Современное состояние вычислительной техники

      c[3]=5   d[3]=1

      c[4]=4   d[4]=2

      c[5]=3   d[5]=3

      c[6]=5   d[6]=1

      c[7]=3   d[3]=3 

1.2. Построение графика  функции в алфавитно-цифровом  или графическом  режиме 

      Пусть нужно вывести на алфавитно-цифровой экран монитора график функции  y= f(x) в заданном диапазоне  изменения аргумента х от а до b с числом точек графика n (n£25). Перед выводом графика нужно напечатать вычисленные значения y_i в виде таблицы, также напечатать наибольшее и наименьшее значения функции f(x).

      Рассмотрим  решение этой задачи на конкретном примере:

       . Число точек графика равно  20.

      Примем  ширину поля графика w, равной 61 позиции. Отступим от левого края экрана на  m= 10 позиций. Для вывода строки графика выделим символьный массив С, состоящий из  (w+m) элементов, т.е. 71 элемента. Масштаб по оси х примем равным шагу h при перемещении на одну строку. Масштаб по  оси y выберем таким, чтобы максимально использовать поле графика w. Для это необходимо вычислить 

      y_max = max {y_i} и  y_min = min{y_i}

        i       i

      Определим масштаб m_y  по формуле:

      

      где ] [ - целая часть выражения; 0.5 добавлено для округления до ближайшего целого.

      Масштаб m_y означает, что при каждом изменении значения функции на величину m_y символ, изображающий точку на графике, смещается в очередную позицию по строке.

      По  вычисленным значениям y_min и m_y определим номер позиции k, в которой изображается ось 0_x :

      

      Для определения номера l позиции в строке, в которой надо изобразить значение y_i,  воспользуемся формулой

       .

      Для вывода собственно графика в цикле  в очередной  строке, соответствующей  значениям аргумента x_i и функции y_i, выведем символ ‘I’ в позиции с номером k и символ ‘*’ в позиции с номером l ( при l= k в данной позиции следует выводить символ ‘*’).

Схема алгоритма  решения задачи имеет вид: 

      Начало              ¹¹  

          ¹    a, b, n

      w, m                    ¹²

                                          C_k =’I’

     ²     Заполнение

      массива С     ¹³  Заголовок

      пробелами   

                                             ¹⁴ i = 1, n 

      ³  h =      

      y_max=-10^{5              15}

      y_min =+10⁵

         x = a

                                              ¹⁶C_l = `*` 

       ⁴ i = 1, n               ₁₇   печать   

                                          массива C

         ⁵  y_{i =} f(x)  

               ₆    y_i> y_max ^{нет                  18}  C_l = `   ` 

      да  ⁸ y_i< y_min          ^нет                  

               ⁷ y_max=y_i   да    ^нет   ₁₉   k = l

                   ⁹ y_min= y_i    да 

                                              ²⁰  C_l = `I`

          ¹⁰ x = x + h             конец 
 

      Пояснения. В блоке 2 символьный массив С заполняется пробелами. Блоки 3-10 организуют вычисление текущего значения функции y_i = f(x_i), запоминание вычисленных значений y_i в массиве y, состоящем из n элементов, вычисления наибольшего и наименьшего значений функции на заданном интервале изменения – аргумента x. В блоках 11-12 вычисляется масштаб m_y графика по оси y, номер k позиции в строке графика, соответствующий оси 0_х, и осуществляется присваивание k-тому элементу массива c символа I.

      Вычисление  номера  l в строке, соответствующей точке графика, занесение в l-й элемент массива c символа ‘*’ и печать символьного массива c реализуется блоками 15-17; восстановление символьного массива c в исходное состояние – блоками 18-20.

      Программа, реализующая схему алгоритма, имеет вид:

      PROGRAM GRAFIK;

      CONST W = 61; M = 10;

      VAR

      Y: ARRAY [1..25] OF REAL;

      C: ARRAY [1..71] OF CHAR;

      K, L, N, I, J: INTEGER;

      A, B, H, Y MAX, Y MIN, X, MY: REAL;

      BEGIN

      WRITELN (¢ ВВЕДИТЕ A, B, N¢);

      READ (A, B , N);

      Y MAX = -1E4; YMIN:=+1E4;

      H: = (B-A)/N;

       FOR I:=1 TO 71 DO C [ I ]: = ¢      ¢;

      X: = A;

      FOR I: = 1 TO N DO

      BEGIN

      Y[ I ]: = SIN(X)/X ;

      IF Y [I ] > Y MAX THEN Y MAX: = Y [I ];

      IF Y [I ] < Y MIN THEN Y MIN: = Y [I ];

      X: = X+H;

      END;

      MY:=ROUND((YMAX-YMIN)/W+0.5);

      K:=ROUND (ABS(YMIN)/MY+0.5)+M;

      C[K]:= ¢I ¢ ;

      WRITELN (¢ГРАФИК ФУНКЦИИ Y=SIN(X)/X ¢);

      WRITELN (¢ …………………………………¢);

      FOR I:=1 TO N DO

      BEGIN

      L:=ROUND ((Y[ I ]- YMIN)/MY+0.5)+M;

      C[ L]: = ¢ *¢;

      FOR J: = 1 TO 71  DO

      WRITE (C[J]);

       WRITELN (¢       ¢);

       C[ L]: = ¢      ¢;

       IF K =L THEN C [ L ]:= ¢I¢;

      END;

      END.  

      ввод:

      a=0.1

      b=2.5

      n=40

 

      2. Численные методы  решения задач 

      2.1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений 

      К линейным уравнениям относятся алгебраические и трансцендентные уравнения. Уравнение  называется алгебраическим, если функция  f(x) представляет собой многочлен, какой-либо степени.

      f(x)=a₀x^m+a₁x^m-1+…+a_m-1x+a_m=0

      m 3

      Если  же в функцию f(x) входят одновременно разные элементарные функции, то такое уравнение называется трансцендентным.

      f(x)=sinx+lnx=0

      Такие уравнения решаются приближенными методами. Решение разбивается на 2 этапа:

      1). Отделение корней, т.е. нахождение  достаточно малой области, содержащий  один корень.

      2). Уточнение корня заданной степенью  точности.

      Здесь известны следующие методы итераций, ньютона, хорды касательной половинного деления и т.д.

      Отделение корней.

      Пусть решается уравнение f(x)=sinx+lnx=0. Отделение корней можно сделать 2-мя способами:

      графическим и алгебраическим.

      В графическом методе на координатной плоскости строится график функции  и находится область пересечения функции с осью Х. В нашем случае удобно функцию разделить на 2 функции и на координатной плоскости построить оба графика, и найти область их пересечения.

 

       sinx=-lnx

       f₁(x)=sinx

       f₂(x)=-lnx

      x*Î [0;1] 

        
 
 
 

      В алгебраическом методе отделения корней с некоторым шагом h просматривают достаточно большую область существования корня уравнений.

       

        
 

       x_i+1=x_i+h 

       

      Из  математики известно, что непрерывная  функция на небольшом отрезке  содержит корень уравнения, если на концах отрезках функция f(x) имеет разные знаки. 

      Уточнение корня по методу половинного  деления. 

      Пусть решается уравнение f(x)=0 и функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] =[x₁,x₂].

      Отрезок [a,b] содержит корень, т.е. f(a)*f(b)<0.

      Делим отрезок [a,b] пополам, т.е. выбираем начальное уравнение корня x= , если f(x)=0, то х является корнем уравнения, если f(x) не равно нулю, то выбираем тот из отрезков [a,x] или [x,b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Выбранный отрезок снова делим пополам и проводим те же рассуждения. Процесс деления отрезков пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка на концах которого функция имеет разные знаки не станет < e  

      [b-a]< e =10^-5 .

 
 
 
 
 
 

      Схема реализации алгоритма имеет вид: [a,b]=[x₁,x₂]    e=10^-5 

      Уточнение корня по методу Хорд 

      По  методу Хорд выбирается произвольное начальное значение корня из отрезка [a,b] на котором корень существует xÎ[a,b]=[x₁,x₂].