Экономико-математические методы и модели

Равновесие экономической  системы рассматривается двояко:

• как статическое, т. е. положение, состояние равновесия;
• как динамическое, т. е. уравновешенный, или сбалансированный процесс развития, соответствующий равновесному сбалансированному росту.

Изучение чувствительности равновесия к изменениям определенных параметров составляет предмет сравнительной статики.

Равновесие (рыночная сбалансированность) называется локально устойчивым, если оно, в конечном счете, достигается, начиная с некоторого набора цен, достаточно близкого к точке равновесия, и равновесие является глобально устойчивым, если, в конечном счете, оно достигается независимо от положения начальной точки.

В экономико-математическом моделировании равновесие часто отождествляют с понятием оптимума. Однако равновесие есть только необходимое, но не достаточное условие оптимальности.

Таким образом, равновесие экономической  системы может устанавливаться на разных уровнях (точках равновесия), в том числе и на оптимальном.

Одним из элементов рыночного  механизма, способного возвращать экономическую систему, вышедшую из равновесия, обратно в это состояние, является эффект Пигу (или эффект кассовых остатков).

Одним из интересных случаев  равновесия является ситуация в экономике, характеризующаяся равенством спроса и предложения общественных и личных благ. Такое равновесие может быть реализовано с помощью персональных цен участников на общественные блага и единых цен на личные блага. Финансовый баланс достигается за счет персональных налогов участников. Данная модель экономического равновесия предложена Э. Линдалем в 1919 году.

Рассмотрим формальную модель экономики для определения равновесия по Линдалю, представленную Д. К. Фолеем. Экономика здесь имеет т общественных и k личных благ. Вектор общественных и личных благ записывается в виде и является элементом положительного конуса евклидова пространства . Экономика содержит n участников. Каждый участник i имеет вектор начальных запасов, состоящий из личных благ, а также функцию полезности зависящую как от личных, так и от общественных благ. Производственным планом называется пара , состоящая из чистого вектора личных благ z, идущего на производство вектора общественных благ х. Множество производственных планов образуют производственное множество Y. Допустимым (или сбалансированным) распределением в экономике называют набор , состоящий из вектора общественных благ и n векторов личных благ из , такой что

 

Системой цен в экономике  является набор , состоящий из n персональных цен участника экономики на набор общественных благ х и общего для всех участников вектора цен на личные блага.

Равновесием по Линдалю называется допустимое распределение и система цен такие, что:

 

если , то .

Данное условие означает, что при равновесных ценах равновесное распределение является самым выгодным для производства, а индивидуальное потребление является наилучшим в бюджетном множестве потребителя i. Величина трактуется как персональный налог, который участник i готов заплатить за пользование набором общественных благ х. В этом случае финансовый баланс по общественным благам запишется в виде:

 

Развиваются также исследования так называемых неравновесных моделей экономики, которые в ряде случаев более адекватно отражают реальные экономические ситуации, чем равновесные модели.

Неравновесная экономико-математическая модель описывает экономическую систему, в которой не соблюдается равновесие. Эта ситуация возникает в случае отсутствия цен, уравновешивающих спрос и предложение ресурсов. Отсюда возникают такие явления,  как дефицитность и избыточность продуктов и ресурсов. В таких моделях рассматриваются способы принятия рациональных решений в условиях неравновесия путем преодоления указанных явлений за счет, например, ограничения (натурального лимитирования) производства (установления квот), использования штрафов или налогов [2, стр.215 – 219].

 

3. Теория игр

В экономике иногда приходится сталкиваться с ситуацией, когда  при наличии многих участников эффективность  решения одного из них зависит  от того, какие решения приняли  другие участники. Например, доход предприятия  от продажи изделия зависит не только от установленной на него цены, но и от количества купленных покупателем  изделий. Или при выборе ассортимента товаров, выпускаемых предприятием, нужно учитывать, какой ассортимент  товаров выпускают другие предприятия.

Все ситуации, когда эффективность  действия одного из участников зависит  от действий других, можно разбить  на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о  совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этом случае может  оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как  кто-нибудь из них сможет воспользоваться  знанием чужих решений и получит  больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными. Построением математических моделей конфликтных ситуаций и разработкой методов решения возникающих в этих ситуациях задач занимается теория игр.

