Доказательства  по форме делятся на прямые и непрямые (косвенные).

     Прямое  доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству тезиса, то есть истинность доказательства непосредственно  обосновывается аргументами. Схема  этого доказательства такова: из данных аргументов (a,b,c...) необходимо следуют истинные суждения (k,m,l...), а из последних следует доказываемый тезис q. По этому типу проводятся доказательства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочинениях школьников, при изложении материала учителем. Широко используется прямое доказательство в статистических отчетах, в различного рода документах, в постановлениях. 

     В построении прямого доказательства можно выделить два связанных  между собою этапа: отыскание  тех, признанных обоснованными утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логической связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.

     Пример.

     1-й.  Нужно доказать, что космические корабли подчиняются действию законов небесной механики. Известно, что эти законы универсальны: им подчиняются все тела в любых точках космического пространства. Очевидно также, что космический корабль есть космическое тело. Отметив это, строим соответствующее дедуктивное умозаключение. Оно является прямым доказательством рассматриваемого утверждения.

     Непрямое (Косвенное) доказательство - это доказательство, в котором истинность выдвинутого  тезиса обосновывается путём доказательства ложности антитезиса. Оно применяется тогда, когда нет аргументов для прямого доказательства. Антитезис может быть выражен в одной из двух форм:1)если тезис обозначить буквой а, то его отрицание (а) будет антитезисом, то есть противоречащим тезису суждением; 2) антитезисом для тезиса а в суждении а...в...с служат суждения в и с.

     Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность  противоположного ему допущения, антитезиса.

     Как с иронией замечает американский математик Д. Пойа, «косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутацию кандидата другой партии».

     В косвенном доказательстве рассуждение  идет как бы окольным путем. Вместо того чтобы Прямо отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным.

     Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного. 

     Пример.

     2-й. Допустим, нужно построить косвенное доказательство такого весьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Необходимо показать ложность этого утверждения. С этой целью выводим из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое следствие: у квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, исходный тезис должен быть истинным.

     3-й. Врач, убеждая пациента, что тот не болен гриппом, рассуждает так. Если бы действительно был грипп, имелись бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т.п. Но ничего подобного нет. Значит, нет и гриппа.

     Это опять-таки косвенное доказательство. Вместо прямого обоснования тезиса выдвигается антитезис, что у пациента в самом деле грипп. Из антитезиса выводятся следствия, но они опровергаются объективными данными. Это говорит, что допущение о гриппе неверно. Отсюда следует, что тезис «Гриппа нет» истинен. 

     Докажем тезис о том, что сумма углов четырехугольника равна 360°.

     Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник  на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Из таких положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360°.

     В построении прямого доказательства можно выделить два связанных  между собою этапа: отыскание  тех, признанных обоснованными утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логической связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.

     Косвенное доказательство (следствия, противоречащие фактам).

     Чаще  всего ложность антитезиса удается  установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами.  

     Друг  изобретателя паровой машины Д. Уатта  шотландский ученый Д. Блэк ввел понятие о скрытой теплоте плавления и испарения, важное для понимания работы такой машины. Блэк, наблюдая обычное явление — таяние снега в конце зимы, рассуждал так: если бы снег, скопившийся за зиму, таял сразу, как только температура воздуха стала выше нуля, то неизбежны были бы опустошительные наводнения, а раз этого не происходит, значит, на таяние снега должно быть затрачено определенное количество теплоты. Ее Блэк и назвал скрытой.

     Это — косвенное доказательство. Следствие  антитезиса, а значит, и он сам, опровергается ссылкой на очевидное обстоятельство: в конце зимы наводнений обычно нет, снег тает постепенно.

     Косвенное доказательство (внутренне  противоречивые следствия).

     По  логическому закону непротиворечия одно из двух противоречащих друг другу утверждений является ложным. Поэтому, если в числе следствий какого-либо положения встретились и утверждение и отрицание одного и того же, можно сразу же заключить, что это положение ложно.

     Докажем тезис, что ряд простых чисел бесконечен.

     Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиеся только на себя и на единицу. Простые числа - это как бы «первичные элементы», на которые все целые числа (больше 1) могут быть разложены. Естественно предположить, что ряд простых чисел:

     2, 3, 5, 7, 11,13,... — бесконечен. Для доказательства  данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущение. Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда — А. Образуем далее другое число: В = (2 • 3 • 5 •... • А) + 1. Число В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Значит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5, .... А, то в остатке получится 1. Следовательно, В не делится ни на одно из указанных простых чисел и является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что существует последнее простое число, мы пришли к противоречию: существует число одновременно и простое, и не являющееся простым. Это означает, что сделанное предположение ложно и правильно противоположное утверждение: ряд простых чисел бесконечен.

     В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится логическое противоречие, что прямо говорит о ложности антитезиса и соответственно об истинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике.

     Косвенное доказательство (разделительное доказательство).

     Во  всех рассмотренных выше косвенных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис.

     Можно не ограничивать число принимаемых  во внимание возможностей только двумя. Это приведет к так называемому разделительному косвенному доказательству, или доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области.

     Докажем тезис о том, что из всех планет в Солнечной системе жизнь есть только на Земле. В качестве возможных альтернатив выдвинем утверждения, что жизнь есть на Меркурии, Венере, Земле и т.д., перечисляя все планеты Солнечной системы. Опровергая затем все альтернативы, кроме одной — говорящей о наличии жизни на Земле, получим доказательство исходного тезиса. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Лекция  к Тезисам

     ЛЕКЦИЯ 7. АРГУМЕНТАЦИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ОПРОВЕРЖЕНИЕ 

     ПЛАН:

     Аргументация  и доказательство.

     Опровержение  и его виды.

     Виды  доказательств. Правила и ошибки доказательства и опровержения

     1. Аргументация и доказательство. 

             Под аргументацией следует понимать  операцию обоснования каких-либо  суждений, в которой наряду с логическими применяются также эмоционально-психологические, речевые и др. внелогические методы и приемы убеждающего воздействия

            Таким образом, Аргументация - это  приведение доводов, с целью  изменения убеждения другой стороны.

            Доказательство - это совокупность  логических приемов обоснования  истинности какого-либо суждения  с помощью связанных с ним  суждений, истинность которых уже  установлена. 

            Различают два способа установления  истинности суждения: непосредственный и опосредованный.

            Непосредственный способ (эмпирическое  доказательство) основан на эмпирических  процедурах (наблюдение, эксперимент,  измерение и т.д.)

            Опосредованный (логическое доказательство) основан на логических формах. Состоит в установлении необходимой логической связи доказываемого утверждения с положениями, истинность которых считается установленной.  

            В структуру доказательства входят  следующие основные элементы:

            1)тезис - доказываемое положение, 

            2)аргументы(основания) - утверждения, при помощи которых обосновывается истинность тезиса ,

            3)демонстрация (форма) - логическая  связь тезиса с аргументами.  

            Тезис доказательства - суждение, которое  подлежит обоснованию. В дедуктивных  науках тезис называется теоремой.

            Поскольку аргументы суть истинные  утверждения, с помощью которых  определяют истинность тезиса, в  обыденном языке их называют "доказательствами". В формальных доказательствах  употребляются термины "посылки", или "основания".

     2. Опровержение и его виды. 

            Опровержение - это логическая операция  по установлению ложности тезиса.

            Доказать тезис А - значит обосновать  его истинность, а опровергнуть  тезис А - значит обосновать  его ложность. Любое положение  может быть подвергнуто двум видам аргументации. Либо будут найдены аргументы, подтверждающие выдвинутое в диалоге положение, либо будут указаны аргументы против данного положения (контраргументы), т. е. опровергающие его. На практике опровержение используется так же широко, как и доказательство, и имеет такую же структуру.  

     Опровержение  составляют следующие элементы:

            1)тезис - положение, которое необходимо  опровергнуть;

            2)аргументы (основания) - положения  (истинные суждения), при помощи  которых опровергается тезис;