w = F (v, t₀, t₁),

       выражает  количественную сторону правила  начисления дохода. Для правила простых  процентов, которое мы теперь ставим под сомнение, эта функция описывает линейную зависимость от времени хранения:

       где коэффициент определяется процентной ставкой.

       Потребуем, чтобы функция роста обладала следующими тремя свойствами.

       1. Стационарность: один и тот же по величине вклад при одной и той же продолжительности хранения дает одно и то же значение функции роста, независимо от момента вложения (рис. 10). Иными словами, значения функции роста должны зависеть только от разности Т = t₀ – t₁. Приняв это требование, мы можем записать функцию роста как w = F (v, T).

       

 
Рис. 10. Стационарность роста

       2. Аддитивность: рост суммы вкладов равен сумме функций роста по каждому из вкладов в отдельности (рис. 11). Зафиксируем моменты внесения и получения вкладов и рассмотрим зависимость размера выплаты w только от величины первоначального вклада: w = G (v). Требование аддитивности означает выполнение равенства

       

 
Рис. 11. Аддитивность роста

       В чем смысл этого требования? Если бы при каких-нибудь значениях  х и y имело бы место неравенство

       то  вкладчику было бы выгодно свой вклад v = х + y разделить на два вклада размером х и y. Но количество денег у вкладчика не зависит от того, сделает ли он один вклад размером 1000 руб. или разделит его на части размером 300 и 700 руб. Не зависит от этого и количество денег, поступающее в распоряжение банка, так что дробление вклада — фиктивная операция.

       Если  бы, напротив, имело место неравенство

       вкладчик  был бы заинтересован, например, объединиться с приятелем, договорившись о  распределении дополнительного дохода. Но такое объединение — тоже фиктивная операция.

       Итак, признаем требование (1) разумным. Но непрерывная  функция, обладающая этим свойством  — это прямая пропорциональность

       Функция G (v) описывает рост при фиксированных моментах t₀ и t₁. Если же эти моменты произвольны, то коэффициент k должен зависеть от t₀ и t₁, а поскольку мы приняли допущение о стационарности, коэффициент k должен зависеть от продолжительности хранения вклада. Таким образом, мы пришли к следующему результату: функция роста, отвечающая требованиям 1 и 2, должна иметь вид

       Функцию k (T) будем называть коэффициентом роста вклада.

       3. Согласованность во времени⁸. Пусть вклад v за время хранения вклада T₁ возрастает до значения w₁, а вклад w₁ за последующий период хранения T₂ возрастает до w₂ (рис. 12). Потребуем, чтобы за время хранения T₁+ T₂ первоначальный вклад v возрастал до того же самого значения w2. Иными словами, мы хотим, чтобы фиктивная операция переоформления вклада не изменяла дохода вкладчика.

       

 
Рис. 12. Согласованность во времени

       Из  равенства (2) следует

       Потребуем, чтобы выполнялось также равенство

       Таким образом, коэффициент роста должен удовлетворяет условию

       Подобно тому как условию (1) соответствует  только прямая пропорциональность, требованию (3), предъявляемому к коэффициенту роста, отвечает только показательная функция

       Коэффициент p показывает, с какой скоростью происходит рост вклада.

       Таким образом, всем трем рассмотренным требованиям  отвечает функция

       Заметим, что коэффициенту роста можно  придать эквивалентную форму:

       или

       полагая R = e^p, r = R – 1.

       Теперь  в нашем распоряжении имеются  различные показатели, характеризующие  скорость возрастания вклада. Между  ними существует взаимно однозначная  связь. В частности,

       p = lnR = ln (1 + r).

       Выясним, что показывает каждый из этих показателей.

       Из  равенства (4) видно, что при Т = 1, т. е. при хранении вклада в течение единицы времени (например, года), первоначальный вклад увеличивается в R раз, или возрастает на долю r своей первоначальной величины. Величина r100 % обычно называется процентной ставкой, а формула (5) — формулой сложных процентов.

       Будем считать, что вклад производится в момент t₀ после чего доход начисляется непрерывно; будем рассматривать накопленную сумму вклада w (t) как функцию текущего времени.