В игре могут сталкиваться интересы двух или нескольких противников, поэтому игры разделяются на парные и множественные. Если во множественной  игре интересы игроков совпадают, то они могут объединяться, создавая коалиции. Такие игры называются коалиционными.

Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т.е. определение для них оптимальной  стратегии. Стратегией игрока называется система правил, однозначно определяющих поведение игрока на каждом ходе в  зависимости от ситуации, сложившейся  в процессе игры. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Рассмотрим простейшую математическую модель конечной конфликтной ситуации, когда имеются два участника  и когда выигрыш одного равен  проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой  двух лиц с нулевой суммой.

В игре участвует первый и второй игроки, каждый из них может  записать независимо от другого цифры три цифры. Если разность между цифрами, записанными игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью.

У первого игрока три стратегии (варианта действий): ; у второго игрока также три стратегии:

Задача первого игрока – максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока – минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш  первого игрока.

Игру можно представить  в виде матрицы, в которой строки – стратегии первого игрока, столбцы  – стратегии второго игрока, а  элементы матрицы – выигрыши первого  игрока. Такую матрицу называют платежной.

В общем случае парную игру с нулевой суммой можно записать платежной матрицей:

 

Задача каждого из игроков  – найти наилучшую стратегию  игры, при этом предполагается, что  противники одинаково разумны и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию  первого игрока: минимальное число  в каждой строке обозначим

 

Зная , т.е. минимальные выигрыши при различных стратегиях , первый игрок выберет ту стратегию, для которой максимально. Обозначим это максимальное значение через a, тогда:

 

Величина a – гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе первый игрок, – называется нижней ценой игры (максимином).

Аналогично для определения  наилучшей стратегии второго  игрока найдем максимальные значения выигрыша по столбцам и, выбрав из них  максимальные значения, получим:

 

 

 

Если второй игрок будет  придерживаться своей минимаксной  стратегии, то он гарантирован, что  в любом случае проиграет не больше β.

Для матричной игры справедливо  неравенство (3.5):

 

Если  то такая игра называется игрой с седловой точкой, а пара оптимальных стратегий седловой точкой матрицы. В этом случае элемент называется ценой игры, является одновременно минимальным в i-ой строке и j-столбце. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Если платежная матрица  не имеет седловой точки, т.е. то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами. Такая сложная стратегия называется смешанной [4, стр. 536 – 540].

 

4. Теория массового обслуживания

Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей  в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и  ожидающих ремонта, и т.д. Все эти  ситуации объединяет то обстоятельство, что системам необходимо пребывать  в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера  возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих  систем, которые называют системами  массового обслуживания.

Цель изучения систем массового  обслуживания состоит в том, чтобы  взять под контроль некоторые  характеристики системы, установить зависимость  между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем выше, чем больше число обслуживающих единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.

В промышленности системы  массового обслуживания применяются  при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад  и выдаче их со склада; обработке  широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации  наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности  обслуживающих отделов служб  предприятий и т.д.

Основоположником теории массового обслуживания считается  датский ученый А. К. Эрланг. Являясь сотрудником Копенгагенской телефонной компании, он опубликовал в 1909 году работу «Теория вероятностей и телефонные переговоры», в которой решил ряд задач по теории систем массового обслуживания с отказами.

Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые  в случайные моменты времени  поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются  с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

С позиции моделирования  процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают  следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию последующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно в случайные моменты времени.

Примерами систем массового  обслуживания могут служить: посты  технического обслуживания автомобилей; посты ремонта автомобилей; персональные компьютеры, обслуживающие поступающие  заявки или требования на решение  тех или иных задач; станции технического обслуживания автомобилей; аудиторские  фирмы; отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой  текущей отчетности предприятий; телефонные станции и т.д.

Основными компонентами системы  массового обслуживания любого вида являются: входной поток поступающих  требований или заявок на обслуживание; дисциплина очереди: механизм обслуживания. Схематически это изображено на рис. 4.

 

 

 

Рис. 4 – Схема системы  массового обслуживания

 

Раскроем содержание каждого  из указанных выше компонентов.

Для описания входного потока требований нужно задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.