Визначення вартості грошей у часі

2.2. Дисконтування  ануїтетів, або ренти:

2.2.1.  Дисконтування звичайної (відстроченої) ренти (ануїтетів).

2.2.2. Дисконтування  авансової ренти (ануїтетів). Наочно  сукупність завдань щодо визначення  зміни вартості

грошей  у часі зображено в структурно-логічній схемі (рис. 4.2).

Алгоритм  вирішення вищезазначених типів  завдань визначений за допомогою рівнянь, які розв'язуються способами:

•  арифметичним;

•  табличним;

•  із застосуванням фінансового калькулятора;

•  із застосуванням числа «72», якщо необхідно  подвоїти капітал.

Рис. 4.2. Класифікація завдань щодо визначення зміни вартості грошей у часі

Слід  чітко розуміти взаємозв'язаність процесів дисконтування та компаундування. Дисконтування спрямоване на отримання адекватної величини вартості майбутніх грошових потоків, зістав-ної з фінансовими показниками для проведення аналізу у поточному періоді. Компаундування (нарощення) передбачає отримання адекватної величини вартості наявних грошових ресурсів, зі-ставної з фінансовими показниками для проведення фінансового планування операцій (діяльності) наступних періодів.

4.2. Визначення майбутньої вартості грошей у фінансових розрахунках

Одним із механізмів визначення часової вартості грошових потоків є компаундування (нарощення) (англ. — compounding). Компаундування є фінансово-математичною моделлю визначення майбутньої вартості грошових коштів, які є у розпорядженні підприємця на початок планового періоду (у поточний момент часу).

Майбутня  вартість таких грошових потоків  визначається нарощенням на величину процента, який може бути отриманий у разі, якщо наявні грошові кошти будуть використані для фінансування тієї чи іншої фінансової операції. Відповідно, майбутня вартість сучасного грошового потоку відповідає абсолютній величині суми грошових коштів (включаючи основну суму та проценти), яку отримає їх власник за умови їх інвестування через пе-

внии  проміжок часу — плановий (аналізований) період Такий підхід дає змогу фінансовому менеджеру отримати зіставні абсолютні величини вартості грошей для прийняття необхідних управлінських рішень щодо інвестування.

При цьому  отримання належного результату значною мірою залежить від вибору ставки нарощення та порядку її застосування. Для фінансових розрахунків під час оцінювання часової вартості грошей використовують складний або простий процент

Можливість  практичного застосування моделей  нарощення для визначення майбутньої вартості грошових потоків потребує їх відповідної фінансово-математичної формалізації. Для аналізу грошових потоків, запланованих до надходження в результаті здійснення інвестиційного проекту (інших фінансових операцій) можуть використовуватися різні моделі, у тому числі-

•  просте нарощення вартості грошових потоків-

•  нарощення  ануїтетів (відстроченої або авансової  ренти)

Під простим компаундуванням (нарощенням) (single compounding) розуміється фінансово-математична модель розрахунку вартості наявних грошових ресурсів, або теперішніх грошових потоків, використання яких протягом чітко визначеного періоду, як очікується, дасть можливість отримати відповідний економічний ефект у майбутньому. Результатом простого нарощення є майбутня вартість (future value або FV) теперішнього грошового потоку, або грошових коштів, які перебувають у розпорядженні на поточний момент часу. Отже, просте компаундування — це визначення майбутньої вартості грошей, вкладених одноразово на певний термін під певний процент.

Оцінка  майбутньої вартості грошових потоків  із використанням простого процента відповідає формулі (4.2) і має вигляд

^ДЄ *рі— ^майбУ^тня вартість грошових коштів;

PV — абсолютна величина наявних грошових коштів (тепеоі-шнього грошового потоку);

п — кількість інтервалів у плановому періоді;

і — процентна ставка (виражена десятковим дробом).

Підприємець хоче покласти на депозит у банк 100 гр. од. одноразово під 5 % річних на п'ять  років за умови нарахування простих процентів. Яку суму грошей матиме підприємець наприкінці першого року і який буде результат через п'ять років?                                                ^{у     v}

Розв 'язок

Наприкінці  першого року підприємець матиме:

100 гр. од. + 100 гр. од. • 5 % = 105 гр. од.

Нарахування процентів протягом другого року відбувається на ті самі 100 гр. од., і оскільки база для нарахування процентів лишається незмінною (100 гр. од.), сума процентів за рік також не змінюється (5 гр. од.).

Сума  процентів за п'ять років у  нашому випадку становитиме:

5,0 гр. од. • 5 = 25,0 гр. од.

При цьому  майбутня вартість 100 гр. од., укладених  одноразово під 5 % річних на п'ять років за умови нарахування простих процентів, становитиме:

FV= 100 гр. од. • (1 + 5 • 0,05) = 125 гр. од.

Якщо  подібні приклади вирішувати арифметично, для наочності та полегшення розрахунків їх доцільно звести в таку таблицю (табл. 4.1).

Таблиця 4.1

РОЗРАХУНОК  МАЙБУТНЬОЇ ВАРТОСТІ ПОТОЧНОГО ВКЛАДУ ЗА УМОВИ НАРАХУВАННЯ ПРОСТИХ  ВІДСОТКІВ (гр. од.)

Майбутня  вартість наявних  грошових коштів у  разі використання складного процента визначається за формулою (4.3) і має вигляд:

Підприємець хоче покласти на депозит у банк 100 гр. од. одноразово під 5 % річних на п'ять  років за умови нарахування складних процентів. Яку суму грошей матиме підприємець наприкінці першого року і який буде результат через п'ять років?

Розв 'язок

Ідеться про одноразове вкладення грошової суми в банк на депозит за умови  нарахування складного процента, тобто якщо нарахування процента за перший рік не відрізняється від  нарахування, здійсненого у попередньому прикладі (наприкінці першого року підприємець отримає ті самі 100 гр. од. + 100 гр. од. х х 5 % = 105 гр. од.), то база для нарахування процентів у наступних роках збільшуватиметься на суму вже нарахованих процентів. Наприклад, нарахування процентів за другий рік відбуватиметься вже не на 100 гр. од., а на суму вкладу з процентами, нарахованими за попередній період (тобто на 105 гр. од.), нарахування процентів за третій рік відбуватиметься на суму початкового вкладу з урахуванням процентів, нарахованих за два попередні роки, і так до кінця запланованого до інвестування періоду. Розрахунок величини приросту вкладу для полегшення арифметичних дій та для наочності доречно звести в таблицю (табл. 4.2).

Таблиця 4.2

РОЗРАХУНОК  МАЙБУТНЬОЇ ВАРТОСТІ ПОТОЧНОГО ВКЛАДУ ЗА УМОВИ НАРАХУВАННЯ СКЛАДНИХ ПРОЦЕНТІВ, гр. од.

З розрахунків, наведених у таблиці, зрозуміло, що за умови нарахування складних процентів через п'ять років  підприємець матиме 127,63 гр. од.

Значно  простіше можна визначити майбутню вартість теперішнього грошового потоку із використанням фінансових таблиць, які містять абсолютне значення ставки нарощення, виходячи із рівня ставки та кількості інтервалів нарахувань процентів.

У додатку  до розділу наведено математичну  таблицю А-1, у якій підраховано  фактор майбутньої вартості процента для різноманітних комбінацій і та п (FVIF_in), тобто визначена майбутня вартість однієї грошової одиниці, залишеної на рахунку на п періодів під /-процентну ставку.

Якщо

(4.8)

де  FVIFj, _n — абсолютне значення ставки нарощення;

/ —  процентна ставка (виражена десятковим  дробом);

п — кількість інтервалів у плановому періоді.

У нашому випадку в таблиці А-1 FVIF для п'яти років із 5-процентною ставкою знаходимо цифру, яка стоїть на перехрещенні стовпчика для періоду 5 і стовпчика для 5 %. Бачимо, що FVIF= 1,2763.

Звідси  FV_n = PV ■ (FVIF,,_n) = 100 гр. од. ■ (1,2763) = = 127,63 гр. од.

За наявності  фінансового калькулятора поступово  вводимо значення N, I, PV, N. Натиснувши кнопку FV, отримаємо відповідь (при введенні даних прикладу 4.2 отримаємо FV= 127,63).

До впровадження фінансових калькуляторів та таблиць  фінансові менеджери використовували «Правило числа 72», яке дає можливість приблизно визначити, яка комбінація рівня процентної ставки і термінів вкладу приведе до подвоєння вкладеного капіталу. Наприклад, інвестиції з 9-процентним річним доходом подвоюються приблизно за вісім років (8 • 9 = 72). Інвестиція з доходом 6 % на рік вимагає 12 років для подвоєння вкладеного капіталу, і так далі. Використавши фінансові таблиці або фінансовий калькулятор, легко переконатися в дієвості цього правила.

У попередніх прикладах ми оперували поняттями  «одноразовий внесок», «вклад». Різноплановість руху грошових потоків у результаті підприємницької діяльності створює ситуацію, коли

застосування  простого нарощення для кількісної оцінки майбутньої вартості грошових ресурсів недостатньо. Це стосується оцінки грошових потоків, які виникають протягом усього періоду з певною періодичністю.

Ануїтет (annuity) (рента) — це серія рівновеликих платежів (внесків) протягом визначеної кількості періодів. Розрізняють звичайний та авансовий ануїтет.