Роль перестрахования в обеспечении финансовой устойчивости страховой компании

     Можно сделать вывод, что в данном случае использование перестрахования  позволяет значительно снизить  вероятность разорения путем  передачи части риска перестраховочной компании. И несмотря на то, что ожидаемая  прибыль тоже уменьшается (50, а не 200), использование перестрахования  положительно сказывается на финансовых показателях компании и является предпочтительным выбором для руководства. 

     В заключение хотелось бы сделать несколько замечаний, касающихся сравнения рассмотренных перестраховочных схем. Предотвращения маловероятных, но возможных катастрофических выплат по страховому портфелю обеспечивает эксцедентное перестрахование. Пропорциональное перестрахование не предназначено для борьбы с огромными по величине убытками, которые могут привести к разорению страховщика. Оно является относительно мягким средством распределения ответственности.

     Страховым компаниям стоит учитывать, что  если в их портфелях доля страховых  случаев с большими выплатами  относительно невелика в общем прогнозируемом числе случаев, то блокирование таких  убытков индивидуально по каждому  клиенту в отдельности достаточно эффективно повысит вероятность  неразорения.

     Стоит учитывать, что в круг задач актуария должны входить как оптимизация параметров в рамках заданной схемы, так и выбор наиболее подходящего варианта схемы перестрахования в целом. При этом следует учитывать возможность заключения более сложных, комбинированных договоров, включающих в себя элементы нескольких типов перестрахования. 
 

Глава 3. Анализ перестрахования с помощью теории разорения

 

    На  вопросы о типе и величине перестрахования, которое следует приобретать, можно  отвечать многими способами. Один из подходов опирается на принятие страховщиком функции полезности. Из всевозможных способов осуществить перестрахование  страховщик выбирает тот, который дает наивысшую ожидаемую полезность. Этот идеальный подход, очень простой  по своей сути, на практике используется не часто.

    Переходя  ко второму подходу, вспомним, что  интенсивность сбора страховых  премий с содержит относительную рисковую надбавку θ, так что . Величина θ не содержит в данном случае никаких надбавок на расходы и вкладом в процесс рискового резерва была вся величина с. Для продолжения обсуждения перестрахования полезно определить перестраховочную надбавку ξ формулой:

    (интенсивность  сбора перестраховочной премии) = (1+ξ)*(математическое ожидание интенсивности перестраховочных премий)  (3.1)

    Интенсивность сбора премии, определяемая перестраховщиком, предназначается для обеспечения  выплат перестраховщика, компенсации  его расходов, обеспечение рисковой надбавки и дохода. Для определения  величины ξ страховщик может выразить интенсивность перестраховочных премий в виде правой части формулы 3.1. В частности, для математического ожидания выплат по договору перестрахования эксцедента убыточности Е(I_d) надбавка ξ равна нулю.

    При втором подходе признается, что покупка  перестрахования – это обязательно  компромисс между ожидаемым доходом  и безопасностью. Из-за того, что  перестраховочная премия содержит надбавку, покупка перестрахования снизит ожидаемые доходы прямого страховщика. С другой стороны, разумно выбранные  условия перестрахования в известном  смысле увеличат его безопасность. При этом подходе сначала определяется требуемый уровень безопасности. Лишь после этого рассматриваются  условия перестрахования, обеспечивающие этот уровень. Из всего множества  допустимых условий страховщик выбирает то, которое обеспечивает наибольший ожидаемый доход.

    Для изучения условий перестрахования  будем рассматривать два инструмента  их теории разорения. Первым из них  является коэффициент Лундберга, который  можно использовать для получения  информации о вероятности разорения. В качестве второго инструмента  воспользуемся величиной Е(L), математическим ожиданием максимальных суммарных потерь. В этом контексте сам термин «коэффициент Лундберга» раскрывает свое значение: если некоторые условия перестрахования приводят к недостаточно большому значению R ( ), условия перестрахования следует поправить.

    Рассмотрим  пример. Пусть ежегодные суммарные  выплаты по некоторому страховому портфелю являются независимыми и одинаково  распределенными случайными величинами. Общим для них всех распределением является сложное пуассоновское  распределение с параметрами  . Собранные за год премии составляют сумму с=2,5.

    А) подсчитаем коэффициент Лундберга, который соответствует такому портфелю.

    Б) пусть можно заключить договор  перестрахования эксцедента убыточности  с перестраховочной надбавкой, равной 100%. Найдем коэффициент Лундберга, если величина безусловной франшизы в  договоре перестрахования эксцедента убыточности равна 

    1) 3

    2) 4

    3) 5

    Сравним эти варианты с точки зрения ожидаемого дохода.

    Решение:

    А) в этом случае R = , и мы можем получить R:

     . Получается, R = =0,28.

    Б) подробно рассмотрим случай 1), d=3, при котором E(I₃)= 0,338. Взимаемая премия в договоре перестрахования эксцедента убыточности в два раза больше этой величиныи равна 0,676. Таким образом, премия, удерживаемая прямым страховщиком, в год с номером i равна 2,5 – 0,676 =1,824, а удержанные им страховые выплаты определяются формулой:

        (3.2)

    где случайная величина W_i обозначает суммарные выплаты в i-тый год. является положительным решением уравнения

       (3.3) 

    Вычисляя, получаем =0,25. Ожидаемый годовой доход составляет

     .

    Вычисления  в случаях 2) и 3) проводятся аналогично. Результаты представлены нже в приведенной  таблице, причем строка, соответствующая  , представляет случай отсутствия перестрахования (то есть А). 

 

    С точки зрения безопасности, измеряемой коэффициентом Лундберга, безусловная  франшиза 4 лучше, чем безусловная  франшиза 5, которая с свою очередь  лучше, чем полное отсутствие перестрахования. С точки зрения ожидаемого дохода порядок предпочтения меняется на обратный. Кроме того, можно заметить, что  выбор безусловной франшизы величины 3 является нерациональным. Это хуже, чем отсутствие перестрахования, как с точки зрения безопасности, так и с точки зрения ожидаемого дохода.

    Рассмотрим  такие условия перестрахования, при которых выплаты перестраховщика  зависят от величины индивидуальных страховых выплат. В общем случае это перестраховочное покрытие определяется с помощью функции h(x), такой, что для всех x. Функция h(x) интерпретируется как величина выплат перестраховщика прямому страховщику, если величина выплаты по страховому случаю равна х. Одним из частных случаев такого перестрахования является пропорциональное перестрахование, при котором

     ,    (3.4)

    то  есть перестраховщик покрывает постоянный процент страховых выплат. Другим частным случаем является эксцедентное перестрахование, при котором

     ,   (3.5)

    где играет роль безусловной франшизы. Покрытие в договоре эксцедентного перестрахования напоминает покрытие в договоре перестрахования эксцедента убыточности. Однако эксцедентное перестрахование применяется к индивидуальным выплатам, а перестрахование эксцедента убыточности – к суммарным страховым выплатам.

    Рассмотрим  модель с непрерывным временем, описываемую  сложным пуассоновским процессом. Предположим, что перестраховочные премии выплачиваются непрерывно с  интенсивностью c_h. Тогда коэффициент Лундберга R_h для прямого страховщика является решением уравнения

         (3.6)

    У прямого страховщика поступления  происходят с нетто-интенсивностью и он выплачивает сумму x – h(x), когда наступает страховой случай с выплатой размера х.

    Рассмотрим  процесс рискового резерва, для  которого

1. процесс S(t), описывающий суммарные выплаты, является сложным пуассоновским, причем величина страховой выплаты имеет показательное распределение со средним 1,
2. относительная рисковая надбавка составляет 25%
3. приобретается пропорциональное перестрахование по цене 140% от математического ожидания величины выплат перестраховщика.

    Определим коэффициент пропорциональности α  при перестраховании каждого  страхового случая, который максимизирует  коэффициент Лундберга R для процесса с таким перестрахованием.

    Решение:

    Согласно  формуле (3.6), R является наименьшим положительным корнем уравнения

     .   (3.7)

    В рассматриваемой ситуации при  р₁ = 1 и имеем с = 1,25 и c_h = 1,4αλ. Далее, для случайной величины Х с показательным распределением

     .    (3.8)

    Это приводит к уравнению

    

    относительно  R, решение которого есть

     .

    Величина  α, которая максимизирует величину коэффициента Лундберга, определяется так: , и этот результат соответствует значению коэффициента Лундберга R = 0,223787.

    Полученный  ответ учитывает связь между  двумя интенсивностями надбавок.

    Теперь  найдем величину безусловной франшизы β, которая для процесса с таким  перестрахованием максимизирует коэффициент  Лундберга R.

    Решение:

    При рассматриваемом эксцедентном перестраховании  распределение величины страховых  выплат является показательным распределением, усеченном на уровне β. Снова имеем  , но теперь для x>β  и 0 в противном случае, так что .   (3.9)

    Таким образом, нелинейное уравнение, определяющее величину R как функцию от β, имеет вид

     .

    В приведенной ниже таблице указаны  значения R, соответствующие ряду различных значений β.