Математические методы в менеджменте

Предпоследняя цифра – 0

Последняя цифра – 2

ЗАДАНИЕ 1. Производственные функции.

1. Дайте понятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов?

Производственная функция 

2. Производственная функция коммерческого предприятия имеет вид , где f – товарооборот, тыс. руб.; х₁-производственная площадь, тыс. м²; х₂ – численность работников, сотни человек. Рассмотрите изокванту уровня и найдите на ней точку С₁ с координатами , где , и точку С₂ с координатами , где . Сделайте вывод о возможности замены ресурсов , . Полученные результаты изобразите графически.

Решение:

1. Производственная функция (также функция производства) — экономико-математическая количественная зависимость между величинами выпуска (количество продукции) и факторами производства, такими как затраты ресурсов, уровень технологий. Может выражаться как множество изоквант.

Изокванта — это кривая равного выпуска продукта (кривая безразличия для производителей). Все точки на этой кривой показывают различное сочетание факторов производства для выпуска одинакового количества продукции.

Взаимозаменяемость ресурсов — возможность альтернативного использования разных ресурсов: а) для сохранения или достижения заданного уровня производства б) для достижения оптимума. Именно этим обусловлена проблема выбора: там, где нет заменяемости, нет и выбора, и тогда фундаментальное понятие оптимальности теряет смысл.

2. При

 

Уравнение изокванты будет равно:

Найдем координаты точки С₁:

Так как  , то из уравнения изокванты находим:

Аналогично С₂. Так как , то .

Построим изокванту выпуска  продукции:

 

 х₂

 

 

 

 

 

 

 

 

С₂

2,59

 

 

1,44 С₁

 

    0 2,51  4,51

х₁

 

Рисунок 1 – Изокванта производства

 

 

Таким образом, 144 работника используя 4,51 тыс. м² производственной площади, обеспечат товарооборот тыс. руб, и такой же товарооборот могут обеспечить 251 работник, используя 2,59 тыс. м² производственной площади.

 

ЗАДАНИЕ 2. Классификация товаров.

1. Дайте понятие малоэлостичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Какие товары являются взаимозаменяемыми?
2. Произведите классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:

Товар	I	II	III
I
II
III

 

Решение:

1. Обозначим Y = (у₁,у₂,…,у_n) - спрос на товары, выраженный в некоторых единицах, и P = (р₁,р₂,…,р_n) - цены на эти товары, т.е. р_i - цена на i-й товар; y_i - спрос на i-й товар. y= f(p)

Величина является математической идеализацией процентного изменения спроса на i-й товар при увеличении на 1% цены на j-й товар. 

ε_ij=

Эластичность при i = j называется прямой, и она показывает, на сколько процентов  изменится спрос на i-й товар  при увеличении на 1% цены на этот же товар.

Эластичность при i j называется перекрестной, и она показывает влияние изменения цены одного товара на спрос другого.

Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности сводится к следующему:

1) если |ε_ii| < 1, то i-й товар называется малоэластичным;

2) если |ε_ii| = 1, то i-й товар называется среднеэластичным;

3) если |ε_ii| > 1, то i-й товар называется высокоэластичным;

4) если увеличение цены на j-й  товар приводит к увеличению  спроса на i-й товар и наоборот, то эти товары называются взаимозаменяемым.

5) если увеличение цены на j-й товар приводит к уменьшению спроса на i-й и наоборот, то эти товары называются взаимодополняемыми.

2. При

Товар	I	II	III
I	-0,59	-0,005	0,195
II	-0,005	-0,89	-0,305
III	0,19	-0,305	-1,29

|ε₁₁|=0,59<1 – первый товар малоэлостичен

 |ε₂₂|=0,89<1 – второй товар малоэлостичен

|ε₃₃|=1,29>1 – третий товар высокоэлостичен

поскольку ε₁₃>0 и ε₃₁ >0 – то первый и третий товары взаимозаменяемые

поскольку ε₁₂<0 и ε₂₁ <0 – то первый и второй товары взаимодополняемые

поскольку ε₂₃<0 и ε₃₂ <0 – то второй и третий товары взаимодополняемые

 

ЗАДАНИЕ 3. Межотраслевой  баланс.

1. Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?
2. За отчетный период имел место следующий баланс предприятия:

х₁=х₁₁+х₁₂+у₁

х₂=х₂₁+х₂₂+у₂

х₁₁=800-

х₁₂=700-

х ₂₁=750-

х₂₂=850-

у₁=300

у₂=220

а) Вычислите коэффициенты прямых затрат

б) Вычислите плановый объем валовой продукции отраслей, если план выпуска конечной продукции =350; =250 при условии неизменности технологии  производства.

Решение:

1. Коэффициенты прямых затрат в межотраслевом балансе — средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (в единицах изделий, тоннах, тысячах кВт•ч энергии и т. д.) и в ценностной (в руб.). Следовательно, чтобы рассчитать эти коэффициенты, надо разделить величины межотраслевых потоков на валовую продукцию потребляющих отраслей.

Например расход угля в килограммах на 1000 квт (ч электроэнергии).

Коэффициенты прямых затрат используются при вычислении затрат предметов труда, отраслевых показателей затрат сырья, материалов, топлива и энергии на производство единицы продукции. Модель межотраслевого баланса может использоваться в планировании деятельности отраслей материального производства. Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными.

2. При

x₁ = 698

x₂ = 718

x₁₁= 249

x₁₂ = 149

x₂₁ = 199

x₂₂ = 299

y₁ = 300

y₂ = 220

а) Вычислим коэффициенты прямых затрат:

 

б) Вычислим плановый объем валовой  продукции отраслей

Решаю систему получим:

x₁=629,722 – плановый объем валовой продукции первой отрасли

х₂=504,382 - плановый объем валовой продукции второй отрасли

 

 

ЗАДАНИЕ 4. Использование метода теории игр в торговле.

1. Объясните смысл элементов платежной таблицы и способы выбора стратегии с позиции крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма.
2. Выберете стратегии с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма- пессимизма для следующей платежной таблицы. Укажите соответствующие выигрыши.

 

А1		-480	620 -
А2	610 -	620 -	630 -
А3			640 -

 

Решение:

1. В соответствии с  величиной H, стратегия разделяется:

 При λ=0 H=max , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего пессимизма.

При λ=1 H=max , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма.

Величина H при изменении λ от 0 до 1 непрерывно изменяется от α до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, λ=0,5 и вычислим

 

 

а затем выберем наибольшее γ=max(γ_i)

 

Стратегию, на которой достигается  величина γ, будем называть соответствующей  подходу с позиции пессимизма-оптимизма.

2. При

А1	61	71	69
А2	59	69	79
А3	11	19	89

 

Выберем по каждой строке таблицы  минимальное число α _i и максимальное β _i , затем вычислим их полусумму γ_i

				α i	β i	γi
А1	61	71	69	61	71	66
А2	59	69	79	59	79	69
А3	11	19	89	11	89	50

Получим

α = max(α ₁, α ₂, α ₃)=61

β = max(β ₁, β ₂, β ₃)=89

γ = max (γ_1, γ₂, γ₃)=69

Так как α =61 и это число находится в строке А₁, то А₁ – стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 61 единицам.

Так как β =89 и это число находится в строке А₃, то А₃ – стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 89 единиц.

Так как γ =69 и это число находится в строке А₂, то А₂ стратегия оптимизма-пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 69 единиц.

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 5. Системы массового обслуживания.

1. Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?
2. В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди.

Решение:

1. Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

 

Обслуживание требований в СМО  производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований Входящий поток требований - совокупность требований, поступающих в СМО. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными. Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

 

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Одной  из важнейших характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания. Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая может изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований. Интенсивность обслуживания показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом в единицу времени.