Введение в анализ, синтез и моделирование систем

                      End;

       SetColor(Red);  SetLineStyle(3,1,1);

       Line(70,ay[time],ax[time],ay[time]);  Line(ax[time],ay[time],ax[time],410);

       Ipol(0,x[0],1,x[1],2,x[2]);

       For i:=ax[0] to ax[2] do Begin

                                   sx:=p*(i-70)/20;

                                   yi:=410-round(20*(aa*sx*sx+bb*sx+cc)/tk);

                                   SetColor(Red);  Circle(i,yi,1);

                               End;

       For t:=1 to Time-2 do Begin

                               Ipol(t,x[t],t+1,x[t+1],t+2,x[t+2]);

                               For i:=ax[t+1] to ax[t+2]do

                                          Begin

                                             sx:=p*(i-70)/20;

                                             yi:=410-round(20*(aa*sx*sx+bb*sx+cc)/tk);

                                             SetColor(Red);  Circle(i,yi,1);

                                        End;

                                End;

       ReadKey; CloseGraph;

End;

{-------------------------------------------------------------------------------------------}

Begin

While true do

         Begin

                 ClrScr;  TextBackGround(2);  Window(1,1,80,25);  ClrScr;

                 OpenWindow(30,22,50,24,' Нажмите клавишу: ',4,1);

                 OpenWindow(5,5,75,16,' Динамика фондов производства ',14,5);

                 ClrScr;  WriteLn;

                 WriteLn('  Пусть х(t) - основные фонды в момент времени t,  y(t) -');

                 WriteLn(' инвестиции,  m - коэффициент амортизации фондов.');

                 WriteLn(' Модель динамики основных фондов (L - лаг):');

                 Write('    x`(t) = y(t-L) - mx(t),  где х(0) = Хо,  y(t)=at+b, ( a,b>0 ).');

                 ReadKey;  CloseWindow;

                 OpenWindow(15,10,65,17,' Выбирите вариант входа-выхода: ',15,0);

                 ClrScr;   WriteLn;

                 WriteLn('        С  клавиатуры              - <1>');

                 WriteLn('        Из файла                       - <2>');

                 WriteLn('        Случайными числами - <3>');

                 WriteLn('        Выход                           - <Esc>');

                 ch:=ReadKey;

                 Сase ch of

                       #49: InputKeyboard;

                       #50: Вegin InputFile; OutputScreen; Еnd;

                       #51: Вegin InputRnd; OutputScreen; End;

                       #27: Halt(1);

            End;

            CloseWindow; Worker; OutputFile;

            OpenWindow(22,10,58,14,'',15,5);

            ClrScr;  WriteLn;

            Write('Для просмотра графика нажмите ввод');  ch:=ReadKey;

            If ch=#13 then begin Graf; RestoreCrtMode; end;

            CloseWindow;  TextBackGround(15);  Window(1,1,80,25);

            ClrScr; OpenWindow(15,10,65,16,'',15,6); ClrScr;  WriteLn;

            WriteLn('         Хотите еще моделировать ?');  WriteLn;

            WriteLn('Для выхода нажмите          -        < Esc >');

            WriteLn('Для продолжения нажмите любую другую клавишу');

            ch:=ReadKey;

            If ch=#27  then Halt(1);

            CloseWindow;

     End;

     ClrScr;  TextBackGround(0);

End.

Этап 4. Проведение вычислительных экспериментов

Эксперимент 1. Поток инвестиций - постоянный и в каждый момент времени равен 10000. В начальный момент капитал - 1000000 руб. Коэффициент амортизации - 0,0025. Найти величину основных фондов через 20 суток, если лаг равен 5 суток.

Эксперимент 2. Основные фонды в момент времени t=0 была равны 5000. Через какое время общая их сумма превысит 120000 руб., если поток инвестиций постоянный и равен 200, а m=0,02, T=3?

Эксперимент 3. Какую стратегию инвестиций лучше использовать, если величина инвестиций постоянная, в начальный момент капитал равен 100000, величина амортизации постоянная?

Этап 5. Модификация (развитие) модели

Модификация 1. Коэффициент амортизации можно взять в форме m=r-sx(t), где r - коэфициент обновления фондов, s - коэффициент устаревания фондов, причем 0r, s1. При этом модель примет вид

x´(t)=y(t-T)-rx(t)+sx2(t),     x(0)=х0

Этой непрерывной, дифференциальной, динамической модели можно поставить в соответствие простую дискретную модель:

  хi+1=хi +yj - rхi+sxi 2 ,

x0=с,   i=0, 1, 2, :, n,   0<j<n,

где n - предельное значение момента времени при моделировании. Поставить цели и исследовать непрерывную и дискретную модели.

Модификация 2. Одна из моделей математической экономики задается уравнением: dz/dt=((1-c)*z(t)+k(t-w)+a)l, где z(t) - функция, которая характеризует выпуск продукции, k - коэффициент капиталовложений, a - независимые расходы производства, l - скорость реакции выпуска на капиталовложения, c - постоянная спроса, w - запаздывание (лаг). Поставить цели и исследовать непрерывную и дискретную модели.

Модификация 3. Для модели динамики фондов с переменным законом потока инвестиций: а) построить гипотезы, модель и алгоритм для моделирования; б) сформулировать планы вычислительных экспериментов по этой модели; в) реализовать алгоритм и планы экспериментов на ЭВМ.

Математическое моделирование только в последнее время становится на технологическую основу, в связи с этим необходимо отметить особую роль обычно технологичного имитационного моделирования, которое позволяет нам проигрывать реальные ситуации, происходящие в системах, на их моделях. Компьютерное моделирование (получение, накопление, переработка, хранение, использование, актуализация знаний с помощью ЭВМ), в отличие от математического, используется сравнительно недавно, хотя эти технологии моделирования тесно связаны. Компьютерное моделирование, как правило, применяется тогда, когда не удается построить математической аналитической модели или же такая модель трудоемка для исследования.

Пример. Компьютерной (физической) моделью может служить простая модель броуновского движения, получаемая генерацией компьютером нового случайного положения точки на экране и траектории ее движения; при этом отметим, что сам "датчик случайных чисел компьютера (или языка)" - это компьютерная модель, соответствующая математической модели распределения случайной величины (обычно нормального распределения) или так называемой функции распределения. Это распределение - псевдослучайное, получаемое по вполне детерминированному алгоритму.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое математическая модель?
2. Что такое линеаризация, идентификация, оценка адекватности и чувствительности модели?
3. Что такое вычислительный или компьютерный эксперимент? В чем особенности компьютерного моделирования по сравнению с математическим моделированием?

Задачи и упражнения

По приведенным ниже моделям: выписать соответствующую дискретную модель (если приведена непрерывная модель) или непрерывную модель (если приведена дискретная модель); исследовать модель в соответствии с поставленной целью (получить решение, проверить его единственность, устойчивость, наличие стационарного решения); составить алгоритм моделирования; модифицировать модель или разработать на ее основе новую; сформулировать несколько реальных систем, описываемых моделью; линеаризовать и идентифицировать модель (предложить подходы); сформулировать несколько возможных сфер применения моделей и результатов, полученных при ее исследовании; определить тип, входное и выходное множество модели.

1. Концентрация вещества, поступающего в реку со стоком, изменяется в результате действия рассеивания, адвекции, реакции. Концентрация хi вещества в реке зависит только от расстояния i, i=0,1,:, n по течению реки и определяется по формуле: ab(xi+1-2xi+xi+1)-c(xi-xi-1)-daxi=0, где а - площадь поперечного сечения реки, b - коэффициент рассеивания по течению реки, с - полный объемный расход реки, d - скорость разложения органического вещества. Эти величины a, b, c, d считаются пока постоянными. Общий поток вещества определяется: N=cxi-ab(xi+1-xi). Цель моделирования - прогноз загрязнения реки (для каждого i).
2. Пусть x(t) - величина ресурса (вещественного, энергетического или информационного), а(х) - скорость его возобновления, у(t) - величина потребителя (плотность), b=b(x,y) - скорость потребления ресурса потребителем, причем эксперименты показывают, что часто b=b(x). При этих условиях модель баланса ресурса имеет вид: x'(t)=a-by(t), x(0)=m, y'(t)=cby(t)-dy(t), y(0)=n, где с - к.п.д. переработки ресурса для нужд потребителя (например, в биомассу потребителя), d - коэффициент естественной убыли потребителя. Функция b=b(x), обладающая свойствами: а) b(x) - монотонна, т.е. растет или убывает, b'(x)>0 или b'(x)<0; б) b(0)=0 (в начальный момент трофическая функция равна нулю); в) b(x) - ограничена (т.е. скорость потребления ресурса ограничена) называется трофической функцией потребителя. Если а=0 - ресурс не возобновляем, иначе - возобновляем с постоянной скоростью а. Рассмотреть социально-экономическую интерпретацию одной модели. Цель моделирования: а) прогноз потребления; б) прогноз переработки; в) идентификация к.п.д. при различных аналогах трофической функции.
3. Пусть рынок некоторых товаров определен в виде клеточного поля. Некоторые клетки поля вначале считаются занятыми (продавцами). Ближайшие к занятым клеткам свободные (граничащие) клетки образуют периметр кластера продавцов (кластер может состоять также только из одного продавца). Ячейки периметра с вероятностью (с частотой) р занимаются новыми продавцами до тех пор, пока кластер не достигнет границ поля (экономической ниши товара) или не пройдет некоторое заданное время моделирования (время снижения потребительского интереса к товарам). Цель моделирования: а) построение клеточно-автоматной, фрактальной картины рынка через некоторое время; б) построение новых законов занятия ниши продавцами товаров и моделирование.

Темы научных исследований и рефератов, интернет-листов

1. Математическое моделирование: история, личности, будущее.
2. Компьютерное моделирование и его особенности.
3. Роль математического моделирования в современном мире.

12. Лекция: Эволюционное моделирование и генетические алгоритмы

Рассматриваются основные понятия и принципы эволюционного моделирования систем, а также генетических алгоритмов - адекватного аппарата его проведения.

Цель лекции: ввести в суть проблемы, сформулировать основные положения и принципы, цели эволюционного моделирования и дать общее понятие о генетических алгоритмах и их возможностях в эволюционном моделировании.

Потребность в прогнозе и адекватной оценке последствий осуществляемых человеком мероприятий (особенно негативных) приводит к необходимости моделирования динамики изменения основных параметров системы, динамики взаимодействия открытой системы с его окружением (ресурсы, потенциал, условия, технологии и т.д.), с которым осуществляется обмен ресурсами в условиях враждебных, конкурентных, кооперативных или же безразличных взаимоотношений. Здесь необходимы системный подход, эффективные методы и критерии оценки адекватности моделей, которые направлены не только (не столько) на максимизацию критериев типа "прибыль", "рентабельность", но и на оптимизацию отношений с окружающей средой. Если критерии первого типа важны, например, для кратко- и среднесрочного прогнозирования и тактического администрирования, то второго типа - для средне- и долгосрочного прогноза, для стратегического администрирования. При этом необходимо выделить и изучить достаточно полную и информативную систему параметров исследуемой системы и его окружения, разработать методику введения мер информативности и близости состояний системы. Важно отметить, что при этом некоторые критерии и меры могут часто конфликтовать друг с другом.

Многие такие социально-экономические системы можно описывать с единых позиций, средствами и методами единой теории - эволюционной.

