Рейтингова оцінка діяльності комерційніх банків

Ця процедура складається  з двох етапів:

,      (2.4)

 

.      (2.5)

Ці операції повторюються доти, поки елементи матриці не стануть  погодженими.

Таким чином, у результаті використання розглянутої процедури  буде отриманий вектор вагових коефіцієнтів.

Показники, використовувані  для оцінки привабливості тієї чи іншої альтернативи, можуть розрізнятися за змістом, відображати кількісно  різні характеристики об'єктів економічної діяльності. Відповідні кількісні їхні значення можуть мати різну розмірність і можуть приймати значення, що істотно відрізняються по величині. У зв'язку з цим при формуванні узагальненого показника звичайно роблять їх нормировку.

Стандартний спосіб нормировки показників складається в перерахуванні їх значень за формулою:

                   

,        (2.6)

де х_ij - значення i -го показника для j -го об'єкта, i = 1,2.... m,   j = 1,2.....n.

    i =1,2,…,m.

Легко бачити, що розрахунок з використанням (2.6) приводить чисельні значення нормованих показників до інтервалу [0,1], причому для одного чи декількох об'єктів нормовані значення знаходяться на границях цього інтервалу.

Тепер, з використанням  отриманого набору вагових коефіцієнтів можна розрахувати середньозважене значення рівня привабливість тієї чи іншої альтернативи по формулі:

,      j = 1,2,…,n    (2.7)

Ясно, що рівень привабливість альтернативи тим вище, чим більше чисельне значення V_j .

Інший підхід пов'язаний з формуванням віртуального об’єкта - "ідеалу" з максимальною привабливістю.

Для формування об'єкту - «ідеалу» використовується наступна методика.

Координати точки, що відповідає об'єкту - «ідеалу» обираються зі співвідношення

                              (2.8)

В якості міри привабливості  зазвичай використовується відстань між  точкою в факторному просторі , що відповідає довільної, наприклад, j-й альтернативі, і точкою, визначальною «ідеальний» об'єкт.

Для розрахунку цього  відстані Rjo можна використовувати  різні заходи. Найбільш ефективною при виборі найкращої альтернативи є використання заходи Махаланобіса, яка обчислюється за формулою

,                                                   (2.9)

При цьому зрозуміло, привабливість конкретної альтернативи тим вище, ніж це відстань менше.

За допомогою розглянутих  підходів можна здійснити рейтингову оцінку комерційних банків. Таким чином, кожний банк характеризується єдиним кількісним показником на всьому часовому інтервалі дослідження. Отже, виникає проблема побудови загальної моделі, яка б зв’язувала рейтингову оцінку з факторами, які характеризують діяльність банку.

2.8 Лінійна багатофакторна модель

Якщо на ендогенну перемінну  впливає не один, а кілька факторів, наприклад, , то відповідна лінійна модель має вид

 

                                                        (2.10)

 

Тоді задача відшукання компонентів  вектора  , найкращого з погляду МНК, зводиться до мінімізації суми квадратів відхилень обмірюваних значень перемінної від передбачених моделлю (2.10):

 

                                                                        (2.11)

 

При цьому, як відомо,

 

                                                                                 (2.12)

 

Матриця і вектори і записуються в такий спосіб:

 

,   ,  .    (2.13)

 

Тут - значення -го фактора, що впливає, на  - ті експерименти , , .

Оцінка компонентів  проводиться по формулі (2.12) з обліком (2.13).

У випадках, коли на ендогенну перемінну  можуть впливати не тільки фактори, але і їх взаємодії, модель здобуває вид:

 

   (2.14)

 

Модель (2.14) відповідає частому випадку, коли на перемінну  приблизно впливають тільки парні взаємодії факторів.

При цьому матриця  і вектор мають вид:

 

,       (2.15)

 

 

Для оцінювання використовується формула (2.12) з обліком (2.13).

Таким чином, модель (2.10) показує вплив окремих факторів на загальну рейтингову оцінку банків. Слід зазначити, для того, щоб за допомогою цієї моделі здійснювати прогноз рейтингу, необхідно мати моделі залежності кожного фактора від часу. Набір значень факторів в часі представляє собою часовий ряд, аналіз якого буде розглянуто у наступному підрозділі.

