Теория ценообразования опционов

 

  3. Конструирование безрискового хеджа. Можно сконструировать безрисковый портфель, купив 0,75 акций «Butler» и продав один колл опцион. Продажа колл опциона не оказала бы влияния на окончательную стоимость портфеля, если бы цена акции снизилась, и уменьшила бы ее, если бы цена выросла. Результирующий доход имеет следующий вид (в дол.):

 

   Если цена акции будет равна 30 дол. в момент истечения срока опциона, то инвестиции в акции стоили бы 22,50 дол. и колл опцион не был бы исполнен, следовательно, он не оказал бы влияния на стоимость портфеля. С другой стороны, если цена акции будет равна 50 дол. в момент истечения опциона, то размер инвестиций в акции составил бы 37,50 дол., но держатель колл опциона исполнил бы свой опцион. Таким образом, требуется обеспечить одну акцию по цене исполнения 35 дол., которую необходимо купить за 50 дол (по рыночной цене), и следовательно, будут иметь место убытки в размере 15 дол. Итак, независимо от того, что случится с ценой акции, портфель стоил бы 22,50 дол — мы создали безрисковый портфель, купив акцию и продав колл опцион на эту акцию.

   4. Оценивание колл опциона. В предыдущих рассуждениях не установили, какая цена должна быть уплачена при продаже колл опциона. Однако мы показали, что наш безрисковый портфель должен стоить в действительности

22,50 дол. в момент истечения опциона через год. Если безрисковая ставка равняется 8%, то дисконтированная стоимость портфеля составила бы 22,50 дол.: 1,08 = 20,83 дол. Так как текущая цена акции «Butler» равняется 40 дол.,

создание  безрискового портфеля потребовало  бы инвестиций в акции в сумме 0,75 40 дол. = 30 дол , за вычетом того, что мы получаем от продажи колл опциона. Так как наши суммарные инвестиционные издержки на создание безрискового портфеля должны быть меньше или равны 20,83 дол , текущей стоимости портфеля, мы должны суметь продать колл опцион по крайней за 30 дол. — 20,83 дол =9, 17 дол , чтобы покрыть свои затраты. Если предположить, что на опционном рынке существует конкуренция, то цена 9 17 дол была бы равновесной ценой опциона.

   Ясно, что этот пример не является реалистическим, поскольку цены на акции «Butler» могут быть через год почти нулевыми. Но этот пример иллюстрирует, что инвестор может в принципе создавать безрисковые портфели, покупая акции и продавая колл опционы этих акций, и доходность таких портфелей равнялась бы безрисковой процентной ставке. Если колл опционы обращаются не по той цене, которая отражает это условие, арбитражеры будут торговать акциями и опционами до тех пор, пока цены опциона не будут отражать условие равновесия.  
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава III

3.1. Модель ценообразования опционов Блэка—Шоулза 

   Модель ценообразования опционов Блэка—Шоулза (Black—Scholes Option

Pricing Model, ОРМ), которая оценивает колл опционы,  была разработана в 1973 г , когда уже начался период быстрого роста опционной торговли. Эта модель, уже зашитая в постоянную память некоторых финансовых микрокалькуляторов, широко используется торговцами опционами на практике. Наш интерес, однако, заключается в том, чтобы показать, что теория опционов может использоваться для оценки всех производных бумаг, включая варранты, конвертируемые ценные бумаги, и даже для оценки собственного капитала финансово-зависимых фирм.

   Чтобы вывести свою модель ценообразования опционов, Блэк и Шоулз делали следующие предположения:

1. По базисному активу колл опциона дивиденды не выплачиваются в течение всего срока действия опциона;

2. Нет трансакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акции или опциона;

3. Краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона;

4. Любой  покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части ее цены;

5. Короткая  продажа разрешается без ограничений,  и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене;

6. Колл  опцион может быть исполнен только в момент истечения опциона;

7. Торговля  ценными бумагами ведется непрерывно, и цена акции движется

непрерывно  и случайным образом;

   Вывод ОРМ основывается на концепции безрискового хеджа, рассмотренной в предыдущем разделе. Покупая акции и одновременно продавая колл опционы на эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где при были по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот.

   Безрисковая хеджевая позиция должна приносить доход по ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли и инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который определяется ОРМ.

ОРМ состоит  из следующих трех формул: 

                   (1.2) 

                   (1.3) 

       (1.4) 

Здесь, V — текущая стоимость колл опциона в момент t до истечения срока

опциона; Р — текущая цена базисной акции; N(d1) — вероятность того, что отклонение будет меньше d1 в условиях стандартного нормального распределения (таким образом, N(d1) и N(d2) ограничивают область значений для функции стандартного нормального распределения); X — цена исполнения опциона; Krf — безрисковая процентная ставка; t — время до истечения срока опциона (период опциона); Q² — вариация доходности базисной акции. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава IV

4.1. Ценообразование опционов

и корпоративная  финансовая политика 

   Собственный капитал финансово зависимой фирмы может рассматриваться

как колл опцион: когда фирма эмитирует долговые обязательства, это по смыслу эквивалентно тому, что акционеры продают активы фирмы кредиторам, которые платят за активы наличностью, и, с другой стороны, также дают акционерам подразумеваемый колл опцион с ценой исполнения, равной стоимости основного долга плюс процент. Если деятельность компании успешна, акционеры будут «выкупать компанию обратно» исполнением своих колл опционов, которые означают погашение суммы долга и выплату процентов. Если деятельность компании не является успешной, акционеры не погасят ссуду, что приведёт к неисполнению их колл опциона и, следовательно, переходу компании в руки кредиторов.

