Понятие в логике

Нарушение этого правила приводит к ошибкам двух видов.

а) неполное деление - когда перечисляются не все виды делимого родового понятия, например: «энергия делится на механическую и химическую» (не указана электрическая и атомная энергия).

б) деление с лишними членами - когда в результате деления к объему делимого понятия добавляются предметы, которых там первоначально не было, например: «химические элементы делятся на металлы, неметаллы и сплавы» (сплавы не входят в объем понятия «химический элемент»).

2. Члены деления должны исключать друг друга, т.е. не иметь общих элементов, быть соподчиненными понятиями, объемы которых не пересекаются. Иначе говоря, каждый элемент из объема делимого понятия должен попасть только в один класс, в противном случае возникнет путаница, а не прояснение объема интересующего нас понятия. Пример: «войны бывают справедливыми, несправедливыми, освободительными, захватническими и мировыми». Здесь члены деления не исключают друг друга: справедливая война может быть освободительной, захватнические войны - все несправедливые, и те и другие могут быть мировыми.

3. Деление должно производиться  только по одному основанию, нельзя в процессе деления заменять один признак, опираясь на который вы начали деление, другим признаком. Например: «люди бывают богатыми, бедными и лысыми».

Деление понятий следует отличать от мысленного расчленения предмета на части. Последняя операция также широко используется в повседневной, жизни: квартиру мы членим на комнаты, кухню, коридор и туалет. Однако деление понятий и расчленение предмета на части - совершенно разные операции, и их смешение приводит к путанице. Кому, например, нужно такое деление: «дома делятся на жилые, нежилые и квартиры»?

4. Деление должно быть непрерывным,  т. е. нельзя делать скачки  в делении. Будет допущена ошибка, если мы скажем: «сказуемые делятся  на простые, на составные глагольные  и составные именные». Правильным  будет сначала разделить сказуемые  на простые и составные, а  затем уже составные сказуемые  разделить на составные глагольные  и составные именные.

Виды деления: по видообразующему  признаку и дихотомическое деление.

При делении понятия по видообразующему  признаку основанием деления является тот признак, по которому образуются видовые понятия; этот признак является видообразующим. Например, по величине углы делятся на прямые, острые, тупые. Примеры деления по видообразующему  признаку: «транспорт бывает воздушным, наземным, подземным, водным, подводным».

При дихотомическом (двучленном) делении  объем делимого понятия делится  на два противоречащих понятия: А  и не-А. Примеры: «Организмы делятся  на одноклеточные и многоклеточные (т. е. неодноклеточные)».

Дихотомическое деление удобно по следующим причинам: оно всегда соразмерно; члены деления исключают  друг друга, так как каждый объект делимого множества попадает в класс  А или не-А; деление проводится только по одному основанию.

Операция деления понятия применяется  тогда, когда надо установить, из каких  видов состоит родовое понятие. От деления следует отличать мысленное  расчленение целого на части. Например, «дом делится (расчленяется) на комнаты, коридоры, крышу, крыльцо». Части целого не являются видами рода, т. е. делимого понятия. Мы не можем сказать: «комната есть дом», а можем сказать: «комната есть часть дома».

Классификация является разновидностью деления понятия, представляет собой  вид последовательного деления  и образует развернутую систему, в которой каждый ее член (вид) делится  на подвиды и т. д. От обычного деления  классификация отличается относительно устойчивым характером. Если классификация  научна, то она сохраняется весьма длительное время. Например, постоянно  уточняется и дополняется классификация  элементарных частиц, содержащая теперь уже более 200 их видов.

Для классификации обязательно  выполнение всех правил, сформулированных относительно операции деления понятий.

Существует классификация по видообразующему  признаку и дихотомическая. Приведем пример классификации по видообразующему  признаку: группы крови подразделяются на I, или II, или III, или IV. Здесь мы видим  сочетание двух видов классификации: по видообразующему признаку и дихотомической.

Очень важен выбор основания  классификации. Разные основания дают различные классификации одного и того же понятия, например понятия  «рефлекс».

Классификация может производиться  по существенным признакам (естественная) и по несущественным признакам (вспомогательная).

При естественной классификации, зная, к какой группе принадлежит предмет, мы можем судить о его свойствах. Например, естественная классификация  животных охватывает до 1,5 млн. видов.

