Ученые  утверждают, что большинство людей  принадлежит к категории противников  риска. Людям свойственно стремление избегать неизвестности, неопределенности, опасности и пр. Для объяснения такого доведения, в частности, используется теория предельной полезности. Логика рассуждений здесь такова: если некто имеет возможность выиграть 100 руб., но одновременно есть вероятность и проиграть 100 руб., то предельная (дополнительная) полезность выигрыша будет меньше, чем предельная (утраченная) полезность от проигрыша⁴.

      Чем меньше общая сумма денег, которой  человек располагает, тем больше для него значит каждый рубль, каждые 100 руб. и т. д. Таким образом, поведение противников риска согласуется с принципом убывания предельной полезности. Уклонение от риска является рациональным поведением, максимизирующим совокупную полезность.

1. 4. Кривые безразличия  и их свойства

 

      У потребителя есть свои предпочтения относительно различных вариантов  распределения потребления во времени. Например, он хотел бы, чтобы его  дети после окончания средней  школы учились в частном высшем учебном заведении, за что ему  придется платить. Кроме того, он не хотел бы, чтобы его потребление, когда по возрасту он перестанет работать, сократилось до неприемлемого уровня. При этом не следует забывать и о настоятельности сегодняшних потребностей. Предположим, что такие потребительские предпочтения представлены в виде функции полезности, зависящей от расходов на потребление в различные периоды предстоящей жизни. Тогда цель потребителя — получить наивысшее удовлетворение своих потребностей — может быть представлена как максимизация функции полезности при заданном бюджетном ограничении.

       Решением  этой задачи является оптимальный многопериодный план потребления. С межвременных предпочтениях  потребителя мы предполагаем, что  они совместимы во времени. Это означает, что если спустя некоторое время  потребитель вновь определит оптимальный план потребления для будущих периодов, то этот план совпадет с избранным ранее оптимальным планом для этих периодов (в условиях полной определенности).

       Представим  для наглядности потребительский  выбор во времени графически. Для этого предположим, что временной горизонт потребителя состоит только из двух периодов: настоящего и будущего. Пусть предпочтения потребителя в настоящий момент относительно различных комбинаций настоящего и будущего потребления выражены функцией полезности U (c₀, c₁), где c₀ и c₁ — объемы потребления соответственно в настоящем и будущем. На рис. 7 изображены некоторые из кривых безразличия, задаваемых функцией полезности индивида. Планы потребления (комбинации настоящего и будущего потребления), лежащие на одной кривой безразличия, доставляют потребителю один и тот же уровень полезности (удовлетворения). Чем выше расположена кривая безразличия, тем более высокому уровню полезности она соответствует.

       

 
Рис. 7. Кривые безразличия потребителя 

       Что представляет собою движение вдоль  какой-нибудь кривой безразличия? Если из точки двинуться влево вдоль  то объем текущего потребления уменьшится, но увеличится объем будущего потребления  так, что уровень полезности, извлекаемый индивидом, сохранится тем же⁵. Другими словами, потребитель может согласиться на сокращение текущего потребления “в обмен” на определенное увеличение своего будущего потребления. В точке с предельная норма замещения текущего потребления будущим потреблением равна наклону касательной к кривой безразличия в этой точке.

       Пусть доходы потребителя в настоящий  и будущий периоды достоверно известны и равны соответственно m₀ и m₁.

       Потребитель стремится “забраться” на самую  высокую кривую безразличия.

       Индивид может полностью потребить весь доход каждого периода, т. е. выбрать  план потребления: c₀ = m₀, c₁ = m₁. Но существование рынка капитала предоставляет ему и другие возможности: он может давать и брать средства взаймы под процент r за период. Если его объем потребления в настоящем равен c₀, то сберегаемый в первом периоде и отдаваемый в ссуду доход равен m₀ – c₀. В следующем периоде он вернется с процентами и, следовательно, (1 +r) (m₀ – c₀) будет добавкой к доходу будущего периода. Поскольку во втором (последнем) периоде не имеет смысла сберегать, объем потребления в нем задается равенством 

       или

       Легко убедиться в том, что это уравнение  задает прямую, проходящую через точку m = (m₀, m₁) и имеющую наклон к оси абсцисс, равный – (1 + r). Такая прямая АВ изображена на рис. 8.

