Решение.

     Пусть DEC=α.

     Тогда: рассмотрим треугольник EDC:

     =60°;

     =180°-60°;

     =120°- ;

     =120°-α.

     FDB=180°-(60°+EDC)=α,

     следовательно,

     ∆EDC=∆FDB,  EC=BD.

     По теореме синусов для треугольника  EDC имеем: 

     следовательно,

     BC=EC+DC; 
 

     BC=2EDcos(60°-α),

     тогда 
 

     Теперь  найдем синус 

     отсюда  получаем систему решений: 
 

     преобразуем 
 

     Подводим итог: 

     Ответ: 
 

     В данном параграфе представлены опорные задачи следующих типов:

           -известны три стороны треугольника;

           -известны одна сторона и прилежащие к ней углы;

           -известны две стороны и угол, лежащий против одной из них;

           -известны две стороны и угол, лежащий между ними;

           -известны углы и отношения между соответствующими сторонами (коэффициент).

     Алгоритм решения таких задач сводится к следующему:

           -используя данные условия, вычислить угол или сторону, то есть привести задачу к тому виду, при котором можно составить отношения между сторонами и углами треугольника;

           -использовать теорему синусов, составив отношения;

           -вычислить, используя свойства пропорции и тригонометрические формулы.

     В первой главе мы сформулировали теорему синусов и обобщенный ее вариант. Рассмотрели пути их доказательства. Привели примеры опорных задач, составили общий алгоритм решения.

 

ГЛАВА II

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА

 

       В геометрии большое значение имеют линии треугольника- биссектрисы, медианы, высоты и замечательные точки треугольника, связанные с этими линиями. Вспомним доказательства некоторых теорем о линиях и точках треугольника, познакомимся  с некоторыми новыми свойствами. [4]

2.1. Высоты

      Высотой треугольника АВС, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр BH, проведенный из этой вершины к прямой,  которая содержит противолежащую сторону треугольника [6] (рис. 16, а и б). 

     В треугольнике АВС имеет место  формула (рис. 17): 

     Используем  это свойство при решении следующей задачи.

     Задача 1.

       Данный  треугольник АВС, у которого АВ=5, BС=7, угол А = 57⁰. Найти высоты треугольника [5] (рис. 18).  

     Решение.

          Обозначим высоты, опущенные на стороны a, b, c, соответственно за

     Треугольник АВL - прямоугольный. Имеем:

     ВL=АВsinА=5sin57⁰≈4,19.

     Из  теоремы синусов следует: 
 

     Найдем  угол С: 

     Отсюда  по теореме о сумме углов треугольника найдем угол B: 

     Треугольник BCK – прямоугольный. Тогда 

     Согласно  теореме синусов: 
 

     Отсюда,  

     ^Ответ: AM=5,01; BL=4,19; CK=6,98. 

     Рассмотрим  еще одно свойство высот треугольника.

     Задача 2.

     Стороны обратно пропорциональны высотам [5] (рис. 19). 

      Доказать.  

     Составим  пропорции по теореме

     синусов и по формулам получим:  

     Также мы знаем, что: 
 

     тогда 

     И

     ,

     тогда 

     Из  теоремы синусов следует: 

     Аналогично доказывается, что 

     и 

     Доказано.

     Значит, большей стороне соответствует  меньшая высота и наоборот, большей  высоте соответствует меньшая сторона [5]: 
 

     Рассмотрим  еще такую задачу.

     Задача 3.

     В остроугольном треугольнике АВС  известно, что ВС=a, угол С=γ, угол В=β. Найти высоты AE, BF, CD треугольника АВС (рис. 20).

      Решение.

     Из  прямоугольного треугольника BCF мы получаем: 
 

     Аналогично  из прямоугольного треугольника BCD получаем: 
 

     Теперь  найдем высоту AE. Воспользуемся теоремой синусов, составим пропорцию: 

     Выразим АВ из этого равенства: 

     Так как 

     (по  теореме о сумме углов треугольника), то 

     Подставим АВ в следующее выражение и получим: 

     Ответ: 
 
 

2.2. Биссектрисы

     Биссектрисой  треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне [6] (рис. 21).

