Опорные задачи в курсе "Планиметрии"

      Если точки   А и Е лежат  по разные стороны от прямой ВС (рис. 8), то эти углы дополняют друг друга до 180°, ибо опираются на дополнительные дуги.

     В обоих случаях

     sinE=sinA.

     Таким образом,

      ВС=2RsinA.

     Аналогично доказывается, что

      АВ=2RsinC

     и

      АС=2RsinB.

     Сопоставляя полученные три формулы, заключаем, что

     

     Теорема доказана. [7] 

     Интересное  доказательство теоремы синусов  приводится в [2]. Рассмотрим это доказательство.

     Теорема синусов.

     Стороны треугольника пропорциональны синусам  противолежащих углов.

     Доказательство. Пусть в треугольнике АВС

      АВ=с, ВС=а, СА=b.

     Докажем, что 

      Введем систему координат с  началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату (рис. 9).

     Площадь данного треугольника можно вычислить  по формуле: 

      где  h - высота треугольника. Но высота h равна ординате точки А, то есть 

     Следовательно,  
 
 

     Из  первых двух равенств получаем 

     Откуда 

     Точно так же из второго и третьего равенств следует  

     Итак, 

     Теорема доказана.[2]

     Выше  нами рассмотрены доказательства теоремы  синусов и ее обобщенного варианта. Если последняя теорема доказывается исключительно через окружность, то саму теорему синусов можно  доказать несколькими способами. Так  Погорелов А.В. в [6] доказывает справедливость отношений 

     в любом произвольном треугольнике, иcпользуя лишь понятие высоты и свойства прямоугольного треугольника.

     Атанасян  Л.С. доказывает теорему синусов  иначе. В [2] теорема доказывается следующим образом: вводят систему координат; в первой четверти располагают треугольник. Сама формула выводится через площадь треугольника.

     Итак, мы рассмотрели формулировки и доказательства теоремы синусов и ее обобщенного  варианта.

3. Решение треугольников с  помощью теоремы  синусов

     Рассмотрим  несколько опорных задач. Решение  задач проводится с помощью теоремы  синусов.

     Задача 1.

      Дан треугольник АВС, у которого сторона С=14 см, угол А=60°, угол В=40º. Решить треугольник АВС с помощью теоремы синусов (рис. 10). 

     Дано:

       треугольник АВС, 

           сторона АВ=14,

       А=60°, B=40°.

     Найти:

           стороны ВС и АС, С.

     Решение.

     Составим  соотношения между сторонами  и углами треугольника согласно теореме  синусов: 

     1. Выразим СВ: 

     Согласно  теореме о сумме внутренних углов  треугольника получаем 

     Подставим известные значения: 

     2.  Выразим АС: 

     Подставим 

     Ответ:

           сторона СВ=12,31 см,

           сторона АС=9,14 см,

       С=80°.

     Мы рассмотрели первый тип задач: в треугольнике известна сторона и два угла, один из которых противоположный. Из данного примера мы видим, что решать задачи с помощью теоремы синусов очень удобно. 

     Задача 2.

      Дан треугольник АВС. Известно, что сторона АВ=5 см, сторона ВС=6 см, сторона АС=7 см. Вычислить углы данного треугольника (рис. 11).

     Дано:

           треугольник АВС,

           сторона АВ=5 см,

           сторона ВС=6 см,

           сторона АС=7 см.

     Найти:

           углы А, В и С.

     Решение.

     Чтобы найти первый угол, мы воспользуемся  теоремой косинусов:

.

     Найдем  угол А: 
 
 

     Зная  угол А и все стороны мы с помощью теоремы синусов можем найти и оставшиеся два угла В и С. 
 
 
 
 

     и 
 
 
 

     Запишем ответ:

     А=57 °, В=78°, С=44°.

     При решении данного типа задач, когда не известен ни один угол, необходимо обратиться к теореме синусов. Рассмотрим еще такой тип задач: когда известны две стороны треугольника и угол между ними. 

     Задача 3.

      В треугольнике АВС известны две стороны АС=12 см и СВ=8 см и угол С=60° между ними. Решить треугольник АВС [6] (рис. 12).

      Дано:

           треугольник АВС,

           сторона АС=12 см,

           сторона СВ=8 см,

       угол С=60°.

     Найти:

           сторону АВ и углы А и В.

     Решение.

     Третью  сторону АВ найдем по теореме косинусов: 
 
 
 

     Теперь, имея три стороны и угол С, по теореме синусов находим два неизвестных угла: 

     Подставим и получим: 
 

     Так как синус положителен как  в первой, так и во второй координатной четверти, то мы получаем два решения:

     =79°,

     =101°.

     В связи с этим мы имеем два решения  при нахождении угла В: 
 
 

     получаем:

     =41°,

     =19°.

     Таким образом, мы видим, что использовать теорему синусов при решении треугольников можно только в том случае, когда известна хотя бы одна пара: сторона и лежащий напротив нее угол. Рассмотрим такую задачу.

     Задача 4.

      В треугольнике АВС известны две стороны ВС=6 см и АС=8 см и угол А=30°, противолежащий стороне ВС. Решить треугольник (рис. 13).

     Дано:

           треугольник АВС,

           сторона ВС=6 см,

           сторона АС=8 см,

       угол А=30°.

     Найти:

           сторону АВ,

       углы С и В.

     Решение.

     По  теореме синусов находим значение  
 

     этому значению синуса соответствуют два  угла:

     =42°  и  =138°.

       Рассмотрим сначала угол В=42°. По нему находим третий угол: 

=180°- 30°- 42°;

     =108°

     и по теореме синусов третью сторону: 
 

     =11,4.

      Аналогично, по углу В=138° находим угол С=12° и сторону АВ=2,49.

     Ответ:

           =42°;   =138°;

           =108°;   =12°;

           =11,4 (см);  =2,49 (см).

     Замечание:

      Мы видим, что и эта задача имеет два решения. При других численных данных, например, при угле А=90° задача может иметь лишь одно решение.

     Теперь  рассмотрим задачу на использование  обобщенной теоремы синусов. 

     Задача 5.

     В равнобедренном треугольнике АВС с  основанием АВ боковая сторона АС = b, лежащий против основания угол С =2γ. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС (рис. 14).

     Дано:

     равнобедренный  треугольник АВС (основание АВ),

       боковая сторона АС =  b,

            угол С =2γ.

     Найти:

        радиус R описанной около треугольника окружности.

     Решение.

     Найдем  углы при основании АВ.

      Угол А равен углу В по теореме об углах, прилежащих к основанию равнобедренного треугольника. Тогда 
 

     По  обобщенной теореме синусов: 
 
 

     Ответ:

            

     Из этой задачи мы можем увидеть, что теорема синусов позволяет связать элементы треугольника с элементами окружности. Это значительно упрощает решение задач подобного типа. 

     Рассмотрим решение одной из наиболее трудных задач из [8].

     Задача 6.

     В равносторонний треугольник АВС вписан равносторонний треугольник DEF; точка D лежит на стороне BC, точка E лежит на стороне AC, точка F лежит на стороне AB. Сторона АВ относится к стороне DF как 8 к 5. Найти синус угла DEC [8] (рис. 15).

      Дано:

     равносторонний  треугольник АВС,

     равносторонний  треугольник DEF вписанный в АВС,

           AB:DF=8:5.

     Найти:

            DEC.