   В качестве иллюстрации предположим, что корпорация «One Shot» как раз

собирается  осуществлять одногодичные инвестиции в фирму, производящую пуговицы для кандидатов в президенты Фирма требует инвестиций в размере

10000 дол., из которых 7500 дол должны быть  получены путем продажи долговых  обязательств с процентной ставкой  10%, а другие 2500 дол. должны быть собраны в результате эмиссии обыкновенных акций. Распределение доходов между держателями долговых обязательств и акционерами предполагается сделать в конце года. По истечении года стоимость фирмы будет зависеть прежде всего от того, какие кандидаты успешно пройдут первичные выборы, а также в некоторой степени от положения на рынке коллекционеров. Пусть имеется следующее вероятностное распределение стоимости фирмы.

Вероятность 0 7 0 2 0 1;

Стоимость дол. 20000 5000 0.

Таким образом, ожидаемая стоимость фирмы в конце года есть:

0 7 20000 дол. + 0 2 5000 дол. + 0 1 0 дол = 15000 дол.

Если  прогнозы акционеров верны, то, сделав инвестицию в размере 2500 дол., они по окончании года получат прибыль до налогообложения в размере 6750 долларов.

Ожидаемая стоимость 15000

Кредиторская  задолженность  — 7500

Проценты за кредит — 750

Доход до налогообложения 6750

 

Рис. 1.5. Графики  выплат для акционеров и держателей облигаций. 

   Однако ожидаемая стоимость не является достижимой. Стоимость фирмы

будет либо 0 дол., либо 5000 дол., либо 20000 долларов. Если стоимость окажется О дол. либо 5000 дол. , то акционеры не исполнят свой опцион, вместо этого они прекратят платежи. Держатели долговых обязательств тогда будут вправе продать фирму, и акционеры ничего не получат. Однако, если стоимость фирмы достигнет величины 20000 дол , акционеры исполнят свой опцион, уплатив держателям облигаций 8250 дол. и оставив в своем распоряжении 11 750 дол. (до налогообложения). Таким образом, владение акциями может рассматриваться как колл опцион. В этом примере инвестиции в акции в размере 2500 дол. (текущая цена колл опциона) дают право акционерам выкупить активы фирмы у держателей долговых обязательств за 8250 дол. (цена исполнения).

   Сплошная линия на рис. 1.5  описывает доходы акционеров Предполагается, что ожидаемая стоимость фирмы меняется непрерывно, не ограничиваясь упомянутыми в примере тремя значениями. Если стоимость фирмы будет меньше чем 8250 дол. (цена исполнения колл опциона), акционеры потеряют свои первоначальные инвестиции в 2500 дол. При стоимости выше 8250 дол. акционеры исполнят свой опцион, расплатятся с держателями облигаций, оставив в своем распоряжении весь капитал сверх цены исполнения.

   Аналогичным образом можно оценить позицию держателей облигаций. Если стоимость фирмы становится меньше чем 8250 дол., её активы будут полностью принадлежать держателям облигаций, поскольку акционеры не исполнят свой опцион на фирму. Однако держатели облигаций не будут иметь прибыли до тех пор, пока стоимость фирмы не достигнет 7500 дол. Каждый доллар, превышающий эту величину, т. е. из интервала 7500-8250 дол., будет представлять собой прибыль держателей облигаций, а общая ее величина составит 750 дол. процентных платежей. Акционеры, исполнив свой опцион, получат в своё распоряжение стоимость, превышающую 8250 дол.

 Прерывистая  линия на рис. 1.5 иллюстрирует доходы держателей облигаций. Сравнивая график доходов держателей облигаций с графиком на рис.1.5, мы замечаем, что доходы держателей долговых обязательств совпадают по форме с доходами продавца пут опциона. Однако для понимания логики процесса нагляднее рассуждать в рамках идеологии колл опциона. В этом случае позиция держателей облигаций может быть описана как:

1) владение  фирмой 

2) продажа  колл опциона на стоимость фирмы с ценой исполнения 8250 дол. 
 

  

2. Инвестиционные решения

 

   Предположим, что фирма, привлекающая заемные средства, имеет крупный

портфель  казначейских векселей. Управляющие фирмы могли бы продать векселя (которые являются безрисковыми) и использовать выручку для покупки рисковых активов, которые увеличили бы вариацию доходов фирмы, не воздействуя при этом на систематический риск фирмы. Так как капитал фирмы можно рассматривать как колл опцион, возрастающая вариация увеличила бы рыночную стоимость без увеличения ее рыночного риска. Риск банкротства возрос бы, но акционеры увеличили бы шансы получения больших прибылей при одновременном ограничении убытков суммой своих инвестиций.

   Необходимо отметить, что некоторое увеличение прибыли может быть получено акционерами за счет держателей долговых обязательств. Для иллюстрации предположим, что первоначальная стоимость активов фирмы была 4 млн. дол. и фирма имела на 2 млн. дол. кредиторской задолженности со сроком погашения через два года (процент, который будет выплачен в конце срока, включен в балансовую стоимость долга, поэтому долг является дисконтированной величиной). Далее предположим, что вариация доходности активов фирмы равняется 0,01 и безрисковая ставка — 10%. Если мы будем рассматривать акции как колл опцион на активы фирмы, то в формулах (1.2) и (1.3) будем иметь V — текущая стоимость колл опциона, или текущая рыночная оценка акционерного капитала; Р — текущая стоимость фирмы, или 4 млн. дол , X — цена исполнения, или балансовая стоимость долга в размере 2 млн. дол.