      В треугольнике ABC проведена AL - биссектриса.

     Рассмотрим  одно из свойств биссектрисы внутреннего  угла треугольника.

     Задача 1.

     Биссектриса AD внутреннего угла BAC треугольника ABC делит противолежащую сторону BC на части BD и CD, пропорциональные противолежащим сторонам AB и AC [4] (рис. 22).

      Доказать.

     Рекомендация. Итак, что же нам нужно доказать? Нужно доказать верность пропорции: 

     Применим  теорему синусов.

     А. 1. Из треугольника ABD: 

                   Из треугольника ADC: 

                   Поделив почленно первое равенство на второе, будем иметь: 

      Б.1. Из треугольника ABD: 
 
 

                  Из треугольника ADC: 
 

                  Приравняем: 
 

                    Из треугольника ABC: 

                    Приравняем и получим: 
 

     Рассмотрим  еще такую задачу.

     Задача 2.

     Найти длину биссектрисы CD прямого угла ACB прямоугольного треугольника ABC с острым углом CAB=30⁰ и меньшим катетом CB, равным 1.

     Указание. Воспользоваться свойством биссектрисы  АD/DВ=АС/ВС

     СD найдется из треугольника АСD [4] (рис. 23).

     Решение.

     Так как треугольник АВС прямоугольный, то: 

     

     По  теореме синусов получаем, что: 

     По  теореме о сумме внутренних углов  треугольника имеем: 

     Тогда из равенства по теореме синусов  получаем: 
 

     Ответ:  CD=0,9.

 

2.3. Медианы

      Медианой треугольника, проведенной  из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с  серединой противолежащей стороны  треугольника [6] (рис. 24).

     В треугольнике АВС проведена медиана  ВМ. 

     Задача 1.

     У треугольника известны стороны а=2, в=3, угол

     

     Медиана, проведенная к его третьей  стороне с, меньше ее половины. Найдите  радиус описанной окружности.

     Подсказка.

     Докажите, что угол, противолежащий третьей  стороне, тупой и воспользуйтесь теоремой косинусов и обобщенной теоремой синусов.

     Решение.

     Поскольку медиана, проведенная к стороне, равной с, меньше ½ с, то вершина угла α данного треугольника лежит внутри окружности построенной на стороне как на диаметре, значит, угол α – тупой, поэтому 

     По  теореме косинусов: 
 

     Если  R – радиус описанной окружности данного треугольника, то 
 

     Ответ:   
 

     Рассмотрим  еще одну задачу.

     Задача 2.

     Стороны треугольника АВС a=AB и b=AD (a<b), угол ABD – тупой, угол ADB=α. Найти медиану АС [8] (рис. 25).

      Решение.

     Пусть в данном треугольнике угол ABD=β. По теореме синусов для треугольника ABD: 
 
 

     Найдем  косинус этого угла: 
 
 

     при  по теореме косинусов и из свойства параллелограммов: 
 
 
 

     Вторая  глава курсовой работы состоит из трех параграфов, посвященных замечательным  линиям треугольника. В этих параграфах приведены определения высоты, медианы  и биссектрисы произвольного  треугольника. Также приведены примеры  задач, при решении которых фигурирует теорема синусов.

     Таким образом, вторая глава представляет собой набор задач, сочетающих в  себе свойства замечательных линий  треугольника и теорему синусов. 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

     В данной работе представлен комплекс задач для решения треугольников  с помощью теоремы синусов. 

     Этот  комплекс делится на две части: в  первой главе приведены примеры  разнотипных задач, решаемых с помощью  теоремы синусов. Так же здесь  рассмотрены формулировки  и доказательства данной теоремы и её обобщенного  варианта.

     Во  второй главе приведён перечень опорных  задач, распределенных  по следующим  параграфам: высота, медиана, биссектриса.  При составлении данного набора задач преследовали следующую цель: показать необходимость применения теоремы синусов и свойства замечательных  линий треугольника при решении  задач по курсу планиметрии.