Стохастический метод

Θⁿ_t := Θⁿ (Y_itⁿ ), (10)

где Θⁿ (Y_itⁿ ) является вероятностной функцией, которая определя-ет, выберется ли инновационная стратегия развития во время t.

 

тивность имитации:

Четырнадцатый шаг.

Одиннадцатый шаг. Через выборку оценивается эффектив-

 

ность инновации ( An ):
it
if Θitn = true
then Aitn := Ψ( A init ,ϕ,t,Ait			(11)
		) .
else An	:= A
it	it

Далее рассматривается подражательное исследование, чей успех или отказ  выявлен подобным способом, как описанный  выше в случае выбора новшества (10, 12). Однако результат ус-пешной имитации более простой: он подразумевает доступ к лучшей технологии отрасли (14). Наконец, предприятие выби-рает наиболее привлекательную стратегию между существую-

щими технологиями и новыми возможностями max [A_lt ,A_it^m ,A_itⁿ ]

(15).

 

Двенадцатый шаг. Выявляется вероятность получения вы-игрыша (Y_i^m ) при имитации ( R_it^m ) на единицу затрат (d^m ) пред-приятия АПК:

Y m := dm Rm .		(12)
it	it

Тринадцатый шаг. Если выбрана истинная стратегия разви-тия (Θ^m_it ), то есть успех имитации (прибыль), а если ложная – то ее неуспех (отсутствие прибыли).

Θ^m_it := Θ^m (Y_it^m ), (13)

где Θ^m (Y_it^m ) является вероятностной функцией, которая показы-

вает, выберется ли имитационная стратегия развития во время t.

 

Через выборку оценивается эффек-

 

if Θitm = true
then Am := max[ A ,K,A ,K,A						(14)
					] .
it		it	it	nt
else Am	:= A
it	it

Пятнадцатый шаг. Рассчитывается достигнутая произво-дительность предприятия АПК в зависимости от выборки стра-тегии:

 

Ai,t+1 := [Ait ,Aitm ,Aitn ].

(15)

 

 

I_it^max := G(π_it ,b)⋅ K_it ,

На III этапе исследуется изменение в материальном (физи-ческом) капитале. Последовательность вычислений относитель-но изменения в материальном капитале относительно проста. Финансовое ограничение (17) рассчитано на основании рента-бельности предприятия (16). Предполагаемые инвестиции (20) зависят от доли рынка предприятия (18) и индекса цены пред-приятия (19). Фактическая инвестиция подразумевает сдержи-ваемое выполнение ожиданий (21).

 

Шестнадцатый шаг. Определяется доход предприятия АПК на единицу капитала ( π_it ):

 

πit := Zit /Kit .

(16)

Семнадцатый шаг. Рассчитывается максимальный объем инвестиций ( I_it^max ) предприятия АПК:

 

(17)

 

где G(π_it ,b) является функцией, которая определяет макси-

мальную инвестицию на единицу капитала; b является отноше-нием внешнего финансирования к экономической прибыли предприятия АПК.

 

Восемнадцатый шаг. Определяется доля рынка (μ_it ), зани-маемая предприятием АПК:

 

μit := Qit /Qt .

(18)

Девятнадцатый шаг. Вычисляется влияние индекса це-на/затраты:

 

Pit := Pt | c/Ai,t+1 .

(19)

Двадцатый шаг. Определяется ожидаемый объем инвести-

 

ций ( I_it^des ):

 

I_it^des := H(ρ_it ,μ_itδ)⋅ K_it , (20)

где H(ρ_it ,μ_itδ) является функцией, которая выявляет желаемые

 

инвестиции в единицу капитала предприятия АПК.

 

Двадцать первый шаг. Рассчитывается реальный объем ин-

 

вестиций ( Iit ):
Iit := max[0,min[Iitdes ,Iitmax ]],	(21)

где max[K] и min[K] известные функции, которые берут мак-

 

симальный и минимальный из аргументов (вариантов развития).

 

 

Двадцать второй шаг. Находится результирующий капитал

предприятия АПК:
Ki,t+1 := Iit + (1− δ)Kit .	(22)

 

На IV этапе определяется состояние системы на начало пе-риода t + 1.

 

В конце вычислений, выполненных  в течение периода t, имеет место обновленное состояние системы, организованной

 

как:	≡ ( K 1,t+1 ,K,Ki,t+1 ,K,Kn,t+1 );
Kt
At	≡ ( A1,t+1 ,K,Ai,t+1 ,K,An,t+1 ).

Для того чтобы готовить систему  к следующему кругу вы-числений, стоит изменить множества основных переменных (вектора фазовых переменных) как функций времени:

K_t := K_t+1 ; A_t := A_t+1 ;

t := t + 1.

 

Теперь можно осуществлять вычисления (1)-(22) еще раз. Учитывая стохастический характер аграрной экономики и его  зависимость от почвенно-климатического фактора, целесооб-разны ограничения «по природе». По модели всем предприяти-ям было задано указанное ограничение и исследовалось измене-ние А_t. Предполагалось, что погодные условия ухудшатся, сле-довательно, производительность начнет произвольно изменять-ся (на 5-10%) и будет проявляться в снижении урожайности сельскохозяйственных культур. Как показали результаты эво-люционного моделирования, ограничение «по природе» не ока-зало существенного влияния на характеристику рынка и состоя-ние предприятий агропромышленного комплекса. Это объясня-ется тем, что если уменьшается производительность, то сокра-щается и предложение продукции. А раз уменьшается предло-жение продукции, то эластично увеличивается цена на рынке, чем обеспечивается получение определенной доходности и не-допущение чрезмерного ухудшения положения предприятий. Имитационное моделирование носило экспериментальный ха-рактер. Проводилось два эксперимента. Первый – без ограниче-ния «по природе», второй – с ограничением.