 

2.9 Аналіз часового ряду

У багатьох задачах науки, техніки, економіки доводиться мати справу з так званими часовими рядами. Найчастіше часові ряди виникають  тоді, коли дослідник зіштовхується з деяким випадковим процесом, але не має можливості спостерігати всю реалізацію цього випадкового процесу, а йому доступні лише значення процесу у визначені моменти часу. Ці значення й утворять часовий ряд.

Часовим рядом називають  послідовність спостережень, звичайно упорядковану по часу, хоча можливе упорядкування і по якомусь іншому параметру. Основною рисою, що виділяє аналіз часових рядів серед інших видів статистичного аналізу, є істотність порядку, у якому проводять спостереження. Якщо в багатьох задачах спостереження статистично незалежні, то в часових рядах вони, як правило, залежні і характер цієї залежності може визначатися положенням спостережень в послідовності. Природа ряду і структура процесу, що породжує ряд, можуть визначати порядок утворення послідовності.

Майже в кожній області зустрічаються явища, що цікаво і важливо вивчати в їхньому розвитку і зміні в часі. У повсякденному житті можуть становити інтерес, наприклад, метеорологічні умови, ціни на той чи інший товар та чи інші характеристики стану здоров'я людини і т.п. Усі вони змінюються в часі.

Цілі  вивчення часових  рядів можуть бути різними. Можна, наприклад, прагнути пророчити майбутнє на підставі знання минулого, керувати процесом, що породжує ряд, з'ясувати механізм, що породжує ряд, чи просто стисло описати характерні риси ряду.

Часовим рядом, що спостерігається  нехай, є  y1, y2…,yT. Будемо розуміти цей запис таким способом. Мається Т чисел, що представляють собою спостереження деякої змінної  в  Т рівностоячих   моменти   часу.   Ці   моменти   для зручності перенумеровані цілими числами 1, 2, …,Т. Досить загальною математичною  моделлю служить модель виду:

 

   t=1, 2, …, T   (2.16)

 

У цій моделі ряд, що спостерігається, розглядається як сума деякої цілком детермінованої послідовності {y(t)}, яку можна назвати систематичною   складовою,   і    випадкових   послідовностей   {{s(t)},

{ (t)}, що підкоряються деякому  імовірному закону.

Де y(t) – трендова складова, s(t) – сезонна складова, (t) – випадкові коливання. Ці компоненти ряду, що спостерігається є теоретичними величинами.

Статистика розглядає  економічний часовий ряд як ряд, що складається з довгострокового тренду, сезонного впливу і нерегулярної складової. Тренд є довгостроковою тенденцією зміни, обумовленої ростом популяції, технологічними змінами й іншими досить довгостроковими впливами. Циклічна ж зміна зв'язана з коливаннями, відомими за назвою циклу сезонного впливу.

Плавні зміни характеристик  випадкових процесів одержали назву тренда цих характеристик, і задача виділення таких трендів є однією з основних при обробці часових рядів.

Найбільш ефективна  процедура виявлення тренда складається  в побудові рівняння регресії y(t)=а0+а1t+а2t2 + ...+аdtd. По реальним даним здійснюється оцінювання параметрів рівняння регресії. Якщо при цьому виявляється, , то варто вважати, що тренд немає. У противному випадку, якщо хоча б один з коефіцієнтів перед змінною х у якому-небудь ступені значимо відрізняється від нуля, то тренд є.

Застосування рівняння регресії дозволяє не тільки знайти тренд,  але  й описати його аналітично. Нехай залежність між ендогенної перемінною й екзогенної перемінною(часом) має вид:

 

                                                             (2.17)

 

Вихідні дані для оцінювання параметрів рівняння (2.17) отримані за результатами дослідів і утворюють набори , .

Оцінювання проводять по методу найменших квадратів (МНК).

Введемо матрицю  і вектори й наступним способом:

 

,   ,  .

 

де  - моменти часу , .

