Финансовая политика оптимизации операций личного страхования

     Проведем  исследование для СК ЗАО «Аска-Жизнь», используя данные о суммах привлеченных премий по операциям личного страхования за 2003-2008 гг. При этом предположим, что данные с 2003 по 2007 г. нам известны, а за 2008 г. - не известны. Данную сумму премий используем в качестве проверочного результата.

     Следует отметить, что динамический ряд для  сумм собранных страховых премий в Украине имеет квазистационарный  характер, во всяком случае, о квазистационарном  характере следует сделать предположение. Тогда вероятностные и динамические свойства ряда остаются неизменными в пределах заданного ряда, а значение постоянной составляющей может изменяться. Если к динамическому ряду с заметной нестационарностью применить приемы проверки на автокорреляцию, то будет обнаружен значительный коэффициент автокорреляции. Для устранения "ложной автокорреляции" произведем выделение тренда: 

     Y_тp(t) = a_{0 +} a₁t.                                                          (3.3) 

     Где:  Yтр(t) - расчетные значения тренда для любого момента времени t;

            t - любой фиксированный момент времени в пределах динамического ряда.

     Таблица 3.2 - Суммы собранных страховых премий ЗАО СК «Аска-Жизнь» (предыстории и результаты расчетов), грн.

 

     Для определения коэффициентов уравнения тренда а₀ и а, используем метод наименьших квадратов, для чего составим систему нормальных уравнений:

     

                  SY_i = Na₀ + a₁St₁                                                                        (3.4)

     SY_it_i = a₀St₁ + a₁St₁² 

     где  ti - время, соответствующее i-й точке динамического ряда;

     N - число точек динамического ряда i=1,2,... N.

     Подставив числовые значения величин, входящих в  систему (3.4), и решив её, получим значения коэффициентов тренда (3.4). Для данного случая уравнение тренда будет иметь вид: 

     Yтр(t) = -3372,75 + 8819,17 t.                                                (3.5) 

     Теперь  для получения прогнозного значения трендовой части в уравнение (3.5) достаточно подставить время, соответствующее прогнозируемому. Затем произведем расчет отклонений фактических значений сумм страховых премий от тренда для всех значений по формуле:

     DYi = Yф.i – Yтр.i,                                                   (3.6)

     где Yф.i - фактическое значение сумм страховых премий в i-й точке динамического ряда;

     Yтр.i — расчетное значение суммы страховых премий в i-й точке динамического ряда по формуле (3.5).

     В результате получим отклонение фактических  значений от трендовых сумм страховых  премий, которое и будет подвергаться исследованию на автокорреляцию и зависимость от предыстории. Формирование предыстории для динамического ряда отклонений состоит в сдвиге на один интервал столбца исходной последовательности. В результате образуется неполная матрица исходной информации. Для расчета воспользуемся уравнением: 

     DYi(t) = a₀ + a₁DY(t₀ - t),                                                   (3.7) 

     где DYi(t) - автокорреляционная зависимость будущего значения последовательности от предыдущего;

     DY(t₀ - t) - предыстория.

     Коэффициенты  рассчитываем методом наименьших квадратов, составляющих систему нормальных уравнений. Подставив числовые значения в систему  (3.4) и решив ее, получим уравнение связи с предысторией: 

     DYi = -1272,92 – 0,43DY_i-t                                                (3.8) 

     Количество  предыстории из-за ограниченности длины  динамического ряда по количеству точек  не может быть безграничным.

     Процесс превращения уравнения статистической интерполяции в уравнение прогнозирования состоит в подстановке в уравнение (3.8) последнего значения динамического ряда отклонений (для уравнения с одной предысторией), которое будет соответствовать предыстории для прогнозируемого момента времени.

     Определим числовое значение прогноза по данным таблицы 3.2 и уравнениям (3.5) и (3.8). Из уравнения (3.5) находим для t=6 (2008 г.) Yтр. (6) = -3372,75 + 8819,17 * 6 = 49542, 27 тыс. грн.

     По  данным таблицы определим числовое значение предыстории У₅ = 7139,99 тыс.грн. Подставив его в уравнение (3.8), получим DY₆ = -1272,92 - 0,43(-7152,36) = 1802,59 тыс.грн. Тогда прогноз для t=6 (2008г.) определим как Yпрог. ₆ = Yтр.₆ + DY₆ = 49542, 27 + 1802,59 = 52344,86 грн.

     Фактическое значение суммы страховых премий для t₆ составляет 28509,5 тыс.грн, то есть получен прогноз с точностью: 

     m = (Yф(6) – Yпрог.(6)) / Yф(6) = - 44 %                                      (3.7) 

     Недостаточно  высокая степень точности прогноза получилась за счет низкой автокоррелированности динамического ряда, связанного с его малой длиной. Откорректировав полученную модель, с учетом 2009 г., синтезируем модель для прогнозирования на 2009 г. Найдя коэффициенты методом наименьших квадратов и подставив значения в формулу (3.1), получим уравнение тренда вида: 

     У_тр (t) = -10376,35 + 11820,72 * t.                                             (3.8) 

     Далее произведем расчет отклонений фактических  значений сумм страховых премий от тренда для всех значений по формулам (3.6) и (3.7) и, решив систему (3.4), получим уравнение связи с предысториями: 

     DY_i = -904,95 + 0,28 DY_i-t.                                                  (3.10) 

     Тогда прогноз на 2008 г. (t=7) можно рассчитать как У_тр (7) = -10376,35 + 11820,72 * 7 = 72368,65 тыс.грн. Подставив предысторию, получим DY ₇= -904,95 + 0,28 * (-864,13) =   1146,91 тыс.грн. Тогда прогноз для t =7 (2008 г.) определим как 

     Y_npoг7 = У_тр7 + DY ₇ = 11820,72 – 1146,91 = 10673,81 тыс.грн. 

     Полученный  результат вынуждает обратить внимание на выделение тренда. Среди широко используемых уравнений часто применяются полиномы различной степени. Основной задачей при выборе полинома является определение его степени, при которой были бы получены наилучшие показатели прогнозирования.

     Чем выше случайная составляющая исследуемого динамического ряда, тем меньше должна быть степень полинома, применяемого при аппроксимации. Это необходимо для усреднения случайной ошибки исследуемого динамического ряда, чтобы получить более надежное определение коэффициентов трендового полинома. При этом точность интерполяции уменьшается, а точность прогнозирования растет, так как удается выделить тренд и игнорировать случайные отклонения от главной тенденции.

     Процесс определения оптимальной степени  полинома будет состоять в последовательном выделении разновидностей все более высоких порядков и в определении уровня разностей номер разности, имеющей минимальное значение, будет равен максимально допустимой степени полинома.

     Тогда для приведенной задачи рассчитаем оптимальную степень полинома (см табл. 3.3), синтезируем модель прогнозирования и сравним результаты прогноза с полученными выше результатами.

     Таблица 3.2 - Динамика сбора страховых премий по личному страхованию и результаты расчетов по оптимальному тренду, грн.

 

     Определим номер разности, имеющей минимальное  значение, и для нашего случая воспользуемся  уравнением вида: 

     Dk = (1/(N₀-k))*S|Dk|,                                                     (3.10) 

     где N₀ - k - число разностей с номером k в динамическом ряду разностей;

           N₀ - число точек исходного динамического ряда;

            k - порядок разностей, выделяемых и исследуемых на уровень.

     В таблице 3.2 приведены значения разностей до третьего порядка для всех точек базисного динамического ряда. Расчет первой разности производится по формуле:

     D_1i = Y_i – Y_i-1 = 1,2,...,N,                                              (3.11) 

     где Y_i - фактическое значение сумм собранных страховых премий в i-м году;

            Y_i-1 -фактическое значение сумм собранных страховых премий в i-1 году;

     i - номер точки в базисном динамическом ряду.

     Длина полученного динамического ряда первой разности становится на единицу  меньше длины основного ряда, тогда среднее значение рассчитаем по формуле: 

     D_1ср = ¼ S|D_1i |                                                    (3.12)   

                                               

     Расчет  второй разности:

     D_2ср = D_1i - D_1(i-1)                                                                         (3.13) 

     где D_1i  - первая разность для i-ro года;

     D_1(i-1)- первая разность для i-1 -го года;

     i - номер точки динамического ряда, причем i = 3,4, 5.

     Тогда среднее значение второй разности будет  равно: