Математические методы в менеджменте

 

Экономические показатели, характеризующие  работу СМО:

P_k - доля времени работы k каналов, k=0,1,..,n;

L - средняя длина очереди

P₀ - вероятность того, что система свободна

П - вероятность образования очереди

Pотк - вероятность отказа в  обслуживании

g - относительная пропускная способность

А - абсолютная пропускная способность

n_зан - среднее количество занятых каналов

t_ож - среднее время нахождения в очереди

2. При

α=9,51/8,51=1,118

Р₀=(2-1,118)/(2+1,118)=0,283 (Р₀=28,3%)

L₁=(1,118)³/(4-1,118)=0,48 (треб)

Если интенсивность λ станет равной треб./мин., то в силу неравенства 14,9<2*8,51 условие стационарности СМО выполнимо, и можно вычислить среднюю длину очереди:

α=14,9/8,51=1,75

L₂=(1,75)³/(4-1,75)=2,38 (треб)

Итак, при интенсивности обслуживания треб./мин. и интенсивности входа треб./мин. доля времени простоя касс составляет 28,3% времени, а средняя длина очереди равна 0,48 треб. Если же интенсивность входа станет равной 14,9 треб./мин., то средняя длина очереди уменьшится в 0,2 раза. 
ЗАДАНИЕ 6. Оптимальное управление запасами

1. Сформулируйте задачу оптимального управления запасами.
2. Дайте экономическую интерпретацию предельной арендной платы.
3. Сделайте вывод о целесообразности аренды дополнительных складских емкостей или о необходимости сокращения объема заказываемой партии товара с учетом имеющихся складских емкостей при сравнении фактической а и предельной арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.

Решение:

1. Задача оптимального управления запасами будет формулироваться следующим образом: определить объем q заказываемой партии товара, при котором достигается минимум затрат на складские операции в единицу времени в предположении, что темп поступления заказанного товара превышает норму спроса на него.

2. Экономически λ интерпретируется как предельная (максимальная) арендная плата за использование дополнительных складских емкостей. Если фактическая арендная плата α меньше либо равна предельной λ т. е. α≤λ, то аренда выгодна, и объем заказываемой партии вычисляется по формуле

 

q= .

 

 

Если же α>λ, то аренда невыгодна, и тогда объем заказа надо уменьшать, он рассчитывается в этом случае по формуле

 

q=

3. При

α =0,037 (руб./кг.сут.)

λ=0,038 (руб./кг.сут.)

α<λ - фактическая арендная плата больше предельной арендной плате. Следовательно, аренда выгодна и объем заказываемой партии

 

ЗАДАНИЕ 7. Выборочный метод

1. Дайте понятие генеральной и выборочной совокупностей.
2. Определите соотношения между доверительными интервалами:

• при фиксированных значениях среднеквадратического отношения , надежность Р и различных значениях объема выборки:

n₁=610-

n₂= -490;

• при фиксированных значениях среднеквадратического отношения , объема выборки n и различных значениях надежности:

• при фиксированных значениях надежности Р, объема выборки n и различных значениях среднеквадратического отклонения:

Решение:

1. Совокупность генеральная - множество результатов всех возможных наблюдений, которые могли бы быть получены при данном исследовании. При выборочном наблюдении совокупность генеральную называют совокупность (множество) объектов, из которых производится выборка.

Выборочная совокупность - часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности.

2. При

а) при фиксированных значениях  среднеквадратического отношения  , надежность Р и различных значениях объема выборки:

n₁=610- =59

n₂= -490=61

Объем выборки находится в соотношении  n₁ < n₂

Тогда из формул нахождения погрешности

следует, что при уменьшении объема выборки n значение ∆ увеличивается и ∆₁>∆₂, т.е. доверительный интервал, соответствующий объему выборки n₁=59 будет больше доверительного интервала, соответствующего объему выборки n=61

 

б) при фиксированных значениях  среднеквадратического отношения  , объема выборки n и различных значениях надежности:

=0,623

=0,628

Так как р₁ <p₂ ,то исходя из формулы погрешности следует, что возрастание надежности Р значение увеличивается, так как увеличивается значение функции Стьюдента t_p(n). Следовательно, ∆₁<∆₂, т.е доверительный интервал, соответствующий среднеквадратичному отклонению Р₁=0,623 будет меньше доверительного интервала, соответствующего среднеквадратическому отклонению Р₁=0,628.

 

в) при фиксированных значениях надежности Р, объема выборки n и различных значениях среднеквадратического отклонения:

=1,49

=1,51

<

Исходя из формулы погрешности  следует, что при возрастании среднеквадратического отклонения значение ∆ увеличивается. Следовательно,  ∆₁<∆₂, т.е доверительный интервал, соответствующий среднеквадратичному отклонению =1,49 будет меньше доверительного интервала, соответствующего среднеквадратическому отклонению =1,51.