       

 
Рис. 8. Линия возможностей потребителя 

       На  прямой АВ лежат планы потребления, полностью исчерпывающие доходы двух периодов. Вдоль прямой АВ потребитель может, используя рынок капитала, превращать (трансформировать) настоящее потребление в будущее потребление, и наоборот. Поскольку мы имеем дело с прямой, предельная норма трансформации настоящего потребления в будущее здесь одинакова для всех точек на прямой АВ и равна 1 + r. Если потребитель выберет план потребления, лежащий на прямой АВ выше точки т, он будет в настоящем периоде кредитором (заимодавцем). Если план потребления окажется ниже и правее точки m, это означает, что индивид становится в настоящем заемщиком.

       На  рис. 9 изображены одновременно кривые безразличия и линия трансформации  в задаче межвременного выбора для  некоторого индивида. Как рациональный потребитель, он стремится выбрать оптимальный план потребления, т.е. такой, что нельзя указать другого допустимого плана потребления, который был бы для него предпочтительнее. Оптимальным планом потребления будет точка на прямой АВ, которая лежит на самой высокой кривой безразличия, т. е. с* — точка касания кривой безразличия и прямой АВ. Любой другой план потребления, лежащий на прямой АВ, будет обеспечивать меньший уровень полезности, например точка c`, так как проходящая через нее кривая безразличия лежит ниже кривой безразличия, касающейся линии АВ. В то же время точка c``, хотя и лежит на более высокой кривой безразличия, не может быть оптимальным решением, так как недостижима.

       

 
Рис. 9. Кривые безразличия и линия трансформации в задаче межвременного выбора 

       Представим  себе другого индивида с тем же бюджетным ограничением (линией трансформации), но другой функцией полезности⁶. Его кривые безразличия могли бы выглядеть так, как прерывистые линии

на рис. 9. Оптимальным планом потребления  для индивида с такими предпочтениями была бы точка и индивид был  бы заемщиком на рынке капитала в  настоящем периоде, а не кредитором, как индивид с кривыми безразличия, изображенном сплошными линиями.

      Обратим внимание, что оптимальное решение  характеризуется равенством между  предельной нормой замещения настоящего потребления будущим и предельной нормой трансформации настоящего потребления  в будущее.

       В этом разделе мы ограничились случаем, когда временной горизонт потребителя состоит всего из двух периодов. Но потребитель обычно решает более сложные задачи: ему нужно распределить свое потребление между многими периодами. Рынок капитала предоставляет ему возможность давать и брать деньги взаймы на различные сроки. В следующем разделе на простой схеме вкладчик — банк мы рассмотрим некоторые закономерности рынка капитала, позволяющие выяснить, как трансформируется потребление в случае произвольного числа периодов.  
 
 

2. Логика сложных  процентов

 

       Рассмотрим такой сюжет.

       Человек кладет в банк 1000 руб. под 100 % годовых. Это значит, что при хранении вклада в течение года его величина вырастает  на 100 % первоначального значения, т. е. на 1000 руб. и если вкладчик предполагает хранить свои деньги в банке ровно в течение года, он сможет в конце этого периода получить 1000 + 1000 = 2000 руб.

       Правила хранения таковы, что вкладчик может  в любой момент получить свои деньги. Проценты простые, т. е. приращение вклада пропорционально времени хранения. Если вкладчик захочет получить свои деньги через два года, то его вклад увеличится на 2000 руб. ему будет причитаться всего 3000 руб., а если он захочет снять свои деньги через полгода, то вклад увеличится на 500 руб. и составит всего 1500 руб.

       Но  вкладчик все-таки хочет хранить деньги в банке ровно год. И ему в голову приходит такая мысль: а что если через полгода ему переоформить вклад, т. е. как бы получить деньги и сразу же положить их снова храниться еще полгода? Сумма, выросшая за полгода, составит, как мы видели, 1500 руб. А если эти 1500 руб. оставить теперь еще на полгода в банке, то сумма увеличится еще на 1500·1/2 = 750 руб. и составит 2250 руб. Это больше, чем та сумма, которая получилась бы без переоформления, так что такая операция вкладчику, безусловно, выгодна.