 

 

Пример 2.  Выбор стратегии.

Завод по изготовлению телевизоров, находясь в состоянии 1, может увеличить спрос путем организации рекламы. Это требует добавочных затрат и уменьшает доход.В состоянии 2 завод может увеличить вероятность перехода в состояние 1 путем увеличения затрат на исследования. Выделим две стратегии. Первая состоит в отказе от затрат на рекламу и исследования, а вторая - в согласии на них. Пусть матрицы переходных вероятностей и матрицы доходов для данных стратегий имеют вид:

                                    

 

                                   

  В рассмотренной ситуации  имеет место управляемая цепь  Маркова. Управление соответствует выбору стратегии.

    Пусть каждому состоянию  соответствует конечное множество решений (или альтернатив), элементы которого обозначим номерами . Пространством стратегий К называется прямое произведение множеств решений .

   Пусть в i-м состоянии имеется не одно, а множеств переходных вероятностей . При имеем случай неуправляемой цепи Маркова. Если система находится в состоянии и принимается решение то

- она получает доход  ;

- ее состояние в следующий  момент времени определяется  вероятностью , где - вероятность того, что система из состояния при выборе решения перейдет в состояние .

   Таким образом, смысл  -го решения в i-м состоянии заключается в выборе одного набора переходных вероятностей из возможных. Предполагается, что доход ограничен при всех и .

Кроме того,

 

,       при всех и .

 

Управляемой цепью Маркова называется конструкция, задаваемая параметрами , где К-решения,  Р-вероятности переходов, r-доходы. Доход, полученный за несколько шагов, является случайной величиной, зависящей от начального состояния и принимаемых в каждый момент времени решений.

  Назовем решение, принимаемое  в конкретный момент, частным  управлением. Тогда управление  есть последовательность решений  в моменты n = 1, 2, ... Качество управления можно оценить средним суммарным доходом (при конечном времени) или среднем доходом в единицу времени (при бесконечном времени).

Пусть                                   (2)

Стратегией называется последовательность решений

где - вектор вида (2), i-я компонента которого, обозначаемая через , является решением, принимаемым в состоянии в момент п. Другими словами, задание стратегии означает полное описание в каждый момент времени t =1, 2, ..., п, ... конкретных решений, которые должны были бы приниматься в i-м состоянии , если бы система находилась в нем в рассматриваемый момент.

Стратегия обозначается через и называется стационарной. Стратегия называется марковской, если решение , принимаемое в каждом конкретном состоянии, не зависит от предшествующих состояний и принимавшихся в них решений. В случае марковской стратегии решения могут зависеть только от момента времени п.

Обозначим произвольную конечную часть  стратегии через  . Пусть зафиксированы произвольная стратегия некоторый момент времени п. Если в этот момент система находилась в состоянии , то в следующий (п+1)-й момент времени она будет находиться в состоянии с вероятностью , где . Тогда матрица переходных вероятностей в момент п имеет вид

 

 

    Таким образом, при  фиксированной стратегии  получаем цепь Маркова с матрицами перехода

Обозначим - вектор суммарных средних доходов, полученных до любого момента n включительно,  для некоторой стратегии . Стратегия максимизирующая , то есть удовлетворяющая неравенству   ≥ при любых

 называется оптимальной.

 

 

 

Верны следующее утверждения:

Утверждение 1. Для бесконечного времени существует оптимальная стационарная стратегия.

Утверждение 2. Для конечного времени существует оптимальная марковская стратегия.

     Таким образом, решение (при бесконечном времени) зависит только от состояния, в котором находится система, и не зависит ни от момента времени, ни от всей предыдущей траектории последовательности состояний и принятых решений). В случае конечного времени оптимальная стратегия является марковской, т. е. может зависеть еще и от момента времени принятия решения.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены стохастические модели в экономике и их практическое применение.

Стохастическая  модель – это такая экономико-математическая модель, в которой параметры, условия функционирования и характеристики состояния моделируемого объекта представлены случайными величинами и связаны стохастическими (т. е. случайными, нерегулярными) зависимостями, либо исходная информация также представлена случайными величинами.

Стохастическое моделирование  является в определенной степени  дополнением и углублением детерминированного факторного анализа. Эти модели используются по трем основным причинам:

• необходимо изучить влияние факторов, по которым нельзя построить жестко детерминированную факторную модель (например, уровень финансового левериджа);
• необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не поддаются объединению в одной и той же жестко детерминированной модели;
• необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не могут быть выражены одним количественным показателем (например, уровень научно-технического прогресса).

Во второй главе работы рассмотрены  методы стохастического анализа и приведены примеры постановки и решения конкретных задач, направленных на повышение эффективности производственно-хозяйственной деятельности.

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Багриновский, В.М.Матюшок. Экономико-математические методы и модели, М.: РУДН, 1999.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике. М.: АО “ДИС”, 1997.
3. Исследование операций в экономике. Под ред. Н.Ш. Крамера. -М., 1997г.
4. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. Под ред. А.М. Гатаулина.-М., 1990 г.
5. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL. М.: ЗАО ‘’Финстатинформ”, 2000.
6. Хазанова Л.Е. Математическое моделирование в экономике. М.: Бек, 1998.
7. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. М.: ЮНИТИ, 2000.
8. 1. «Теория выбора и принятия решений»: учебное пособие. И.М. Макаров, Т.М.
9. Виноградская, А.А. Рубчинский, В.Б. Соколов. Москва, изд. «Наука», 1982.
10. 2. «Теория вероятностей» Е.С. Вентцель. Москва, изд. «Наука», 1969.