С точки зрения диалектики иногда нельзя установить резкие разграничительные  линии, так как все развивается, изменяется и т. д. Каждая классификация  относительна, приблизительна, она  в огрубленной форме раскрывает связи между классифицируемыми  предметами. Существуют переходные формы, которые трудно отнести к той  иди иной определенной группе. Иногда эта переходная группа составляет самостоятельную  группу (вид). Например, при классификации  наук возникают такие переходные формы, как биохимия, геохимия, космическая  медицина, и др.

Вспомогательная классификация —  это распределение предметов  по группам (классам) на основании их несущественных признаков. Она применяется  для более легкого отыскания  предмета (или термина). Вспомогательная  классификация не дает возможности  судить о свойствах предметов (например, список фамилий, расположенных по алфавиту). Предметные или предметно-именные  указатели, а также справочники  лекарственных препаратов, расположенные  в алфавитном порядке, представляют примеры вспомогательных классификаций. Примером вспомогательной классификации  служит любой предметный указатель.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 6. Ограничение и обобщение понятий

Дано понятие «населенный пункт». Ограничив его, получим понятия: «город», «столица», «столица Индии». Произведенная  логическая операция есть операция ограничения  понятия.

Мы видим, что при ограничении  происходит переход от понятия с  большим объемом к понятию  с меньшим объемом, т. е. от рода к  его виду и от вида к подвиду. При  этом добавляются новые признаки, позволяющие сузить объем данного  понятия.

Ограничение — это логическая операция перехода от родового понятия к видовому путем добавления к содержанию данного  родового понятия видообразующих признаков. Пределом ограничения является единичное  понятие; в приведенном выше примере  это было понятие «столица Индии».

Обратная ограничению операция обобщения понятия состоит в  переходе от видового понятия к его  родовому понятию,  т. е.   от понятия  с меньшим объемом к понятию  большим объемом. Эта операция совершается  путем отбрасывания видообразующего  признака (признаков). Например, обобщая  понятие «сиамская домашняя кошка», получим следующие понятия: «домашняя  кошка», «кошка», «млекопитающее животное», «позвоночное животное», «животное», «организм».

Обобщение — это логическая операция перехода от видового понятия к родовому путем отбрасывания от содержания данного  видового понятия его видообразующего  признака (признаков).

Пределом обобщения являются категории.

Категории в философии — это  предельно общие, фундаментальные  понятия, отражающие наиболее существенные, закономерные связи и отношения  реальной действительности и познания. К ним относятся категории: материя  и движение, пространство и время, сознание, отражение, истина, тождество  и противоречие, содержание и форма, количество и качество, необходимость  и случайность, причина и следствие  и др.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 7. Операции с классами (объемами понятий)

Операции с классами — это  такие логические действия, которые  приводят нас к образованию нового (в общем случае) класса.

Существуют следующие операции с классами: объединение, пересечение, вычитание, дополнение.

• Объединение (или «сложение», сумма) двух классов — это класс тех элементов, которые принадлежат хотя бы к одному из этих двух классов. Объединение обозначается: А+В или А. Объединение класса четных чисел с классом нечетных чисел дает класс целых чисел. Объединив класс поэтов и класс советских поэтов, получим класс поэтов.

При выражении операции объединения  классов пользуются обычно союзом «или»  в не исключающем смысле. Например, говоря, что некто — член волейбольной или гимнастической секции, мы не исключаем  того, что этот человек может быть одновременно членом обеих секций.

Соответствующая операция над классами называется симметрической разностью  и в наиболее интересном случае иллюстрируется графически так, как это изображено на рисунке: 

Класс, составляющий симметрическую разность классов А и В, на чертеже  выделен штриховкой. Симметрическая разность не содержит общих членов классов А и В.

При объединении могут встретиться  следующие 6 случаев (см. рисунки):

 

 

• Пересечение («умножение») классов

Общей частью, или пересечением, двух классов называется класс тех  элементов, которые содержатся в  обоих данных множествах, т. е. это  множество (класс) элементов, общих  обоим множествам. Пересечение обозначается А×В или А — пустое множество. При пересечении могут встретиться следующие 6 случаев (см. рисунки):

 

Например, операция пересечения классов  «школьник» (А) и «футболист» (В) заключается  в нахождении таких людей, которые  одновременно являются и школьниками, и футболистами.

 

Основные законы логики классов. Законы операций объединения и пересечения

1. Законы  идемпотентности. А + А = А. А  × А = А.

В логике первый из этих законов означает следующее. Если мы к классу «дом»  прибавим класс «дом», то получим  класс «дом», т. е. домов не станет в два раза больше и объем понятия  «дом» останется прежним.

