Законы логики

  Например: «Идет дождь и идет снег» означает «Неверно, что нет дождя или  нет снега»; «Сегодня холодно или  сыро» означает «Неверно, что сегодня  не холодно и не сыро».

  Модус поненс и модус толленс 

  «Модусом» в логике называется разновидность некоторой общей формы рассуждения. Далее будут перечислены четыре близких друг другу модуса, известных еще средневековым логикам.

  Здесь высказывания «если А, то В» и «А»  — посылки, высказывание «В» —  заключение. Горизонтальная черта стоит  вместо слова «следовательно». Другая запись:

  Если  А, то В. А. Следовательно, В.

  Благодаря этому модусу от посылки «если  А, то В», используя посылку «А», мы как бы отделяем заключение «В». На этом основании данный модус иногда называется «правилом отделения». Например:

  Если  у человека диабет, он болен.

  У человека диабет.

  Человек болен.

  Рассуждение по правилу отделения идет от утверждения  основания истинного условного  высказывания к утверждению его  следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания. Например, правильным является умозаключение:

  Если  таллий — металл, он проводит электрический  ток. 
Таллий — металл. 
Таллий проводит электрический ток.

  Но  внешне сходное с ним умозаключение:

  Если  бы электролит был металлом, он проводил бы электрический ток. 
Электролит проводит электрический ток. 
Электролит — металл.

  логически некорректно. Рассуждая по последней  схеме, можно прийти от истинных посылок к ложному заключению. Против смешения правила отделения с этой неправильной схемой рассуждения предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия рассуждать допустимо, от подтверждения следствия к подтверждению основания — нет.

  Здесь высказывания «если А, то В» и «неверно В» являются посылками, а высказывание «неверно А» — заключением. Другая запись:

  Если  А, то В. Не-В. Следовательно, не-А.

  Посредством этой схемы от утверждения условного  высказывания и отрицания его  следствия осуществляется переход  к отрицанию основания. Например: «Если гелий — металл, он электропроводен. Гелий неэлектропроводен. Следовательно, гелий — не металл».

  По  схеме модус толленс идет процесс фальсификации, установления ложности теории или гипотезы в результате ее эмпирической проверки. Из проверяемой теории Т выводится некоторое эмпирическое утверждение А, то есть устанавливается условное высказывание «если Т, то А». Посредством эмпирических методов познания (наблюдения, измерения или эксперимента) предложение А сопоставляется с реальным положением дел. Выясняется, что А ложно и истинно предложение не-А. Из посылок «если Т, то А» и «не-А» следует «не-Т», то есть ложность теории Т.

  С модусом толленсом нередко смешивается  внешне сходное с ним умозаключение:

  Если  А, то В; неверно А - Неверно В

  В последнем умозаключении от утверждения  условного высказывания и отрицания  его основания осуществляется переход  к отрицанию его следствия, что является логически некорректным шагом. Рассуждение по такой схеме может привести от истинных посылок к ложному заключению. Например:

  Если  бы глина была металлом, она была бы пластична. Но глина — не металл.

  Неверно, что глина пластична.

  Все металлы пластичны, и если бы глина была металлом, она также являлась бы пластичной. Однако глина не является металлом. Но из этого очевидным образом не вытекает, что глина не пластична. Кроме металлов, есть и другие пластичные вещества, и глина в их числе.

  Против  смешения модуса толленса с данной некорректной схемой рассуждения предостерегает совет: от отрицания следствия условного  высказывания заключать к отрицанию  основания этого высказывания можно, а от отрицания основания к  отрицанию следствия — нет.

  Утверждающе-отрицающий и отрицающе-утверждающий модусы

  Утверждающе-отрицающим модусом именуются следующие  схемы рассуждения:

  Либо  А, либо В; А Неверно В и

  Либо  А, либо В; В

  Неверно А

  Другая  запись:

  Либо  А, либо В. А. Следовательно, не-В.

  Либо  А, либо В. В. Следовательно, не-А.

  Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих  альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба  вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:

  Лермонтов родился в Москве либо в Петербурге.

  Он  родился в Москве.

  Неверно, что Лермонтов родился в Петербурге.

  Связка  «либо, либо», входящая в угверждающе-отрицающий модус, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с не исключающим «или» (имеет место первое или второе, но возможно, что и первое и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению. Например:

  На  Южном полюсе был Амундсен или был Скотт.

  На  Южном полюсе был  Амундсен.

  Неверно, что там был Скотт.

  Обе посылки истинны: и Амундсен, и  Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно. Правильным является умозаключение:

  На  Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.

  На  этом полюсе первым был Амундсен.

  Неверно, что там первым был Скотт.

  А или В; неверно  А - В

  или

  А или В; неверно  В - А

  Другая  форма записи:

  А или В. Не-А. Следовательно, В.

  А или В. Не-В. Следовательно, А.

  Например:

  Множество является конечным или оно бесконечною. 
Множество не является конечным. 
Множество бесконечно.

  Конструктивная  и деструктивная дилеммы

  Выделяются следующие разновидности дилеммы.

  Простая конструктивная (утверждающая) дилемма:

  Если  А, то С.

  Если  В, то С.

  А или В. - С

  Например: «Если прочту детектив Агаты Кристи, то хорошо проведу вечер; если прочту детектив Жоржа Сименона, тоже хорошо проведу вечер; прочту детектив Кристи или прочту детектив Сименона; значит, хорошо проведу вечер».

  Рассуждение этого типа в математике принято  называть доказательством по случаям. Однако число случаев, перебираемых последовательно в математическом доказательстве, обычно превышает два, так что дилемма приобретает вид:

  Если  бы было справедливо первое допущение, теорема была бы верна;

  при справедливости второго допущения  теорема также была бы верна;

  при верном третьем допущении теорема  верна;

  если  верно четвертое допущение, теорема верна;

  справедливо или первое, или второе, или третье, или четвертое допущение.

  Значит,-теорема  верна.

  Сложная конструктивная дилемма:

  Если  А, то В.

  Если  С, то Д.

  А или С.

  В или Д.

  Например: «Если будет дождь, мы пойдем в  кино; если будет холодно, пойдем в театр; будет дождь или будет холодно; следовательно, мы пойдем в кино или пойдем в театр».

  Простая деструктивная  (отрицающая) дилемма:

  Если  А, то В.

  Если  А, то С.

  Неверно В или неверно  С.

  Неверно А.

  Например: «Если число делится на 6, то оно  делится на 3; если число делится на 6, то оно делится на 2;

  рассматриваемое число не делится на 2 или не делится  на 3; следовательно, число не делится  на 6».

  Сложная деструктивная дилемма:

  Если  А, то В.

  Если  С, то Д.

  Не-В  или не-Д.

  Не-А  или не-С.

  Например: «Если поеду на север, то попаду в Тверь; если поеду на юг, то попаду в Тулу; но не буду в Твери или не буду в Туле; следовательно, не поеду на север или не поеду на юг».

  Закон Клавия

  Этот  закон можно передать так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или, короче: высказывание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно.

  Если  неверно, что А. то А. - А

  Например: если условием того, чтобы машина не работала, является ее работа, то машина работает.

  Закон назван именем Клавия — ученого-иезуита, жившего в XVI в., одного из создателей григорианского календаря. Клавий обратил  внимание на этот закон в своем  комментарии к «Началам» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал  из допущения, что она является ложной.

  Закон Клавия лежит в основе рекомендации, касающейся доказательства: если хочешь доказать А, выводи А из допущения, что  верным является не-А. Например, нужно  доказать утверждение «Трапеция  имеет четыре стороны». Отрицание  этого утверждения: «Неверно, что трапеция имеет четыре стороны». Если из этого отрицания удается вывести утверждение, то последнее будет истинно.

  В романе И.С.Тургенева «Рудин» есть такой диалог:

  — Стало быть, по-вашему, убеждений  нет?

  — Нет — и не существует.

  — Это ваше убеждение?

  — Да.

  — Как же вы говорите, что их нет? Вот  вам уже одно на первый случай.