 

 

ЗАДАНИЕ 8. Корреляционные методы

1. Дайте понятия функциональной и корреляционной зависимостей.
2. Коэффициент корреляции. Его смысл и свойства.
3. Оцените тесноту связи и направление связи между признаками х и у, если известны: b – коэффициент регрессии; и - среднеквадратическое отклонения признаков х и у.

Решение:

1. Корреляционная зависимость - это такая связь между результативными и факторными признаками, когда значение результативного признака функции полностью определяется значениями факторных признаков.

Функциональная зависимость - форма устойчивой взаимосвязи между объективными явлениями или отражающими их величинами, при которой изменение одних явлений вызывает определенное количественное изменение (определенным значениям факторных признаков соответствует множество случайных значений результативного признака).

2. Коэффициент корреляции показывает степень статистической зависимости между двумя числовыми переменными.

Коэффициентом корреляции r_ху случайных величин X и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

r_xy = µ_xy*(σ_x/σ_y)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Коэффициент корреляции независимых случайных величин  равен нулю.

Свойства:

1. Абсолютная величина корреляционного  момента двух случайных величин  Х и Y не превышает среднего  геометрического их дисперсий.

│µ_xy│≤

2. Абсолютная величина коэффициента  корреляции не превышает единицы.

│r_xy│≤ 1

Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен  от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю. Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности нельзя сделать вывод о их независимости. Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

3. При

r=

Полученный коэффициент корреляции показывает, что связб между Х  и У умеренная и обратная, т.е. при возрастании факторного признака х значение результативного признака у уменьшается. 
ЗАДАНИЕ 9. Транспортная задача

1. Дайте понятия плана перевозок и оптимального плана перевозок.
2. Критерий оптимальности в методе потенциалов.
3. Решите задачу:

На трех базах A₁, А₂, А₃ имеется однородный груз в количестве a₁ тонн на базе А₁, а₂ тонн на базе А₂ и а₃ тонн на базе А₃. Полученный груз требуется перевезти в пять пунктов: b₁ тонн - в пункт В₁, b₂ тонн – в пункт В₂, b₃ тонн  - в пункт В₃, b₄ тонн  - в пункт В₄, b₅ тонн  - в пункт В₅.

Затраты на перевозку 1 тонны груза между пунктами поставок и потребления заданы матрицей тарифов С (в тыс. руб).

Спланировать перевозки так, чтобы  их стоимость была минимальной.

Запасы груза	Потребность в грузе	Матрица тарифов
а1=250 а2=200 а3=150	b1=180 b2=120 b3=90 b4=105 b5=105	C=

Решение:

1. Рассмотрим деятельность региональной транспортной компании, специализирующейся на перевозках одного определённого продукта. Имеется n различных географических мест, в каждом из которых находится поставщик (или непосредственно производитель) продукта, располагающий запасом этого продукта в объёме a_i, i=1,2,…,n. В других различных m местах, удалённых от поставщиков, имеются потребители этого продукта в объёмах b_j, j=1,2,…m. Для поставщиков и потребителей продукт – товар, имеющий рыночную цену. Для транспортной компании продукт – груз, перевозка которого также имеет цену. Компания рассматривает поставщика как отправителя, а потребителя – как получателя груза.

Обозначим x_ij количество груза, перевозимого от i-го отправителя к        j-му получателю, x_ij>0. Известна матрица С внутренних цен (себестоимостей) перевозок c_ij – стоимостей доставки единицы количества груза от от i-го отправителя к j-му получателю. Цель компании – учитывая запросы потребителей и производителей продукта в его количествах, минимизировать затраты на перевозку при естественных ограничениях для x_ij. Составление оптимального плана перевозок, т.е. максимальное удовлетворение поставленным требованиям.

2. Критерии оптимальности: 

Для того чтобы допустимый план перевозок в транспортной задаче был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа u₁, u₂,…, u_n,v₁, v₂,…, v_n  , что X⁺= , (i=1, , j=1, )

                             если, u_i+v_j=c_ij, x_ij>0

                             если u_i+v_j c_ij, x_ij=0.                        

числа  A_i и B_j  называются потенциалами пунктов отправления и назначения  соответственно.

3.

 

 

Запасы груза	Потребность в грузе	Матрица тарифов
а1=250 а2=200 а3=150	b1=180 b2=120 b3=90 b4=105 b5=105	C=

 

Проверим необходимое и достаточное  условие разрешимости задачи.

∑a = 250+200+150 = 600

∑b = 180+120+90+105+105= 600

Занесем исходные данные в распределительную таблицу:

 

	1	2	3	4	5	Запасы
1	13	15	13	8	7	250
2	5	4	15	11	16	200
3	7	16	9	12	8	150
Потребности	180	120	90	105	105	600

 

Этап I. Определение опорного плана.

 

Используя метод минимальных себестоимостей, построим опорный план (Х⁺) транспортной задачи.

 

					250
					200
					150
180	120	90	105	105	600

 

					250
	120				80
					150
180	0	90	105	105	480

 

 

 

 

					250
80	120				0
					150
100	0	90	105	105	400