       По  прошествии времени вклад несколько  увеличится; его относительный прирост  в единицу времени составит

       d = [w (t + Δt) – w (t) ]/w (t) Δt.

       Мгновенную  относительную скорость получим, переходя к пределу при Δt (+ (+:

       d = (1/w (t)) (dw (t) /dt).

       Если  рост происходит в соответствии с  уравнением (4),

       то dw (t) /dt = p ve^{p (t – t}₀⁾ и d = r

       Последний результат разъясняет смысл показателя r.

       В той ситуации, которая рассматривалась  в начале работы, вкладчик имел возможность непрерывно переоформлять вклад из расчета 100 % годовых, т. е. фактически мог получать доход на основе сложных процентов при r = 1. Этому значению соответствует рост за год в R = е¹ = 2. 718 раза, т. е. действительная процентная ставка составляла 171. 8 % годовых. Если бы при тех же правилах банк хотел установить действительную процентную ставку 100 %, то при непрерывном начислении дохода следовало бы взять

       r = ln 2 = 0. 693.

       В примере была использована высокая  процентная ставка для того, чтобы было заметнее различие между результатами применения формул простых и сложных процентов. Разложение показательной функции в степенной ряд

       e^rt = 1 + rt + (rt) ²/2! + (rt) ³/3! + …

       показывает, что при rt << 1 можно пренебречь слагаемыми, в которые rt входит во второй и более высоких степенях:

       При этом, во-первых, функции роста для  простых и для сложных процентов  принимают близкие значения; во-вторых, показатели r и r также близки друг к другу. Например, е^{0. 05} = 1. 0512. Если r = 5 % в год и t = 1 году, то действительная процентная ставка равна 5. 12 % годовых. Если, наоборот, r = 5 % годовых, то r = ln 1. 05 = 0. 0488. Разница, как видно, невелика. Поэтому в Сбербанке принято следующее правило начисления дохода по вкладам до востребования, допускающим операции не чаще одного раза в день: в пределах календарного года действует правило простых процентов, а в конце года остаток вклада увеличивается на величину образовавшегося за год дохода, что равносильно операции переоформления вклада в нашем примере; при хранении вклада на протяжении ряда лет в целом действует формула (5).

       Приведенные здесь соотношения позволяют  соизмерять доходы и затраты, относящиеся  к различным моментам времени. Пусть  потребитель рассчитывает получить доход W через Т лет. Какому сегодняшнему доходу равноценна для него эта величина? Иными словами, какие ради этого затраты он согласен понести сегодня? Ответ на оба эти вопроса дает величина, получившая название сегодняшней (или текущей) ценности дохода, ожидаемого в будущем.

       Получить  через Т лет сумму W потребитель мог бы, положив сегодня в банк сумму PV, удовлетворяющую соотношению

       Это и есть та сумма, которую потребитель  согласен не расходовать на сегодняшнее  потребление ради будущего дохода, т. е. сегодняшняя ценность этого дохода.

       Итак, сегодняшняя ценность дохода W, ожидаемого через Т лет, равна

       Так, если r = 20 % годовых, Т = 20 лет, то сегодняшняя ценность дохода в 1000 руб. составляет всего

       Если же потребитель рассчитывает получать доход в течение ряда лет и его величина, падающая на Т-й год, равна W_Т (Т = 1, 2,..., N), то сегодняшняя ценность распределенного по времени дохода

 

3. Теория  человеческого капитала

 

       Стоит ли образование того, чтобы платить  за него из своего кармана? Почему в  странах с рыночной экономикой врач зарабатывает больше слесаря-сантехника, а адвокат — больше официанта? На эти и другие вопросы помогает ответить теория человеческого капитала.

       Труд  образованного и профессионально  подготовленного человека производительнее, чем труд необученного. Если это  верно, то нужно согласиться с  утверждением, что вложения в образование  создают человеческий капитал, подобно тому как затраты на сооружения и оборудование создают капитал физический. Особенность человеческого капитала состоит в том, что он неотделим от самого человека.