Визначення вартості грошей у часі

За  звичайного ануїтету платежі здійснюються наприкінці кожного періоду (постнумерандо), за авансового — на початку кожного періоду (пренумерандо).

Ануїтет може бути вихідним грошовим потоком підприємця (здійснення періодичних рівновеликих внесків на рахунок банківської установи) або вхідним грошовим потоком (надходження орендної плати, яка найчастіше встановлюється однаковою фіксованою сумою).

Приклад 4 3          Вклади в однаковій сумі 100 гр. од. здійсню-

*4. ються  на депозитний рахунок наприкінці  кожного року під 5 % річних протягом п'яти років. Скільки грошей буде на рахунку наприкінці п'ятого року?

Арифметичне рішення прикладу зведемо в табл. 4.3.

РОЗРАХУНОК  МАЙБУТНЬОЇ ВАРТОСТІ ЗВИЧАЙНОГО АНУЇТЕТУ, гр. од.

Таблиця 4.3

Ураховуючи, що умови ануїтету передбачають рівність та рівномірність окремих грошових потоків РМТ (у нашому випадку сума вкладів), фінансово-математична модель оцінки

майбутньої вартості ануїтету може бути відображена у такий спосіб:

(4.9)

де  FVA_n — майбутня вартість ануїтету;

РМТ — абсолютна величина періодичних рівновеликих виплат (ануїтетів);

п — кількість інтервалів у плановому періоді;

/ —  процентна ставка (виражена десятковим дробом);

Визначення  майбутньої вартості ануїтетів за допомогою  таблиць передбачає використання фактору  процента майбутньої вартості ануїтетів (FVIFAi_n) за п періодів з /-процентною ставкою.

Значення  FVIFA в таблиці А-2 вже підраховано для різних комбінацій / та п. Для того щоб обчислити майбутню вартість ануїтетів за допомогою таблиць, використовується формула:

(4.10)

У таблиці  А-2 на перехрещенні 5 років та 5 % знаходимо  значення FVIFA = 5,5256.

При використанні формули (4.10) визначимо майбутню вартість ануїтетів у 100 гр. од. для 5 років при 5 % ставці.

100 грн  х (5,5256) = 552,56 гр. од.

Слід  звернути увагу, що формула (4.10) стосується звичайного (відстроченого) ануїтету (ренти).

Проте якщо має місце авансовий ануїтет (рента), порядок кількісної оцінки майбутньої вартості грошового потоку дещо змінюється.

Вклади  в однаковій сумі 100 гр. од. здійснюються на депозитний рахунок на початку кожного року під 5 % річних протягом п'яти років. Скільки грошей буде на рахунку наприкінці п'ятого року?

Арифметичний  розв'язок задачі зведемо в таблицю (табл. 4.4).

РОЗРАХУНОК  МАЙБУТНЬОЇ ВАРТОСТІ АВАНСОВОГО АНУЇТЕТУ, гр. од.

Таблиця 4.4

Необхідність  коригування фінансово-математичної моделі оцінки відстроченої ренти обумовлена відмінностями у порядку руху грошових коштів, що наочно можна побачити з таблиці. Так, для звичайного ануїтету грошові потоки виникають по закінченні першого інтервалу періоду, який аналізується (саме тому звичайний ануїтет часто називають відстроченим, постнуме-рандо).

Для авансового ануїтету характерним є рух грошових коштів уже починаючи з першого інтервалу планового періоду. Згадані відмінності обумовлюють різницю між відстроченим та авансовим ануїтетом на один інтервал, що і закладено у фінансово-математичну модель оцінки майбутньої вартості авансового ануїтету.

Для розрахунку майбутньої вартості авансового ануїтету застосовується формула:

(4.11)

Використовуючи  наведену формулу, розрахунок майбутньої вартості авансового ануїтету в наведеному прикладі 4.4 можна записати у такий спосіб:

^Л»(аванс) = 552,56 • (1 + 0,05) = 552,56 ■ 1,05 = 580,19 гр. од. Нарахування процентів за авансового  ануїтету здійснюється раніше, тому  більше заробляється процентів  (майбутня вартість

авансових ануїтетів більша — 580,19 гр. од. проти 552,56 гр. од. за звичайного ануїтету).

Приклад 4,5

Підприємцеві  запропонували варіанти вкладання грошей у розмірі 500 гр. од. під 5 % (за умови нарахування складних процентів):

1)  одноразово  на п'ять років;

2)  поступово  рівними частками протягом п'яти років з нарахуванням процентів у кінці кожного року (постнумерандо);

3)  поступово  рівними частками протягом п'яти  років з нарахуванням процентів на початку кожного року (пренумерандо).

Розв 'язок

1)  Ідеться  про просте нарощення вкладу  в розмірі 500 гр. од. або про просте компаундування.

Застосовуємо  формулу (4.8) та значення таблиці А-1:

FV= 500 гр. од. ■ FVIFs%,₅ = 500 гр. од. • 1,2763 = 638,15 гр. од. Сума зароблених процентів за таких умов становитиме: 638,15-500= 138,15 гр. од.

2)  Ідеться  про компаундування звичайних ануїтетів (ренти) у розмірі 100 гр. од. щорічно протягом п'яти років. Розв'язок прикладу наведено в табл. 4.3.

Сума  зароблених процентів за таких умов становитиме:

552,56 - 500 = 52,56 гр. од.

3)  Мова  йде про компаундування авансових ануїтетів (ренти) у розмірі 100 гр. од. щорічно протягом п'яти років. Розв'язок прикладу наведено в табл. 4.4.

Сума  зароблених процентів за таких умов становитиме:

580,19-500 = 80,19 гр. од.

Висновки

Наведені  розрахунки свідчать, що п'ять вкладів  по 100 гр. од. кожного року протягом п'яти років є менш привабливим для підприємця проектом з погляду прибутковості інвестицій.

За одноразового вкладення 500 гр. од. на п'ять років  зиск становить 138,15 гр. од. проти вкладання 100 гр. од. щорічно протягом п'яти років та отримання прибутку на суму 80,19 гр. од. за нарахування процентів пренумерандо або отримання прибутку на суму 52,56 гр. од. за умови нарахування процентів постнумерандо.

Отже, ефект  від вкладення грошових коштів одноразово набагато більший, але і ризик з часом зростає, оскільки ці гроші «лежать» на депозитному рахунку всі п'ять років. Цей приклад ще раз підтверджує концепцію, що чим вищий ризик, тим більша компенсація за цей ризик, і сьогодні гроші дорожчі, ніж завтра.

Підприємець у нашому прикладі вибере той варіант вкладення грошей, який, на його думку, буде не тільки більш привабливим з погляду розрахунків, а й враховуватиме суб'єктивні чинники: загальну ризикованість операції; репутацію банку, що відкриває депозитний рахунок; можливості швидкого та ефективного реін-вестування отриманих грошей тощо.

4.3. Визначення теперішньої вартості грошей у фінансових розрахунках

Однією  із форм визначення часової вартості грошових потоків на противагу компаундуванню є дисконтування (англ. — discounting).

Дисконтування є фінансово-математичною моделлю визначення поточної (теперішньої) вартості грошових потоків, надходження яких, як очікується, матиме місце у майбутньому протягом певного планового періоду. Теперішня вартість майбутніх грошових потоків визначається шляхом приведення — дисконтування на величину процента, який міг би бути заробленим у випадку, коли б грошові кошти були доступні для їх використання на момент оцінювання. Отже, теперішня вартість майбутнього грошового потоку дорівнює абсолютній величині грошових коштів, інвестування якої на прийнятих для дисконтування умовах через визначений проміжок часу дало б вартість, еквівалентну вартості майбутнього грошового потоку, що аналізується. Такий підхід дає можливість фінансовому менеджеру, так само, як і у разі компаундування, отримати зіставні абсолютні величини вартості грошей для прийняття адекватних управлінських рішень щодо інвестування.

Практичне застосування дисконтування для  визначення приведеної теперішньої вартості грошових потоків вимагає відповідної фінансово-математичної формалізації моделі дисконтування — визначення абсолютної величини дисконту. Залежно від потреб аналізу грошових потоків та зміни їх вартості у часі можуть використовуватися такі моделі дисконтування:

•  просте дисконтування;

• дисконтування  ануїтетів (відстроченої або авансової  ренти).

Під простим дисконтуванням (single discounting) розуміється фінансово-математична модель розрахунку приведеної вартості майбутнього грошового потоку, отримання якого, як очікується, відбудеться одноразово через чітко визначений період. Результатом простого дисконтування є приведена теперішня вартість {present value або PV) окремого майбутнього грошового потоку.

Процеси компаундування і дисконтування  тісно взаємозв'язані один з одним. Визначення поточної вартості (дисконтування) є прямою протилежністю компаундуванню. Таким чином, якщо нам відомий показник майбутньої вартості грошей (FV), то за допомогою дисконтування ми можемо розрахувати їх теперішню вартість (PV).

Оскільки оцінка майбутньої вартості грошових потоків із використанням простого процента відповідає формулі (4.2)

FV = PV-(\ + ni),

то  дисконтування майбутніх грошових потоків із використанням простого процента відповідає такій формулі:

(4.12)

де  PV — приведена теперішня вартість мабутнього грошового потоку;

FV— абсолютна величина майбутнього грошового потоку;

п — кількість інтервалів у плановому періоді;

і — ставка дисконтування (виражена десятковим дробом).

Оскільки  майбутня вартість наявних грошових коштів у разі використання складного процента визначається за формулою (4.3):

то  приведена теперішня вартість майбутніх грошових потоків при використанні складного процента визначається за такою формулою:

(4.13)

Можна визначити теперішню вартість майбутнього грошового потоку із використанням фінансової таблиці А-3, яка містить абсолютне значення ставки дисконтування, виходячи із рівня процентної ставки та кількості інтервалів у плановому періоді.