2.  Законы  коммутативности. Эти законы существуют  в алгебре, в арифметике, в теории  множеств и в логике классов.  А + В = В + А. АВ=ВА.

Если мы к классу «растение» прибавим класс «животное», то получим класс  «организм»; тот же самый класс  получим, если мы к классу «животное» прибавим класс «растение».

3. Законы ассоциативности. Они существуют в арифметике, алгебре, теории множеств и в логике классов. (А+В) + С = А + (В+С).

(A × B) × C=A × (B × С).

4.  Законы  дистрибутивности.

(A+B) ×C = (A × С)+(B × С). (A × B) + C = (A + С) × (B+С).

5.  Законы   поглощения.   А + (А × В)=А.  А × (А+В)=А.

Доказательство этих законов осуществляется графическим методом. Два закона поглощения для «сложения» и «умножения»  классов иллюстрируются графически на рисунках:

 

Промежуточный результат изображен  горизонтальной штриховкой. В первом законе поглощения он равен АВ, а  во втором — равен А + В. Результат  изображен вертикальной штриховкой; он равен классу А.

• Вычитание классов

 

Рассмотрим два множества (класса) А и В, из которых В может  и не быть частью А. Разностью множеств (классов) А и В называется множество  тех элементов класса А, которые  не являются элементами класса В. Разность обозначается А – В. Могут встретиться  следующие пять случаев (если классы А и В не пусты и не универсальны).

1-й случай. Класс А включает  в себя класс В. Тогда разностью  А – В будет заштрихованная  часть А, т. е. множество тех  элементов, которые не суть  В. Например, если мы из множества  звуков русского языка (А) вычтем  множество гласных звуков (В), то  получим множество согласных  звуков, изображенное на чертеже  в виде заштрихованного кольца.

2-й случай. Разностью двух перекрещивающихся  классов будет заштрихованная  часть А. Например, разность множеств  «рабочий» (А) и «рационализатор» (В) даст множество рабочих,  которые не являются рационализаторами.

3-й случай. Если класс А полностью  включен в класс В и класс  В полностью включен в класс  А, то эти классы (множества)  равны (тождественны). Тогда разность  А – В даст пустой, или нулевой,  класс, т. е. класс, в котором  нет ни одного элемента. Например, если мы из класса «сосна»  вычтем класс «сосна», то разность  А – В будет равна пустому  классу.

4-й случай (см. рисунок). Класс А  и класс В не имеют общих  элементов.

 

 

Тогда разность А – В=А, так как  всякий элемент класса А не является элементом класса В. Например, разность класса «стол» (А) и класса «стул» (В) равна классу «стол» (А).

В результате «вычитания» классов, соответствующих понятиям, находящимся  в отношении противоположности [«низкий  дом» (А), «высокий дом» (В)] или противоречия [«одушевленный предмет» (А), «неодушевленный  предмет» (В)], разность А– В также  равна А (см. рисунок).

 

5-й случай (см. рисунок). Если объем  класса А меньше объема класса  В, то в результате вычитания  получим пустой класс, так как  нет элементов класса А, которые  не являлись бы элементами  класса В. Например, разность класса  «личное местоимение» (А) и «местоимение»  (В) дает пустой класс.

Для операции вычитания классов  справедливы следующие законы:

1. А – В
2. А
3. А=(А×В)+(А–В)
4. В×(А–В)= ∅
5. В ≤ В–(А–В)

В интерпретации логических алгебр посредством классов запись А обозначает включение класса А в класс В; А⇄В обозначает эквивалентность классов (А тогда и только тогда, когда В).

Дополнением к классу А называется класс А  который, будучи сложенным с А, дает рассматриваемую область предметов (эту область обозначим 1), а в пересечении с классом А дает ∅ т. е. для которого А+А' = 1 и А × А' = ∅_. Откуда А' = 1–А, поэтому операцию дополнения к классу А можно рассматривать как частный случай операции «вычитания» (из универсального класса). Если от класса целых чисел (1) отнять класс четных чисел (А), то мы получим класс нечетных чисел (т. е. А'  поскольку всякое целое число четное или нечетное и нет таких четных чисел, которые были бы нечетными). Графически это можно изобразить так, что заштрихованная часть будет обозначать дополнение к А, т. е. A' (см. рисунок). Для операции дополнения кроме указанных выше установлены и следующие законы: