Лекции по "Основы финансового менеджмента"

Таблица 5.2.1 Динамика доходности акции за 3 года (руб. )

Из таблицы видно, что 10% доходности за третий год, по абсолютной величине дохода (12,88 руб.) “дороже” 12% за первый год (12 руб.). Простое арифметическое усреднение неоднородных величин в принципе является бессмысленным занятием, хотя иногда оно дает результаты, близкие к правильным. Среднеарифметическая доходность всегда выше среднегеометрической и эта разница увеличивается по мере усиления разброса исходных показателей.

Неправомерность использования средней арифметической становится особенно наглядной, когда наряду с положительными возникают и отрицательные значения доходности. Предположим, что в течение первого года цена акции возросла вдвое, но к концу второго года она вернулась на свое исходное значение (100 руб.). Занесем соответствующие данные в таблицу (табл. 5.2.2).

Таблица 5.2.2 Динамика доходности акции за 2 года (руб. )

По формуле средней арифметической получим, что среднегодовая доходность за весь период составила 25% ((100 – 50) / 2). Очевидно, что это абсолютно неверный результат, так как богатство владельца акции нисколько не изменилось и составило к концу второго года те же самые 100 рублей, что и в начале первого года. Полная доходность за период владения составила 0% ((100 – 100) / 100). Такой же результат получим, применив формулу средней геометрической доходности: ((1 + 1) * (1 – 0,5))1/2 – 1 = 0%.

Причина столь грубой ошибки заключается не в изначальной “порочности” средней арифметической, а в том, что в данном случае она применялась не по назначению. Для расчета доходности за каждый отдельный год в качестве величины первоначальных инвестиций бралась новая сумма, включающая в себя реинвестированный доход, полученный за прошлые годы. По умолчанию, для расчета доходности использовалась сложная процентная ставка, поэтому и среднюю доходность за период владения следовало рассчитывать по формуле средней геометрической. Такой подход является общепринятым в финансовой теории и он всегда применяется для операций, длительность которых превышает 1 год. Однако в случае краткосрочных операций (продолжительностью до 1 года) допускается использование простой процентной ставки, среднее значение которой рассчитывается по формуле средней арифметической. В этом случае, доходность за каждый период должна рассчитываться путем деления суммы полученного дохода на одну и ту же величину – инвестиции в данный финансовый инструмент, сделанные в начале первого периода.

Предположим, что срок владения акцией составил не 2 года, а 2 месяца. После двукратного увеличения ее стоимости в течение 1 месяца, инвестор решил подержать ее подольше, надеясь на дальнейший рост курса. Однако в следующем месяце цена акции резко упала и вернулась к своей исходной величине – 100 рублей. Решив не испытывать больше судьбу, владелец продал акцию в конце второго месяца за эту цену. Доходность акции, рассчитанная по ставке простых процентов (К = 360 дней), составит: за первый месяц 1200% ((200 – 100) / 100) * 360 / 30); за второй месяц -1200% (отрицательная величина) ((100 – 200) / 100) * 360 / 30). Таким образом, среднеарифметическая доходность будет равна 0 ((1200 – 1200) / 2).

Можно сделать вывод, что расчет средней за несколько периодов времени доходности лучше производить по формуле средней геометрической. Вычисление среднеарифметической доходности оправдано лишь в тех случаях, когда доходность за каждый период в отдельности рассчитывается как простая процентная ставка. Это допускается при анализе краткосрочных финансовых операций.

Доходность не обязательно должна изменяться каждый год. Один и тот же уровень доходности может наблюдаться в течение ряда лет. В этом случае для расчета средней годовой доходности используется формула средней геометрической взвешенной. В качестве весов используются длительности периодов, в течение которых наблюдался один и тот же уровень доходности. Например, 1 млн. рублей был вложен в собственный капитал предприятия. Чистая прибыль за первый год составила 200 тыс. рублей, за второй – 120 тыс. рублей, в третьем году было получено 264 тыс. рублей чистой прибыли. Ежегодно 100% чистой прибыли реинвестировалось. Рассчитаем среднюю годовую доходность вложения капитала за весь период (табл. 5.2.3). Как видно из таблицы, доходность за первый и за третий годы составила 20% годовых. Следовательно, для расчета средней доходности за три года следует применить среднюю геометрическую взвешенную. Для 10-процентной доходности вес будет равен 1, а для доходности 20% – 2. Подставив эти значения в формулу (2.2.4), получим:

Следовательно, данная инвестиция приносила в среднем по 16,57% в год своему владельцу. Капитал предприятия к концу третьего года составил 1 млн. 584 тыс. рублей (1320 + 264). Эквивалентный результат мог бы быть получен при размещении 1 млн. рублей на банковский депозит под эффективную годовую ставку 16,57% (1000000 * (1 + 0,1657)3 = 1584000).

Применив формулу среднеарифметической взвешенной, получим:

Таблица 5.2.3 Изменение собственного капитала, тыс. руб.

В данном случае нельзя сказать, что эквивалентный результат (1 млн. 584 тыс. рублей) мог бы быть получен путем размещения 1 млн. рублей на трехлетний депозит под простую процентную ставку 16,67%. Начисление простых процентов по этой ставке даст лишь 1 млн. 500 тыс. 100 рублей через 3 года. Это служит еще одним доказательством некорректности использования арифметической средней в подобных вычислениях.

Таблица 5.2.4 График выплаты дивидендов (тыс. руб. )