При эволюционном моделировании процесс моделирования сложной социально-экономической системы сводится к созданию модели его эволюции или к поиску допустимых состояний системы, к процедуре (алгоритму) отслеживания множества допустимых состояний (траекторий). При этом актуализируются такие атрибуты биологической эволюционной динамики (в скобках даны возможные социально-экономические интерпретации этих атрибутов для эволюционного моделирования) как, например:

1. сообщество (корпорация, корпоративные объекты, субъекты, окружение);
2. видовое разнообразие и распределение в экологической нише (типы распределения ресурсов, структура связей в данной корпорации);
3. экологическая ниша (сфера влияния и функционирования, эволюции на рынке, в бизнесе);
4. рождаемость и смертность (производство и разрушение);
5. изменчивость (экономической обстановки, ресурсов);
6. конкурентные взаимоотношения (рыночные отношения);
7. память (способность к циклам воспроизводства);
8. естественный отбор (штрафные и поощрительные меры);
9. наследственность (производственные циклы и их предыстория);
10. регуляция (инвестиции);
11. самоорганизация и стремление системы в процессе эволюции максимизировать контакт с окружением в целях самоорганизации, возврата на траекторию устойчивого развития и другие.

При исследовании эволюции системы необходима ее декомпозиция на подсистемы с целью обеспечения:

1. эффективного взаимодействия с окружением;
2. оптимального обмена определяющими материальными, энергетическими, информационными, организационными ресурсами с подсистемами;
3. эволюционируемости системы в условиях динамической смены и переупорядочивания целей, структурной активности и сложности системы;
4. управляемости системы, идентификации управляющей подсистемы и эффективных связей с подсистемами системы, обратной связи.

Пусть имеется некоторая система S с N подсистемами. Для каждой i-й подсистемы определим вектор x(i)=(x1(i),x2(i),:,xni(i)) основных параметров (т.е. параметров, без которых нельзя описать и изучить функционирование подсистемы в соответствии с целями и доступными ресурсами системы) и функцию s(i)=s(x(i)), которую назовем функцией активности или просто активностью этой подсистемы.

Пример. В бизнес-процессах это понятие близко к понятию деловой активности.

Для всей системы определены вектор состояния системы x и активность системы s(x), а также понятие общего потенциала системы.

Пример. Потенциал активности может быть определен аналогично биологическому потенциалу популяции, например, с помощью интеграла от активности на задаваемом временном промежутке моделирования.

Эти функции отражают интенсивность процессов как в подсистемах, так и в системе в целом.

Важными для задач моделирования являются три значения s(i)max, s(i)min, s(i)opt - максимальные, минимальные и оптимальные значения активности i-й подсистемы, а также аналогичные значения для всей системы (smax, smin, sopt). В качестве показателя экономического состояния можно брать также отношение значения этого показателя к его нормированному значению, а для комплексного учета влияния параметров на состояние системы можно использовать аналоги меры информационной близости, например, по К. Шеннону.

Если дана открытая экономическая система (процесс), а Н0, Н1 - энтропия системы в начальном и конечном состояниях процесса, то мера информации определяется как разность вида:

ΔН=Н0-Н1.

Уменьшение ΔН свидетельствует о приближении системы к состоянию статического равновесия (при доступных ресурсах), а увеличение - об удалении. Величина ΔН - количество информации, необходимой для перехода от одного уровня организации системы к другой (при ΔН>0 - более высокой, при ΔН<0 - более низкой организации).

Возможен подход и с использованием меры по Н. Моисееву. Пусть дана некоторая управляемая система, о состояниях которой известны лишь некоторые оценки - нижняя smin и верхняя smax. Известна целевая функция управления F(s(t),u(t)), где s(t) - состояние системы в момент времени t, а u(t) - управление из некоторого множества допустимых управлений, причем считаем, что достижимо uopt - некоторое оптимальное управление из пространства U, t0<t<T, sminssmax. Мера успешности принятия решения: