Затем по методу Хорд корень уточняется. Найденное  новое значение корня подставляется в правую часть уравнения и т.д. пока разность между двумя приближениями не станет меньше < e=10^-5. Расчётная формула метода Хорд имеет вид:

      x_n+1=x_n- (b-x).

     Графический метод Хорд имеет вид:

 

 
 
 

 

       Отделение корней

      

       program otd;

       label 10;

       var

       a,b,x1,x2,y1,y2,h,d:real;

       function f(x:real):real;

       begin

       f:=2.2*x-exp(x*ln(2));

       end;

       begin

       writeln(‘введите a,b,h’);

       readln(a,b,h); 

       x1:=a;x2:=x1+h;

      y1:=f(x1);

       10: y2:=f(x2);

       if y1*y2<0 then writeln(x1:8:5,'  ',x2:8:5);

       x1:=x2;x2:=x1+h;

       y1:=y2;

       if x2<=b then goto 10;

      readln;

      end.

 

      ввод:

      0.1,10,1e-4

      ответ:

      х1=0.10000

      х2=1.10000

 

Уточнение корней

Метод половинного  деления

program  del;

label 2, 10;

var a,b,e,x,y,z:real;

function f(x:real):real;

begin

f:= 2.2*x-exp(x*ln(2));

end;

begin

writeln(‘введите a,b,e’);

readln(a,b,e);

y:=f(a);

10:x:=(a+b)/2;

z:=f(x);

if z=0 then goto 2;

if y*z<0 then b:=x;

begin a:=x; y:=f(b); end;

if b-a>e then goto 10;

2:writeln('x=',x:8:5);

readln;

end.

ввод:

0.1, 1.1, 1е-5

ответ:

х=0.78111

 

       Метод хорд

      

       program  horda;

       label 10;

       var e,x,b,y,d:real;

       function f(x:real):real;

       begin

       f:= 2.2*x-exp(x*ln(2));

       end;

       begin

       writeln(‘введите x,b,e’);

       readln(x,b,e);

       10: y:=x-f(x)/(f(b)-f(x))*(b-x);

       d:=abs(y-x);

      x:=y;

      if d>e then goto 10;

      y:=f(x);

      writeln('x=',x:8:5);

      end.

      ввод:

      0.1, 1.1, 1е-5

      ответ:

      х=0.78110    

      Проверка  уравнения в ППП "Eureka" 

      Ввод:

      2.2*x-exp(x*ln(2))=0

      Ответ:

      X=0.78091254

      Maximum error is 3.5465456e-7 

      2.2. Решение систем  линейных уравнений  методом итераций.

      Метод итераций Гаусса-Зейделя 

      Метод последовательных приближений или  итераций для больших n даёт сокращение времени решения на 20-30% по сравнению с точными методами.

      В методе итераций число действий пропорционально числу n², тогда как в точных методах n³.

      Метод итераций особенно выгоден при решении  систем, в которых много коэффициентов  равно нулю. Рассмотрим метод на примере 3-х уравнений с тремя  неизвестными.

      Дана  система:

        

      Для сходимости метода итераций  диагональные элементы системы должны быть преобладающие, т.е.

|a_ii|>>|a_ij| 

      Если  это условие не выполняется, то делают элементарные преобразования системы.

      Например:

      

      

      Из 1-го уравнения преобразованной системы  найдём х₁, из 2-го х₂ из 3-го х₃. Получим:

 

      

      Для удобства реализации алгоритма вычисляемое  значение обозначим y_i. Получим:

      

      Для нашего примера система примет вид:

      

      В качестве начального приближения для  х₁;x₂;x₃, берётся 0 или 1. Подставляется в правую часть системы, получается новое значение x_i, которое снова подставляется в правую часть и т.д. Пока разность между приближениями не станет меньше e (d).

       <e=10^-5

      program lin;

      var

      b1,d,x1,x2,x3,x4,e,y1,y2,y3,y4:real;

      begin

      x1:=0; x2:=0; x3:=0; x4:=0; e:=1e-5;

      repeat

      y1:=(-9-x2+x4)/4;

      y2:=(-y1+x3-3*x4)/2;

      y3:=(-7-x1+3*y2)/4;

      y4:=(2-3*x2+2*y3)/4;

      d:=sqrt(sqr(x1-y1)+sqr(x2-y2)+sqr(x3-y3)+sqr(x4-y4));

      x1:=y1; x2:=y2; x3:=y3; x4:=y4;

      until d>E;

      b1:=x1+2*x2-x3-3*x4;

      writeln('x1= ',x1:8:5,' x2= ',x2:8:5,

       'x3= ',x3:8:5,' x4= ',x4:8:5,' b1= ',b1:8:5);

       end.

      

        

      

      

       ответы:

       x1= -2.99999

       x2= 4.00000

       x3= 1.99999

       x4= -1.00000

       b1= 0.000000

      

        
 

      Проверка  в ППП "Eureka"  

      4*x1+x2-x4=-9

      x1-3*x2+4*x3=-7

      3*x2-2*x3+4*x4=12

      x1+2*x2-x3-3*x4=0 

      Ответ:

      Х1=-3.000000

      Х2=4.000000

      Х3=2.000000

      X4=1.000000

      2.3. Методы вычисления  определённых интегралов

 

      Если  функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница

       .

      Как правило, выразить первообразную функцию  удаётся не всегда, поэтому приходиться прибегать к приближённому интегрированию. Существует много численных методов: прямоугольников, трапеций, парабол или Симпсона и т.д. 

      Метод прямоугольников 

      Из  математики известно, что интеграл равен площади криволинейной  трапеции, ограниченной кривой f(x) осью Х и ординатами в точках а и b.

      

      Для приближенного вычисления площади  разобьём отрезок [а,b] на n части длинной h =(b-a)/n.

      В точках разбиения проведем ординаты до пересечения с кривой y=f(x), а концы ординат соединим прямоугольными  отрезками, тогда площадь криволинейного приближенного прямоугольника можно считать равной площади фигуры ограниченной ломанной линией aABb. Площадь этой фигуры, которую обозначим через S, равна сумме площадей прямоугольников.

      S=h(y₀+y₁+y₂+…+y_n)

      Таким образом, приближенное значение интеграла по формуле прямоугольников запишется в виде

      

      

      Точность  метода с постоянным шагом h примерно e h. 

      Метод трапеции 

      В этом методе начальные построения те же, только при вычислении площади криволинейной трапеции ординаты сверху соединяются ломаной линией.