Надежность параллельных вычислений

У некоторых изделий зависимость интенсивности отказов от времени отлича­ется от типичной. При отработанной и стабильной технологии производства и тщательном выходном контроле количество дефектных изделий мало, и тогда преобладает процесс старения (рис. 2.3, б). Другие же изделия в течение дли­тельного времени практически не стареют, и тогда функция X(t) имеет затяжной участок приработки и короткий участок старения (рис. 2.3, в). В обоих случаях участок нормальной эксплуатации с постоянной интенсивностью отказов прак­тически отсутствует.

Для аппроксимации реальных распределений наработки до отказа на участках приработки, нормальной эксплуатации и старения используют стандартные распре­деления случайных величин, рассматриваемых в теории вероятностей. Рассмот­рим математические выражения для некоторых используемых в теории надеж­ности распределений и физические предпосылки, объясняющие механизмы их возникновения. Для каждого распределения рассматриваются четыре основные характеристики: функция распределения F(t), плотность распределения /(£), мате­матическое ожидание (средняя наработка до отказа) Г0 и дисперсия DT0.

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение имеет следующие характеристики:

Экспоненциальное распределение однопараметрическое и обладает одним уни­кальным свойством, которое можно продемонстрировать с помощью расчетных формул. Согласно (2.9), вероятность

(2.12)

не зависит от того, сколько времени изделие проработало до рассматриваемого интервала времени (τ, τ + t). Средняя остаточная (пред­стоящая) наработка до отказа

  (2.13)

также не зависит от того, сколько времени изделие проработало ранее. Законо­мерности (3.1) и (3.2) являются проявлением свойства, называемого отсутствием последействия, при наличии которого показатели надежности изделия зависят только от состояния изделия в начале рассматриваемого интервала времени, НО не зависят от наработки до этого интервала. Существуют физические предпо­сылки, объясняющие это свойство. Одно из объяснений сводится к следующему, Любое изделие работает в условиях определенной нагрузки (электрической, механической и пр.) и имеет ограниченную «прочность», поэтому существует некоторая предельная нагрузка, которую изделие способно выдерживать без отказа. Если же нагрузка превосходит предельное значение, то наступает внезап­ный отказ. Пиковые значения нагрузок возникают случайным образом, и момент' их возникновения предсказать невозможно. В теории случайных процессов есть доказательство того, что при определенных условиях время до первого пере­сечения случайным процессом некоторого порогового уровня имеет как раз экспоненциальное распределение. В приведенном объяснении важным является то, что отказ возникает не вследствие постепенного изменения внутреннего состояния изделия, а вследствие внешнего случайного воздействия, значение которого превышает допустимое. Отсюда следует, что при экспоненциальном распределении наработки до отказа профилактические работы, включающие в себя замену элементов или. их периодический ремонт, теряют всякий смысл, так как не могут повлиять на причину отказа. Естественный путь повышения на­дежности элемента состоит либо в его конструктивном улучшении, либо в сни­жении действующих нагрузок.

Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла имеет следующие характеристики:

Как и гамма-распределение, это распределение двухпараметрическое с пара­метрами т и X. При т = 1 оно превращается в экспоненциальное, а при т = 2 — в распределение Рэлея. Распределение Вейбулла может использоваться для аппроксимации реальных распределений на участках приработки (т < 1), нор­мальной эксплуатации (т = 1) и старения (т > 1).

Существует ряд вероятностных схем, применимых ко многим техническим уст­ройствам, которые приводят к распределению Вейбулла. Рассмотрим одну из них. Схема рассматривается как совокупность большого числа элементов, в каждом из которых наблюдается гамма-распределение наработки до отказа. При пере­ходе от элемента к элементу имеют место колебания в небольших пределах па­раметра формы. Тогда распределение устройства, созданного из этих элементов и рассматриваемого как один структурный элемент, будет иметь распределение, близкое к распределению Вейбулла.

Равномерное распределение

При равномерном распределении область допустимых значений случайной ве­личины находится в интервале [а, b]. Распределение имеет следующие характе­ристики:

F(t) = (t-a)/(b-ay), f(t) = l/(b-a); T0=(a + b)/2; DT0 = (b-a)2 / 12.

Функция распределения равна нулю при t < а и единице — при t > а. Линейный рост вероятности отказа может использоваться для аппроксимации реальных распределений либо для приближенной оценки распределений на основе цен­тральной предельной теоремы.

3 Методы расчета надежности сложных объектов (ВВС)

Расчет надежности при основном соединении невосстанавливаемых элементов.

Если отказ технического устройства наступает при отказе одного из его элементов, то говорят, что такое устройство имеет основное соединение элементов. При расчете надежности таких устройств предполагают, что отказ элемента является событием случайным и независимым.

Тогда вероятность безотказной работы изделия в течение времени t равна произведению вероятностей без­отказной работы ее элементов в течение того же времени. Так как вероятность безотказной работы элементов в течение времени t можно выразить через интенсивность отказов в виде (1.8), то расчетные формулы для вероятности безотказной работы технического устрой­ства при основном соединении элементов можно записать следующим образом:

(3.1)

Выражения (3.1) наиболее общие. Они позволяют определить вероятность безотказной работы изделий до первого отказа при любом законе изменения интенсив­ности отказов во времени.

На практике наиболее часто интенсивность отказов изделий является величиной постоянной. При этом время возникновения отказов обычно подчинено экспоненциальному закону распределения, т. е. для нормального периода работы аппаратуры справедливо условие .

В этом случае выражения для количественных характеристик примут вид:

(3.2)

Если все элементы данного типа равнонадежны, интенсивность отказов системы будет

(3.3)

где Ni — число элементов i-го типа; r—число типов элементов.

На практике очень часто приходится вычислять вероятность безотказной работы высоконадежных систем.

При этом произведение значительно меньше единицы, а вероятность безотказной работы P(t) близка к единице. В этом случае, разложив в ряд и ограничившись первыми двумя его членами, с высокой степенью точности можно вычислить P(t).

Тогда основные количественные характеристики надежности можно с достаточной для практики точностью вычислить по следующим приближенным формулам:

(3.4)

Вычисление количественных характеристик надежности по приближенным формулам не дает больших ошибок для систем, вероятность безотказной работы которых превышает 0,9, т. е. для 0,1.

При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероятности безотказной работы отдель­ных элементов расчета, возводить их в степень и извле­кать корни. При значениях P ( t ), близких к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики точно­стью выполнять по следующим приближенным форму­лам:

(3.5)

где — вероятность отказа i -го блока.

В зависимости от полноты учета факторов, влияю­щих на работу изделия, различают прикидочный, ори­ентировочный и окончательный расчет надежности.

Расчет надежности при резервном соединении невосстанавливаемых элементов.

По способу включения резервирование разделяется на постоянное и резервирование замещением. Постоян­ное резервирование — резервирование, при котором ре­зервные изделия подключены к основным в течение все­го времени работы и находятся в одинаковом с ними ре­жиме. Резервирование замещением — резервирование, при котором резервные изделия замещают основные после их отказа.

При включении резерва по способу замещения ре­зервные элементы до момента включения в работу мо­гут находиться в трех состояниях:

•  нагруженном резерве;

•  облегченном резерве;

•  ненагруженном резерве.

Приведем основные расчетные формулы для указан­ных выше видов резервирования.

1. Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью (рис. 3.2,а):

(3.6)

где p i ( t ) —вероятность безотказной работы i -го элемен­та в течение времени t ; п — число элементов основной или любой резервной цепи; m — число резервных цепей (кратность резервирования).

При экспоненциальном законе надежности, когда ,

(3.7)

где — интенсивность отказов нерезервированной системы или любой из m резервных систем; Т ср o — среднее время безотказной работы нерезервированной систе­мы или любой из m резервных систем. При резервиро­вании неравнонадежных изделий

(3.8)

где q i ( t ), p i ( t ) —вероятность отказов и вероятность безотказной работы в течение времени t i - ro изделия соответственно.

 Виды структурного резервирования объектов. Оценка эффективности структурного резервирования.

По способу включения резервирование разделяется на постоянное и резервирование замещением. Постоян­ное резервирование — резервирование, при котором ре­зервные изделия подключены к основным в течение все­го времени работы и находятся в одинаковом с ними ре­жиме. Резервирование замещением — резервирование, при котором резервные изделия замещают основные после их отказа.

При включении резерва по способу замещения ре­зервные элементы до момента включения в работу мо­гут находиться в трех состояниях:

•  нагруженном резерве;

•  облегченном резерве;

•  ненагруженном резерве.

Приведем основные расчетные формулы для указан­ных выше видов резервирования.

1. Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью:

(3.9)

где p i ( t ) —вероятность безотказной работы i -го элемен­та в течение времени t ; п — число элементов основной или любой резервной цепи; m — число резервных цепей (кратность резервирования).

При экспоненциальном законе надежности, когда ,

(3.10)

где — интенсивность отказов нерезервированной системы или любой из m резервных систем; Т ср o — среднее время безотказной работы нерезервированной систе­мы или любой из m резервных систем. При резервиро­вании неравнонадежных изделий

(3.11)

где q i ( t ), p i ( t ) —вероятность отказов и вероятность безотказной работы в течение времени t i - ro изделия соответственно.

 Методы расчета надежности объектов с восстанавливаемыми элементами.

При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение:

                        экспоненциальное распределение наработки между отказами;

                        экспоненциальное распределение времени восстановления.

Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».

Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем.

При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).

Случайный процесс в какой либо физической системе S, называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t0 вероятность состояния системы в будущем (t > t0) зависит только от состояния в настоящем (t  = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого).

 Рисунок 3.1 – График марковского процесса

Для марковского процесса «будущее» зависит от  «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.

Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.

При использовании метода, в общем случае, для системы S, необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S1 , S2 , … , Sn , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:

- отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);

- отсутствуют ограничения на число восстановлений;

- если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями  S1 , S2 , … , Sn .