Получается  множество прямоугольных трапеций. Площадь одной трапеции равна:

      S_тр= ^.h

      Отсюда: y ^.h + ^.h + … + ^.h =

      = h ^. + f(a + h) +…+ f(в-h) = +

      Точность  Е h²

 

       Метод Симпсона (парабол) 

      В этом методе отрезок [a,в] разбивается на 2_n частей, длинной h= и ординаты сверху соединяются кривой второго порядка (3 соседних точки). 

        
 
 

        

      Расчетная формула имеет вид :

      у (y₀ + 4y₁+ 2y₂ + 4y₃ + …+ 4y_2n*1 + y_2n)

      y₀= f(a), y₁= f(a+2h), y₂= f(a+2h)… y_2n-1= f(в-h)

      y_2n= f(в).

       Для упрощения  расчётов введём переменную с_i

      c_i=                , тогда формула примет вид:

      у (f(a)+f(в)+ (3+c_i))

      

 

       PROGRAM PRYAMOUGOLNIK;

       CONST  a= 0.4 ; b= 1.2; n=100;

       var x,y:real;

       i: integer;

       function f (x:real):real;

       begin

       f:= (sin(x*x+0.5)/cos(x*x+0.5))/(1+2*x*x);

       end;

       begin

       y:=0;  x:=a;

       for i:=0 to n do

       begin

       y:=y+f(x);

       x:=x+(b-a)/n;

      end;

      y:=y*(b-a)/n;

      writeln('y=',y:8:5);

      readln;

      end.

      ОТВЕТ:

      y=0.28099

 

      

      

       PROGRAM TRAPEZIA;

       CONST  a=0.4; b=0.8; n=100;

       var x,y,h,s:real;

       n: integer;

       function f (x:real):real;

       begin

       f:= (sin(x*x+0.5)/cos(x*x+0.5))/(1+2*x*x);

       end;

       begin

       h:=(b-a)/n; 

       x:=a+h;

       s:=(f(a)+f(b))/2;

       while  x<=b-h do

       begin

       s:=s+f(x);

      x:=x+h;

      end;

      y:=s*h;

      writeln('y=',y:8:5);

      readln;

      end.

      ОТВЕТ:

      y=0.28173

 

      

      

       PROGRAM  SIMPSON;

       LABEL 10;

       CONST  a= 0.4; b=0.8; n=100;

       var x,y,h,s:real;

       c,n: integer;

       function f (x:real):real;

       begin

       f:= (sin(x*x+0.5)/cos(x*x+0.5))/(1+2*x*x);

       end;

       begin

       h:=(b-a)/(2*n); 

       s:=f(a)+f(b);

       c:=1;

       x:=a+h;

       10:    s:=s+(3+c)*f(x);

       x:=x+h;

      c:=-c;

      if x<= b-h then goto 10;

      y:=s*h/3;

      writeln('y=',y:8:5);

      readln;

      end.

      ОТВЕТ:

      y= 0.27919

      Решение интеграла в ППП "Eureka"

      y=integ((sin(x^2+0.5)/cos(x^2+0.5))/(1+2*x^2),x,0.4,0.8)

      y=0.2823564

      2.4 Методы решения дифференциальных уравнений 

      При использовании различных протекающих  во времени процессах первым этапом является составление дифференциального уравнения, описывающего процесс, а вторым – поиск решения этого уравнения. Дифференциальным уравнением называется равенство, связывающее значение аргумента, неизвестной функции некоторых ее производных. Наивысший порядок входящих в уравнение производных называется порядком дифференциального уравнения.

      Рассмотрим  уравнение вида:

      y=f(x,y)   (1)

      Уравннение (1) имеет бесконечное множество решений (рис. 1) – через каждую точку плоскости проходит интегральная кривая. Чтобы выделить одну кривую, нужно указать точку плоскости, через которую проходит кривая, т.е. указать так называемые начальные уравнения (значения x=x₀ и y=y₀)          (2)

      

      Метод Эйлера 

      Одним из методов решения дифференциального  уравнения (1) с начальным условием (2) является метод Эйлера.

      Будем рассматривать уравнение (1) на некотором  отрезке [a,b]. Пусть отрезок поделен на n частей с шагом .

      Обозначим  X₀=a,  X₁=X₀+h, X₂=X₀+2h,…, X_n=X₀+nh=b. Обозначим искомые y(X₁),…y(X_n) через y₁…y_n.

      Методика  решения уравнения (1) с начальными условиями (2) связяна с разложением  решения в ряд Тейлора в  h-окрестности точки X₀.

      

        При отбрасывании членов ряда, содержащие производные второго  и высшего порядков, получим

      

      где f(X,y) – правая часть уравнения (1).

      Таким образом,

      

      

      .

      

      При достаточно малой величине шага h метод Эйлера дает решения с большей точностью, т.к. погрешность близка к h² (h<<1) на каждом шаге интегрирования. 

      Метод Рунге-Кутта 

      Недостатком метода Эйлера является змедление вычислений при выборе малой величины шага h, задающей точность решения.

      Наиболее  распространенным методом численного интегрирования дифференциальных уравнений  служит метод Рунге-Кутта, обеспечивающий ускорение за счет большей точности вычислений на каждом шаге. Точность метода Рунге-Кутта оценивается величиной E≈h².

      Уточнение достигается за счет специального подбора  координат четурех точек, в которых  вычисляется первая производная  f(x,y). Вместо первой производной h∙f(x,y) используемой в формуле Эйлера, вычисляется усредненная первая производная f_i.

      Формулы интегрирования по методу Рунге-Кутта  имеют вид:

      

      где

      

      

      

       

 

       h=(x_n – x₀)/n      i=0,1,2,…n

      y’=(1-y²)cos(x)+0.6y

      при х₀=0; x_n=1; у0=0; h=0.1

      program eyler;

      label 100;

      const h=0.1; x0=0; xk=1; у0=0;

      х0=а;

      var h,y,x:real;

      i: integer;

      function f (x,y: real): real;

      begin

      f:= (1-y*y)*cos(x)+0.6*y;

      end;

      begin

      y:=y0; x:=x0;

      100: y:=y+h*f(x,y);

      x:=x+h;

      writeln(‘  x=',x:5:1,'   y=',y:8:5);

      if x<xk  then goto 100;   

      readln;

      end.

      ответ:

      x=0.1     y=0.1000

      x=0.2  y=0.2045

      x=0.3     y=0.3107

      x=0.4     y=0.4156

      x=0.5     y=0.5168

      x=0.6     y=0.6121

      x=0.7     y=0.7004

      x=0.8     y=0.7814

      x=0.9   y=0.8554

      x=1.0     y=0.9234 

       y’=(1-y²)cos(x)+0.6y

      при х₀=0; x_n=1; у0=0; h=0.1  

      program rungekutta;

      label 100;

      var

      x,p,x0,y0,xk,y,a,b,c,d,h:real;