Автор: Пользователь скрыл имя, 21 Февраля 2011 в 08:47, задача
Требуется:
Для характеристики Y от X построить следующие модели:
линейную,
степенную,
показательную,
гиперболическую.
Оценить каждую модель, определив:
индекс корреляции,
среднюю относительную ошибку,
коэффициент детерминации,
F - критерий Фишера.
Вариант 7
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб) от объема капиталовложений (X, млн. руб).
Требуется:
Таблица 1.
| Y | 152 | 148 | 146 | 134 | 130 | 136 | 134 |
| X | 86 | 94 | 100 | 96 | 93 | 104 | 122 |
Решение
1 Построение моделей регрессии
Построение линейной модели парной регрессии.
Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя данные таблицы 1.1:
-0,461
Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений X и объемом выпуска продукции Y обратная и не очень сильная.
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы
Уравнение регрессии имеет вид:
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн руб. объем выпускаемой продукции уменьшится в среднем на 350 тыс. руб. Это свидетельствует о неэффективности работы предприятий, и необходимо принять меры для выяснения причин и устранения этого недостатка.
Таблица 1.1
| ( )² | ( )² | ||||||||||
| 1
2 3 4 5 6 7 |
152
148 146 134 130 136 134 |
86
94 100 96 93 104 122 |
13072
13912 14600 12864 12090 14144 16348 |
7396
8836 10000 9216 8649 10816 14884 |
12
8 6 -6 -10 -4 -6 |
144
64 36 36 100 16 36 |
-13,29
-5,29 0,71 -3,29 -6,29 4,71 22,71 |
176,6241
27,9841 0,5041 10,8241 39,5641 22,1841 515,7441 |
144,64
141,86 139,77 141,16 142,21 138,38 132,11
|
7,36
6,14 6,23 -7,16 -12,21 -2,38 1,89 |
4,842
4,149 4,267 -5,343 -9,392 -1,75 1,410 |
| итого
ср. зн. |
980,00
140,00 |
695,00
99,29 |
97030 13861,43 |
69797 9971,00 |
432,00 | 793,4287 | 0 | -1,817 -0,2596 |
Рассчитаем коэффициент детерминации:
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 21,2% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
F<Fтабл=6,61 для α=0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=5
Уравнение регрессии с
Определим среднюю ошибку:
В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 0,2596%.
Построение степенной модели парной регрессии
Уравнение степенной модели
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg lg a + b lg x. данные приведены в таблице 1.2.
Таблица 1.2
| Факт.
Y(t) |
lg(y) | Переменная
X(t) |
lg(x) | |
| 1
2 3 4 5 6 7 28 |
152,0
148,0 146,0 134,0 130,0 136,0 134,0 980,0 |
2,182
2,170 2,164 2,127 2,114 2,134 2,127 15,018 |
86
94 100 96 93 104 122 695,0 |
1,934
1,973 2,000 1,982 1,968 2,017 2,086 13,96 |
| Сред. значение | 140 | 2,145 | 99,286 | 1,994 |
Обозначим Y = lg
, X = lg x, A = lg a, тогда уравнение примет
вид:
Y = A + bX
- линейное уравнение регрессии. Рассчитаем
его параметры,
используя данные таблицы 1.3.
| y | Y | x | X | YX | X² | ² | ||||
| 1
2 3 4 5 6 7 |
152
148 146 134 130 136 134 |
2,182
2,170 2,164 2,127 2,114 2,134 2,127 |
86
94 100 96 93 104 122 |
1,934
1,973 2,000 1,982 1,968 2,017 2,086 |
4,21999
4,2814 4,328 4,2157 4,1604 4,3043 4,4369 |
3,7404
3,8927 4,000 3,9283 3,8730 4,0683 4,3514 |
144,704
141,496 139,312 140,738 141,897 137,931 129,374 |
7,296
6,504 6,688 -6,738 -11,897 -1,931 4,626 |
4,8
4,39 4,58 -5,03 -9,15 -1,42 3,45 |
53,232
42,302 44,729 45,401 141,539 3,729 21,3998 |
| итого | 980 | 15,018 | 695 | 13,96 | 29,9467 | 27,8541 | 1,79 | 1,62 | 352,331 |
Уравнение регрессии будет
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив
потенцирование данного уравнения.
Получим уравнение степенной
модели регрессии:
Определим индекс корреляции:
связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.
Коэффициент детерминации равен 0,184:
Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 18,4% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
F<Fтабл=6,61 для α=0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=5
Уравнение регрессии с
Средняя относительная ошибка
В
среднем расчетные значения
для степенной модели отличаются от
фактических значений на 0,2314%.
Построение показательной функции
Уравнение показательной кривой: .
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:
lg lg a + x lg b
Обозначим: Y = lg , B = lg b, A = lg a.
Получим линейное уравнение регрессии:
Y=A+Bx.
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.4.
| Y | Yx | ( )² | |||||||||||
| 1
2 3 4 5 6 7 |
152
148 146 134 130 136 134 |
2,182
2,170 2,164 2,127 2,114 2,134 2,127 |
86
94 100 96 93 104 122 |
187,65
203,98 216,4 204,19 196,60 221,94 259,49 |
7396
8836 10000 9216 8649 10816 14884 |
0,037
0,025 0,019 -0,018 -0,031 -0,011 -0,018 |
0,0014
0,00062 0,00036 0,00032 0,00096 0,00012 0,00032 |
-0,06
-0,021 0,006 -0,012 -0,026 0,023 0,092 |
145,3
142,7 140,7 142,0 143,0 139,4 133,8 |
44,89
28,09 28,09 64 169 11,56 0,04 |
6,7
5,3 5,3 -8 -13 -3,4 0,2 |
4,408
3,581 3,630 -5,970 -10 -2,5 0,149 | |
| итого |
980 |
15,018 |
695 |
1490,256 |
69797 |
0,004 |
|
345,67 |
-6,9 |
-6,702 | |||
| ср.
знач |
140 | 2,145 | 99,29 | 212,89 | 9971,00 |