       Нетрудно  заметить, что можно все расчеты  выполнить проще. За первые полгода  вложенная сумма возрастает в 1 + 1/2 =l. 5 раза. За вторые полгода уже  новая сумма возрастает в 1. 5 раза, так что всего в конце года вкладчик должен получить

       1000 (1 + 1/2) ² = 2250 руб.

       Но  вернемся к нашему вкладчику. Он продолжает свои размышления: а если переоформлять  вклад через каждый квартал? Тогда  в конце концов получится

       1000 (1+1/4) ⁴ = 2441. 41 руб.,

       т. е. еще больше! (Если вы захотели проверить  результат, учтите, что мы округляем  результат до целых копеек).

       Легко сообразить, что, переоформляя вклад  N раз в течение года, вкладчик в конце концов получит

       1000 (l+1/N) ^N руб.

       При ежемесячном переоформлении вклада сумма составит 2613. 04 руб., а при ежедневном, считая, что банк работает без выходных, — 2714. 57 руб. Как видим, переход от N = 12 к N = 365 не очень сильно увеличил сумму — всего на 101 руб. с копейками, — так что выигрыш едва ли стоит ежедневных хлопот с переоформлением.

       Но  в мысленном эксперименте мы можем  пойти еще дальше: а что произойдет при бесконечно частом переоформлении? Величина (1+1/N) N, как известно из курса математики, при N + (+ (стремится к пределу, равному е = 2. 718 281 8... Таким образом, если переоформление вклада превратится в непрерывный процесс, то при 100 % годовых вкладчик к концу года сможет получить в банке 1000е = 2718. 28 руб., т. е. доход на вложенную 1000 руб. составит 2718. 28 – 1000 = 1718. 28 руб.

       Теперь  мы отойдем от этого сюжета и попытаться найти ответы на некоторые вопросы. Вполне ли разумны рассмотренные нами правила хранения вклада? Нельзя ли их улучшить? И что означает цифра “100 % годовых”, если при соблюдении всех правил вкладчик может получить в течение года доход почти 172 %?

       Чем неудачны правила, предложенные банком?

       Они побуждают вкладчика часто переоформлять  свой вклад. При этом он не получает и не вкладывает никаких денег. Как  будто ничего не происходит — а  его доход увеличивается.

       Банк, назначив ставку 100 % в год, должен быть готов за пользование вкладом в течение года заплатить без малого 172 % и при этом загрузить своих служащих бесполезной работой по переоформлению вкладов.

       Можно, конечно, запретить вкладчику какое-то время совершать операции по своему вкладу или по крайней мере понижать процентную ставку, если вкладчик захочет воспользоваться своими деньгами в течение “запретного” периода. Можно ввести плату за переоформление. Можно не накапливать доход на счете вкладчика, а выплачивать ему причитающиеся суммы “непрерывно” (на практике — через короткие промежутки времени)⁷.

       Но  рассмотрим другую возможность: попытаемся отказаться от простых процентов, т. е. от начисления дохода пропорционально  сроку хранения вклада, и попробуем  найти такую зависимость дохода от времени хранения вклада, которая избавила бы и вкладчика, и банк от перечисленных выше неудобств.

       Уязвимым  местом первоначального правила  начисления дохода было следующее обстоятельство: операции, не изменяющие в момент их совершения количества денег у каждой из сторон, тем не менее изменяли в конце концов доход вкладчика. Назовем такие операции фиктивными; попытаемся сконструировать правила таким образом, чтобы выполнение фиктивных операций не изменяло дохода вкладчика.

       Пусть v обозначает сумму, вносимую вкладчиком в момент t₀; сумму, которую он получит в банке через некоторое время, в момент t₁, обозначим w. Функция роста, связывающая эти величины,

       w = F (v, t₀, t₁),

       выражает  количественную сторону правила  начисления дохода. Для правила простых процентов, которое мы теперь ставим под сомнение, эта функция описывает линейную зависимость от времени хранения: