Теория ценообразования опционов

Рис. 1.2 Графики выплат для пут опциона.

   График выплат для держателя пут опциона начинается как снижающаяся наклонная линия с углом наклона 45°. Как только цена акции достигает цены

исполнения, график доходов переходит в линию, параллельную оси абсцисс и пересекающую ось ординат в точке, численно равной цене опциона. Таким образом, как и колл опцион, пут опцион обеспечивает держателю ограниченный возможный убыток (в размере цены опциона), но практически неограниченный возможный доход (цена исполнения без стоимости пут опциона и текущей цены).

   График выплат для продавца пут опциона показан на рис. 1.2  прерывистой линией. Снова продавец пут опциона занимает позицию, которая является точно противоположной позиции покупателя. Если цена акции IBM в момент

истечения срока опциона составляет 105 дол., опцион не приносит дохода и не будет исполнен, поэтому продавец будет иметь прибыль, равную цене опциона — 9 дол. Однако, если цена акции в момент истечения срока опциона составляет 88 дол. , держатель исполнит опцион и продавец должен будет купить акции по цене 100 дол. за акцию. График выплат для продавца параллелен оси абсцисс на уровне цены опциона для всех значений цены акции выше цены исполнения, но снижается под углом 45° для всех значений цены акции ниже цены исполнения. Как и в ситуации, с которой сталкивается продавец колл опциона, продавец пут опциона имеет ограниченный размер прибыли (цена опциона), но очень высокую величину возможных убытков.

   В заключение сравним графики на рис. 1.1 и 1.2. На каждом рисунке держатель и продавец графически являются зеркальными изображениями, потому что продавец и держатель опциона находятся на противоположных сторонах од ной и той же сделки: покупка и продажа опционов — это игра с нулевой суммой.

Комбинации.

   Комбинируя различные опционные контракты на одни и те же акции или комбинируя опционы и длинные или короткие контракты на базисные акции, инвесторы могут конструировать позиции с широким диапазоном показателей риска (доходности). Используется множество комбинаторных позиций (combination positions), и их названия, такие как стрэддлы, стрипы и стрэпы, хорошо известны инвесторам — участникам рынка опциоиов.

   Для иллюстрации комбинации предположим, инвестор ожидает, что цена

акций IBM будет более неустойчивой в будущем, чем она была в прошлом.  Инвестор не знает, как будет изменяться цена акции — вверх или вниз, но он

убежден, что цена определенно и значительно  изменится в том или ином на

правлении. Это мнение может быть преобразовано в инвестиционную позицию, обозначаемую как длинный стрэддл (long straddle). Чтобы сконструировать длинный стрэддл инвестор покупает равное число колл и пут опционов на одни и те же акции с одной и той же ценой исполнения. Сплошная линия на рис. 1.3 — график выплат для этого длинного стрэддла. Если цена акции IBM в момент истечения опциона составит 100 дол., то и колл и пут опционы завершаются «при деньгах». Ни тот, ни другой опцион не принесут дохода, а потому не будут исполнены, и инвестор будет иметь убытки в размере 10 дол. Продавец стрэддла соответственно получит доход в размере 10 дол. Однако, если сложится благоприятная ситуация и акции IBM вырастут в цене до 120 дол. в момент истечения опциона, инвестор исполнит колл опцион и получит прибыль 120 — 100 = 20 дол. за акцию. Если принять во внимание стоимость опционов в размере 10 дол., то инвестор заработает 10 дол на акцию, занимая позицию стрэддл. Если сложится неблагоприятная ситуация и акции будут продаваться только по 80 дол в момент истечения опциона, то инвестор исполнит пут опцион, купит акции за 80 дол. и перепродаст их продавцу опциона за 100 дол., получив 20 дол. прибыли. С учётом расходов на приобретение позиции стрэддл в размере 10 дол. суммарный доход инвестора составит 10 дол на акцию. Таким образом, стрэддл приводит к убыткам, если цена акций IBM находится между 90 и 110 дол. в момент истечения опциона, но она принесет прибыль, если текущая цена окажется вне этих границ. 

Рис. 1.3 Графики выплат для стрэддла.

   Ожидаемая прибыльность стрэддла зависит от неустойчивости цены акций

IBM Стрэддл  будет приносить прибыль, если  акции очень неустойчивы, но  он будет приносить убытки, если цена относительно стабильна. График выплат показывает, какой должна быть неустойчивость, чтобы стрэддл давал прибыль.

   Очевидно, что прибыль зависит от цен пут и колл опционов. В равновесной

ситуации  цены колл и пут опционов устанавливаются  таким образом, чтобы

маржинальный  инвестор удовлетворился характеристиками стрэддла риск—

доходность. Таким образом, операцию стрэддл  проводят лишь те инвесторы,

которые считают, что акции IBM будут более  неустойчивыми, чем ожидания

неустойчивости, отраженные в ценах опционов.

   Инвесторы, которые ожидают, что цены акций IBM будут менее неустойчивыми, чем это отражено в ценах опционов, будут продавать стрэддлы, а это означает, что они будут занимать позицию по короткому стрэддлу, выписывая одновременно и колл и пут опционы. График выплат для коротких стрэддлов на опционы на акции IBM с ценой исполнения 100 дол. и истечением срока в январе показан прерывистой линией на рис. 1. 3. Схема формирования дохода в точности противоположна описанной выше — продавец стрэддла получает при быль, когда цены акций стабильны, но терпит убытки, когда имеет место сущее ственное изменение цен. Предположим, что наблюдается общее усиление неустойчивости рынка.

Длинная позиция на рис. 1. 3 становится более желательной, поскольку цены

пут и  колл опционов были установлены в  предположении о незначительной колеблемости цен. Следовательно, инвесторы будут покупать стрэддлы — как колл, так и пут опционы — и это действие приведет к росту цен на оба типа опционов до тех пор, пока рынок не придет в новое равновесное состояние. Этот эффект на рис. 1.3 отразится сдвигом графика держателя вниз, а графика продавца — вверх. Таким образом, цена акций IBM должна будет двигаться еще дальше, чтобы длинный стрэддл показывал прибыль и короткий стрэддл показывал убытки.

Пут—колл  паритет. В равновесной ситуации цены пут и колл опционов связаны друг с другом (так же как процентные ставки и цена базисных акций).  Это отношение называется пут—колл паритетом (put—call parity). Можно вывести отношение пут—колл паритета составлением торговой стратегии, которая включает в себя:

1) покупку  базисных акций;

2) продажу  колл опциона;

3) покупку пут опциона на акции по той же самой цене исполнения.

Мы предполагаем первоначально, что опционы европейские и, следовательно, могут быть исполнены только в момент истечения опциона. Более того, мы предполагаем, что по акциям не будет выплачиваться дивиденд в течение всего периода опциона.

На рис. 1.4 приводятся графики выплат при такой стратегии для гипотетических акций, при этом игнорируются трансакционные затраты, возникающие при конструировании этой позиции (стоимость покупки акций и пут опциона за вычетом цены колл опциона), и предполагается, что цена исполнения равняется 20 дол. для обоих опционов. Как показано жирной линией на рис 1.4 и как мы объясним ниже, стоимость позиции в целом равняется 20 дол , цене исполнения, независимо от текущей цены в момент истечения опциона. Таким образом, стоимость позиции в целом является постоянной, или свободной от риска суммой. Чтобы проиллюстрировать эту ситуацию, рассмотрим данные о ценах на акции, где Ps обозначает текущую цену акций в момент истечения опциона и Рх — цену исполнения опциона:

- Стоимость приобретенных акций;

- Стоимость приобретенного пут опциона;

- Стоимость приобретенного колл опциона.

Цена  акции в момент истечения опциона ниже цены исполнения выше цены исполнения.

 

   Так как стоимость позиции в момент истечения опциона является определенной (безрисковой) и равняется в условиях эффективного рынка цене исполнения, Рх, текущая стоимость (или себестоимость) позиции должна равняться Рх, дисконтированной по безрисковой ставке где Р3 – цена  

                                       (1.1)

 акции  в момент истечения опциона;  Рр — цена пут опциона, Рс — цена колл опциона; кrр — безрисковая процентная ставка, t — время до момента истечения опциона.

   Уравнение (1.1) может быть преобразовано таким образом, чтобы выразить

стоимость колл опциона как функцию цены пут опциона с той же самой  ценой исполнения и стоимость пут опциона как функцию цены колл опциона с той же самой ценой исполнения.

 

Рис 1.4. Графики выплат при пут—колл паритете 

 1 — акции в портфеле; 2 — цена акции; 3 — исполнение пут опциона;

4 — исполнение  колл опциона. 

 

                                      (1.1 а)

                                  

                 (1.1 б) 
 

   Так как в любой заданный момент Ps, Px, fcRF и t известны, цена колл опциона зависит от цены соответствующего пут опциона, и наоборот. Если цены пут и колл опционов не согласуются с отношениями пут—колл паритета, то арбитражеры могут конструировать безрисковый портфель из акций и опционов, имеющий доходность, превышающую безрисковую процентную ставку.

   Именно эти возможные действия вынуждают поддерживать пут—колл паритет. Заметим, что пут—колл паритет приводит нас к стоимости одного типа опциона (колл или пут опциона), но только тогда, когда мы знаем стоимость другого опциона.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава II

2.1. Введение в ценообразование опционов 

   Прежде чем приступить к обсуждению хорошо известной модели ценообразования опционов, полезно рассмотреть простой пример. Предположим, что продаются одногодичные колл опционы на акции «Butler», фирмы на Среднем Западе, которая работает по лицензии со скоропортящимися продуктами. Каждый опцион имеет цену исполнения 35 дол., но акции «Butler» в настоящее время продаются по 40 дол за акцию. Предположим далее, что, когда срок опциона через год истечет, акции «Butler» будут продаваться по одной из двух цен — 30 или 50 дол. При этих условиях какова будет цена колл опциона на акции «Butler».

   Ответ на этот вопрос может быть получен в несколько этапов:

   1. Исследование возможности поступления в момент истечения опциона. В

этот  момент цена акции будет равняться  либо 30, либо 50 дол., и цена опциона в момент истечения срока будет зависеть от цены на акции «Butler». Таким образом, в момент истечения опциона мы имеем следующую ситуацию (в дол.):

 

   2. Уравнивание вариации поступлений. Как показано в пункте 1, вариация поступлений равна 20 дол при инвестициях в акцию (поступление в размере либо 30, либо 50 дол ) и 15 дол. при инвестициях в опцион (поступление в раз

мере  либо 0, либо 15 дол.). Размер вариации был бы одинаков на обоих случаях, если бы вы купили 0,75 акции компании «Butler» (или если бы вы купили 75 акций и 100 опционов). Тогда поступления выглядели бы следующим образом (в долл.):