Тоді задача відшукання компонентів  вектора  , найкращого з погляду МНК, зводиться до мінімізації суми квадратів відхилень виміряних значень змінної від пророкованих моделлю (2.18):

 

                                                                         (2.18)

 

При цьому, як відомо,

 

                                                                                 (2.19)

 

Отримані значення ,  , …, задають модель

 

                                                              (2.20)

 

яка найкращим, з погляду МНК, чином описує процес, що спостерігається.

Після побудови моделі необхідно здійснити  перевірку адекватності рівняння регресії.

Процес обчислення складається  з розрахунку наступних величин:

варіація значень, що спостерігаються, щодо середнього

 

                                                                                       (2.21)

 

де y_j - істинний набір значень;

- середнє значення.

варіація значень пророкованих моделлю, щодо середнього значення

 

                                                                                  (2.22)

 

де  - прогнозний набір значень.

варіація значень, що прогнозуються  моделлю, щодо істинних значень:

 

                                                                              (2.23)

 

 

Після цього обчислюємо коефіцієнт детермінації по формулі

 

                                                                     (2.24)

 

Якщо R > 0,75, то модель прийнято вважати адекватною.

Після виділення трендової складової  часового ряду необхідно здійснити аналіз автокореляції залишків.

Виявлення автокореляції  залишків у відхиленнях від тренда здійснюється з використанням критерію Дарбина-Уотсона, що обчислюється по формулі

 

,    (2.25)

 

де  - відхилення від тренда в j-м спостереженні.

 

Розподіл значень критерію Дарбина-Уотсона протабульовано.

Обчислене значення критерію d порівнюється з табличними , . Можливі наступні випадки:

якщо d < d₁, гіпотеза про відсутність автокореляції відкидається (існує позитивна кореляція);

якщо  , гіпотеза про відсутність автокореляції приймається;

якщо  чи , то необхідно подальше дослідження (наприклад, по більшому числу спостережень);

якщо  , те гіпотеза про відсутність кореляції відкидається (існує негативна кореляція).

Співвідношення (2.25) безпосередньо випливає з відношення, використовуваного для виявлення наявності автокореляції випадкового процесу ξ(t).

 

Це співвідношення має  вид:

 

.  (2.26)

 

Перепишемо (2.26) наступним способом

 

 (2.27)

 

де  D(t), D(t+1) - дисперсії процесу в моменти часу t і t+1;

K(t, t+1) - коваріація між випадковими відліками процесу в моменти t і t+1.

Якщо процес є стаціонарним (чи не стаціонарність його така, що вона не занадто істотно виявляється на інтервалі (t, t+1)), то D(t) D(t+1).

Тоді (2.27) приблизно можна записати так: r(t) 2-2k(t, t+1), де k(t, t+1) - коефіцієнт кореляції між випадковими значеннями процесу в моменти часу t і t+1.

У зв'язку з цим ясно, якщо кореляція між цими випадковими значеннями відсутня (чи мала), то значення r(t) приблизно дорівнює 2. При збільшенні значення коефіцієнта кореляції величина r(t) зменшується, наближаючись до нуля (для позитивної кореляції), чи до чотирьох (для негативної кореляції).

Зрозуміло, що (2.26) є частим випадком (2.27), якщо процес спостерігається в дискретні моменти часу j=1,2,...,n і аналізується автокореляція залишків, що виходять після виключення тренда.

Якщо критерій Дарбина-Уотсона показав наявність  автокореляційних залишків, то необхідно здійснити вирівнювання часових рядів по ряду Фур'є:

 

                                                             (2.28)

 

де  Т – період гармонік ;

t_i– моменти часу.

Згладжування по приведеній формулі доречно, коли в емпіричному  ряді є явна періодичність змін його рівнів, що має вид синусоїдних коливань, що є гармонійними коливаннями. Синусоїди, отримані в наслідок згладжування по ряду Фур'є, називають гармоніками випадкових порядків.

У випадку згладжування по ряду Фур'є періодичні коливання рівнів динамічного ряду мають вид суми декількох гармонік, нашарованих одна на одну. Так, при k=1 рівняння Фур'є має вид

 

             

,     (2.29)

 

При k=2 відповідно:

 

                                        (2.30)