Стохастический метод

Решение.      

Пример 6. Случайная величина распределена нормально с параметрами , . Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14).

Решение.  .Пример 7.. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с параметрами , . Проводятся три независимых измерения. Найти вероятность того, что погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по абсолютной величине 3 мм.

Вероятность того, что погрешность  измерения в одном испытании  не превышает 3 мм:

Решение. 

.

Вероятность того, что эта погрешность  измерения в одном испытании  превышает 3 мм, равна:

.

Вероятность того, что во всех трех испытаниях погрешность измерения  превышает 3 мм:

.

Искомая вероятность:   .

Пример 8... Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке. Будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Решение.  СВ- время ожидания автобуса имеет равномерное распределение. Тогда искомая вероятность будет равна: 

Пример 9. Ребро куба х измерено приближенно. Причем  

Рассматривая ребро куба как  случайную величину, распределенную равномерно в интервале (a, b), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Решение.  Объем куба- случайная величина, определяемая выражением У= Х³. Тогда математическое ожидание равно:

Дисперсия:  

Пример 10. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение.   По условию:a  =10, b=50, а=30, s =10, следовательно,

По таблице  находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда, искомая вероятность:

Р(10 < Х < 50) =2×0,4772=0,9544.

Пример 11. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Х соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение. Воспользуемся формулой  

 

По условию ,

тогда

Пример 12.. Время безотказной работы устройства распределено по закону

  

Найти среднее время безотказной  работы устройства, вероятность того, что устройство не откажет за среднее  время безотказной работы. Найти  вероятность отказа за время t= 100 часов.

Решение.   

По условию интенсивность отказов m =0,02. : Тогда среднее время между двумя отказами, т.е. математическое ожидание М(Х)=1/0,02=50часов. Вероятность безотказной работы за этот промежуток времени вычислим по функции надежности:

По функции F(t) вычислим вероятность отказа за время t =100 часов:

 

 

4 Особенности Марковских  процессов в экономике

 

4.1. Основные понятия теории марковских цепей.

           Пусть { , , ..., } - множество возможных состояний некоторой физической системы. В любой момент времени система может находиться только в одном состоянии. С течением времени система переходит последовательно из одного состояния в другое. Каждый такой переход называется шагом процесса.

        Для описания  эволюции этой системы введем  последовательность дискретных  случайных величин  , ,..., ,... Индекс n играет роль времени. Если в момент времени n система находилась в состоянии , то мы будем считать, что = j. Таким образом, случайные величины являются номерами состояний системы.

Последовательность  , ,..., ,... образует цепь Маркова, если для любого n и любых , , ..., ,...

P( =j / = , ..., =i)=P( =j / =i).

        Для цепей  Маркова вероятность в момент  времени n попасть в состояние , если известна вся предыдущая история изучаемого процесса, зависит только от того, в каком состоянии находился процесс в момент n-1. То есть при фиксированном "настоящем" "будущее" не зависит от "прошлого". Свойство независимости "будущего" от "прошлого" при фиксированном "настоящем" называется  марковским  свойством.

      Вероятности   ( =j / =i), i, j=1,2,..., r называются вероятностями перехода из состояния в состояние за один шаг.

      Цепь Маркова называется  однородной, если вероятности перехода не зависят от n, т.е. если вероятности перехода не зависят от номера шага, а зависят только от того, из какого состояния и в какое осуществляется переход. Для однородных цепей Маркова вместо будем писать .

       Вероятности перехода  удобно располагать в виде  квадратной матрицы 

 

      Матрица P называется  матрицей вероятностей перехода  однородной цепи Маркова за  один шаг. Она обладает следующими  свойствами:

  а)  ;

б) для всех i: 

      Квадратные матрицы,  для которых выполняются условия  а) и б), называются стохастическими.

        Вектор  , где =P( ), i=1,2...,r  называется вектором начальных вероятностей.

       Свойства однородных  цепей Маркова полностью определяются  вектором начальных вероятностей  и матрицей вероятностей перехода.

      Приведем пример: Завод выпускает телевизоры определенного  типа. В зависимости от того, находит  ли данный тип телевизора спрос  у населения, завод в конце  каждого года может находиться  в одном из состояний: состояние  1 – спрос есть, состояние 2 –  спроса нет. Пусть вероятность  сохранить состояние 1 в в следующем году с учетом возможного изменения спроса равна , а вероятность изменить состояние 2 с учетом мероприятий по улучшению выпускаемой модели равна . Тогда процесс производства на данном заводе можно описать цепью Маркова с матрицей переходов:

    В конкретных случаях  для описания эволюции цепи  Маркова вместо явного выписывания  матрицы P используют граф, вершинами которого являются состояния цепи, а стрелка, идущая из состояния в состояние с числом над ней показывает, что из состояния в состояние возможен переход с вероятностью . В том случае, когда , соответствующая стрелка не проводится.

     Можно показать, что  матрица вероятностей перехода  цепи Маркова за n шагов равняется n-ой степени матрицы P вероятностей перехода за один шаг. Для однородной цепи Маркова при любом m выполняется равенство

P( )=P( ).

     Но последняя вероятность  есть вероятность перехода из  состояния  в состояние за n шагов.

4.2. Использование цепей Маркова в экономике

 Эффективное функционирование социально-экономической системы АПК возможно только при соблюдении объективных законов, отражающих связь элементов в системе организацион-ных отношений, таких как законы: синергии, самосохранения, единства анализа и синтеза, информированности-упорядочен-ности, композиции-пропорциональности, в основу которых по-ложен принцип развития, или онтогенеза, то есть эволюции.

