

 

Рис. 7.1 – График изменения  и пополнения запасов

 

Под Q будем понимать изделия или материалы (товары) только одного вида. Если на изделие поступает заявка, то оно отпускается и значение Q падает. Предположим что величина спроса непрерывна во времени. Если Q=0, то имеет место дефицит.

Любая математическая модель, которая применяется для изучения определенной ситуации в управлении запасами, должна учитывать факторы, связанные с издержками.

Различают организационные  издержки – расходы, связанные с  оформлением и доставкой товаров, издержки содержания запасов – затраты, связанные с хранением. Они возникают  из-за амортизации в процессе хранения (изделия могут портиться, устаревать, их количество может уменьшаться  и т.д.). Существуют издержки, связанные  с дефицитом: если поставка со склада не может быть выполнена, то возникают  дополнительные издержки, связанные  с отказом. Это может быть денежный штраф или ущерб, не осязаемый  непосредственно (например, ухудшение  бизнеса в будущем и потеря потребителей). Количество товара, поставляемое на склад, называют размером партии.

 

Основная модель управления запасами

 

Введем обозначения необходимых  для составления модели величин. Данные поместим в табл. 7.

График изменения запасов  представлен на рис. 7.2.

Рис. 7.2 – График изменения  запасов

Табл. 7 – Данные, необходимые  для составления основной модели управления запасами

Величина	Обозначение	Единица измерения	Предложения
Интенсивность спроса		Единиц товара в год	Спрос постоянен и непрерывен; весь спрос удовлетворяется
Организационные издержки		Рублей за год	Издержки постоянны, не зависят  от размера партии
Стоимость товара		Рублей за год	Цена единицы товары постоянна; рассматривается один вид товара
Издержки содержания запасов		Рублей за единицу товара в год	Стоимость хранения единицы  товара в течение года постоянна
Размер партии		Единиц товара в одной  партии	Размер партии постоянен; поступление товара происходит мгновенно, как только уровень запаса равен  нулю

 

Чтобы полностью удовлетворить  годовой спрос g при размере поставки q, необходимо обеспечить g/q поставок или партий за год. Средний уровень запасов составляет q/2.

Уравнение издержек будет  иметь вид:

 

 

 

 

 

За исключением q все величины в правой части уравнения постоянны и известны, т.е. Для нахождения минимума C найдем производную и приравняем ее к нулю:

 

откуда

 

 

Иногда возникает соблазн  заказывать размер партии товаров, не соответствующий оптимальному размеру. Это приводит к увеличению издержек на содержание и организацию поставок.

Изобразим графически (рис. 7.3) изменение отдельных составляющих величин C.

Рис. 7.3 – Изменение отдельных  составляющих величин С

Из рис. 7.3 следует, что  увеличение q ведет к резкому снижению при этом увеличивается пропорционально При малых значениях q величина C падает до значения в точке При увеличении q величина издержек С приближается к [4, стр. 583 – 589].