 Пример 1.  Построение эволюционной модели развития АПК региона как совокупности предприятий аграрного сектора и технологически взаимосвязанных с ним отраслей возможно осуществлять на базе моделей Нельсона-Винтера (Н&W) . Основная идея моделей Н&W состоит в том, что описание экономического развития естественно переходит в развитие Марковского процесса. В некоторой точке времени t состояние какого-либо эволюционного процесса по отрасли описано как запас капитала и поведенческие правила каждого предприятия АПК. Это состояние используется для определения краткосрочного поведения отрасли, а также нового запаса капитала и новых поведенческих правил каждого предприятия во время t+1. Это - изменение в поведенческих правилах, которое придает процессу развития характер стохастического марковского процесса. Когда этот процесс преобразования состояния определен, то относительно легко можно перевести его в вычислительную модель. С другой стороны, формат моделирования предполагает конструктивную дисциплину в моделировании динамических систем, то есть программа должна содержать полное описание того, как состояние системы во время t + 1 зависит от состояния во время t и от экзогенных факторов, или это не будет работать.

 

Н&W модели получили развитие в конце 70-х и в начале 80-х годов прошлого века . Они встретили широкое распростра-нение и внимание среди западных ученых, когда Нельсон и Винтер переписали несколько более ранних статей и сформули-ровали программу исследований в своей книге по эволюцион-ной теории экономического обмена (1982 г.).

Все Н&W модели основаны на постулате стохастической предсказуемости творческого поведения. Этот предсказуемый аспект экономического обмена может быть замечен в результате ограниченной рациональности, ведущей к ограниченному поис-ку в пространстве технологических и маркетинговых альтерна-тив эволюционного развития организационной системы (АПК).

Описание нелинейной эволюционной модели развития со-циально-экономической системы АПК сводится к следующему.

Предположим, рассматриваем отрасль, состоящую из n предприятий АПК, которая производит однородный продукт при помощи однородного капитала с производительностью, оп-

ределяемой технологией. Для описания состояния системы ме-жду периодами имеем:

 

K_t = ( K _1t ,K, K_it ,K, K_nt );

A_t = ( A_1t ,K, A_it ,K, A_nt ),

 

где К_t и А_t – вектора, описывающие состояние системы в начале периода t;

К_it – капитал предприятия i во время t;

 

n – фиксированное число предприятий АПК в отрасли; A_it – производительность предприятия i во время t.

Вычисляем простую производственную стратегию развития, при которой  задаются одинаковые стартовые условия  по капи-талу для всех предприятий АПК.

 

Первый шаг. Рассчитывается суммарный выход продукции (поставки на рынок) предприятия (Q_it):

 

Qit := Ait Kit .

(1)

 

Второй шаг. Рассчитывается полная производительность отрасли как суммарный выход продукции всех предприятий АПК (Q_i ):

Qt := ∑Qit .	(2)
i

 

 

Третий шаг. Все продажи со склада производятся по ценам, определяемым спросом в зависимости от выпуска продукции по отрасли в целом:

 

Pt = D(Qt ),

(3)

где Р_t – цена единицы продукции,

D(Q_t) – функция цены требования продукции.

Четвертый шаг. Находим продажи каждого предприятия АПК (S_it):

Sit := PtQit

(4)

 

Пятый шаг. Определяются совокупные затраты предпри-ятия АПК (C_it):

 

Сit := cKit .

(5)

 

 

Шестой шаг. Вычисляются затраты на проведение исследо-ваний и внедрение различных видов инноваций:

( Rn ).	Rn := rn K	it	.	(6)
it	it

Разработка и внедрение инноваций  позволяет повысить эф-фективность деятельности предприятия. Однако выбирая эту стратегию, следует иметь в виду, что инновации связаны и со значительным риском, поскольку заранее достоверно неизвест-но, как себя на практике поведет нововведение.

 

 

Седьмой шаг. Вычисляются затраты на имитацию ( R_it^m ) (на-

 

пример, соблюдение агротехнологий). Имитация также несет риск, так как приобретенная технология может не дать ощути-мого эффекта. Следовательно, потребуются дополнительные затраты на адаптацию и обучение.

Rm := rm K		it	.	(7)
it
Восьмой шаг. Определяется доход (прибыль) предприятия
АПК (Zit):	+ Ritm + Ritn ).
Zit := Sit − (Cit				(8)

Далее оценивается изменение производительности пред-приятия через инновации и имитации. Вычисления изменения производительности являются самым важным в исходах моде-лирования Н&W эволюционных процессов. Эти вычисления включают два компонента.

 

Творческое усилие исследования определяет вероятность обнаружения новшества (9), в то время как комплексная  вероят-ностная функция свидетельствует, будет ли исследование ус-пешным в периоде t (10). Результат успешного исследования определен другим действием выборки от распределения техно-логических возможностей предприятия (11).

Девятый шаг. Выявляется вероятность получения выигры-ша (Y_itⁿ ) при инновации ( R_itⁿ ) на единицу затрат (dⁿ ) за период исследования. В случае успеха образуется прибыль:

Y n = dn Rn .		(9)
it	it

Десятый шаг. Если выбрана истинная стратегия развития (Θⁿ_it ), то есть успех инновации (прибыль), а если ложная – то ее неуспех (отсутствие прибыли).