Применение теории катастроф к анализу поведения экономических систем

Пусть - гладкая функция. Точка называется критической точкой для f если

 

В критических точках график функции имеет горизонтальную касательную (рис. 7).

Рис. 7. Вид критических точек при n = 1

 

Критическая точка x₀ называется изолированной, если найдется такая ее окрестность, в которой нет других критических точек. На рис. 8(а-г) критические точки изолированы; на рис. 8(д,е) - лежат на прямой (множество критических точек).

Матрица всех вторых частных  производных функции в данной точке называется матрицей Гессе  и обозначается

 

Критические точки различают  по принципу вырожденности (Алексеев, Сухоруков, 2000).

Критическая точка x₀ отображения называется невырожденной, если , и называется вырожденной, если .

Невырожденные критические  точки изолированы, обратное утверждение  неверно.

 

 

 

 

 

a) минимум                                 б) максимум                                        в) седло

                                            

 

 

 

 

 

 

 

г) обезьянье седло                                    б) желоб                                  в) скрещенные желоба

                                                           

 

Рис. 8. Вид критических  точек при n = 2

6. Структурная устойчивость

 

Понятие "структурная  устойчивость" было впервые введено  в теории дифференциальных уравнений  А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным  в 1937 г. под названием "грубость системы" (Алексеев, Сухорукое, 2000).

Рене Том указал на важность требований структурной устойчивости, или нечувствительности к малым  возмущениям (Острейковский, 2005).

Функция f структурно устойчива, если для всех достаточно малых гладких функций p критические точки f и (f + p) имеют один и тот же тип.

Для примера возьмем  функцию  и , где - малая константа. Возмущенная функция примет вид:

.

Таким образом, критическая  точка сдвинулась (причем величина смещения гладко зависит от ), но не изменила своего типа.

Чем выше степень n, тем "хуже" ведет себя xⁿ: возмущение может привести к четырем критическим точкам (двум максимумам и двум минимумам), и это независимо от того, насколько мало возмущение (рис. 9-11) (Острейковский, 2005).

7. Базовая модель рыночной экономики в закрытом обществе

 

В качестве примера исследования поведения динамической системы  средствами теории катастроф рассмотрим модель рыночной экономики в закрытом обществе.

В данном случае цель модели — выяснить, в каких состояниях может функционировать самодостаточная  страна в условиях рыночной экономики  и в отсутствие влияния других стран, сколько таких состояний  и каковы переходы между ними. Слово "самодостаточная” означает, что  страна располагает достаточными ресурсами  и не нуждается в импорте и  экспорте.

Базовая модель претендует на описание критических (кризисных) явлений, таких как исчезновение одного из стационарных состояний и переход  в другие. Последнее может происходить, в частности, в результате изменения параметров. Процессы, обусловленные медленными изменениями параметров (за счет технических инноваций), рассматриваемая базовая модель не описывает. Этот вопрос остается прерогативой эволюционной экономики.

Такая постановка задачи аналогична исследованию фазовых состояний  и фазовых переходов в изолированной  системе.

Слова "рыночная экономика" означают следующее.

Во-первых, цена продукта определяется балансом спроса и предложения.

Во-вторых, средства производства находятся в частных руках "владельцев". Эта группа людей (обозначим их число m) получает доходы от продажи произведенной продукции. Их расходы включают траты на личные нужды и производственные издержки. Другая группа людей — "трудящиеся" получает доходы в виде зарплаты и тратит их на личные нужды. Роль "владельцев" и "трудящихся" в обществе различна: первые активны, т.е. они могут подбирать некоторые параметры для максимизации либо прибыли, либо своих накоплений; вторые пассивны, т.е. на параметры не влияют. Траты на личные нужды определяются функцией спроса, издержки владельцев — производственной функцией, накопления как "владельцев", так и "трудящихся" — балансом доходов и расходов.

В-третьих, государство  не участвует непосредственно в  управлении экономическими процессами.

При формулировке базовой  модели сделаем ряд упрощающих предположений.

1. Будем строить модель в так называемом однопродуктовом приближении, которое часто используется в теоретической экономике. Оно означает, что сырье, а также продукты всех категорий и услуги (транспорт, связь и т.д.) объединяются в один агрегированный продукт. Спрос на этот единый продукт определяется суммарной функцией спроса Q(r). Производственные издержки в такой модели сводятся к выплате зарплаты.

2. Будем считать, что количество денег в обществе фиксировано и равно М. Это значит, что имеет место закон сохранения суммы накоплений "владельцев" (U_m) и "трудящихся" (U_n):

,                                                (1)

где N — число экономически активных людей, n — число "трудящихся, m— число "владельцев".

Параметр М обладает следующими свойствами.

При медленном (адиабатическом) изменении М, таком, что цена р и накопления успевают отследить эти изменения, состояние общества не меняется. Такое изменение фактически равносильно деноминации. Быстрое изменение М может существенно повлиять на состояние общества, особенно, если эмитированные средства адресуются определенной группе (адресная эмиссия).

С учетом этих замечаний базовую модель можно представить в форме:

 

 

Здесь — зарплата в натуральных единицах, которую выплачивают "трудящимся" "владельцы". При сдельной оплате труда зарплата пропорциональна количеству произведенного продукта:

 

Коэффициент h меньше единицы и величина (1 - h) представляет собой добавочный продукт, g — доля накоплений владельцев, которую они тратят на личные нужды, F — производственная функция, зависящая от оборотных. В данном случае оборотные средства

,

— коэффициент, отражающий скорость установления рыночной цены.

Переменная  не является независимой и согласно (1)

 

Введем безразмерные переменные:

 

где — средние накопления, , — параметр функции спроса Q(r). Далее примем =1, т.е. будем измерять покупательную способность в единицах, обеспечивающих прожиточный минимум.

Для качественных исследований модели  удобно перейти к переменным и . Тогда

 

 

В новых переменных . Далее штрихи опустим.

Фазовый портрет системы представлен на рисунке 12.

Рис. 12. Фазовый портрет базовой модели

 

Сплошные жирные линии — главные изоклины, где  и . Изломы на них соответствуют значениям, при которых производственная функция максимальна. Видно, что при использованных параметрах (m = 0,3; n = 0,7; h = 0,1; = 5; = 8) имеется несколько устойчивых стационарных состояний. Первое расположено при значениях, лежащих выше точек излома. В этом состоянии производственные мощности загружены полностью и его можно назвать высокопродуктивным (ВП).

Стационарное состояние при  неустойчиво и через него проходит сепаратриса (штрихпунктирная линия).

Состояние устойчиво. Оно расположено ниже точки излома, и, следовательно, производственная функция в нем не максимальна. Его можно назвать низкопродуктивным (НП). В этом состоянии производственные мощности не загружены, оборотные средства "владельцев" ниже, чем в ВП состоянии, и цены продукта выше. Таким образом, уровень как производства, так и потребления всех слоев общества в НП состоянии ниже, чем в ВП.

При низких значениях х и у имеется еще два состояния (на фазовом портрете они сливаются): неустойчивое при и устойчивое при . Последнее соответствует натуральному хозяйству, при котором товарное производство отсутствует. Оно отделено от НП состояния сепаратрисой, проходящей через точку (, ). Модель не претендует на детальное описание натурального хозяйства, однако описать возможный переход в него она может.

Тонкими сплошными линиями на рис. 12 представлены траектории движения изображающей точки системы на плоскости х, у при разных начальных состояниях. Видно, что динамика достижения того или иного стационарного состояния не всегда монотонна. Так, при движении точки из начального состояния (, ), где имеется избыток оборотных средств, величина у сперва (на участке до (, )) возрастает (цена падает), но затем (на участке от (, )) до точки I) цена снова увеличивается. Смысл этого эффекта прост: сначала оборотные средства вкладываются в производство, образуется избыток продукта, и его цена падает. Затем, по достижении баланса спроса и предложения (т.е. на изоклине ), первый по инерции растет, а второе падает. Цена снова возрастает вплоть до достижения равновесия в точке I.

Другим начальным условиям соответствуют траектории, также представленные на фазовом портрете рис. 12. Наиболее интересны случаи, когда начальные условия близки к сепаратрисе. При этом даже малые сторонние влияния (например, собственного государства или других стран) могут привести к серьезным последствиям.

Подчеркнем, что главные изоклины и точки их пересечения не зависят от параметра . Наклоны траекторий (в том числе и сепартрисы) зависят от параметра существенно. При увеличении траектории располагаются более круто, при уменьшении — более полого. Вместе с тем знак угла наклона траектории от не зависит. Параметр определяет скорость установления равновесных цен. Он зависит от скорости сбора и обработки информации об объемах спроса, предложения, о распределении средств в обществе и т.п.

В данном случае (на рис. 12) принято = 1. Это значит, что скорость установления цен того же порядка, что и скорость установления баланса доходов и расходов. В действительности характерные параметры этих процессов могут отличаться в несколько раз.

На рисунке 12 жирным пунктиром проведены две линии — (а) и (b). Они важны для оценки эффекта адресной эмиссии.

Параметрический анализ модели удобно провести, используя уравнение для стационарных состояний. Полагая и , получаем

 

В уравнение входит только одна комбинация переменных х и у, именно . Левая часть представляет собой расходы "владельцев" на личные нужды, правая часть — доходы владельцев R(), т.е. прибыль за вычетом производственных издержек. Таким образом, уравнение представляет собой баланс "желаемого" (функция Q(g)) и "возможного" (R()).

Учитывая свойства производственной функции, это уравнение можно записать в виде

 

где параметр .

Графическое решение этого уравнения приведено на балансовой диаграмме (рис. 13).

Рис. 13. Балансовая диаграмма

 

По оси абсцисс отложена величина , по оси ординат отложены функции спроса Q(g) и дохода R(g). Параметр представляет собой тангенс угла наклона линейного участка функции дохода.

Состояние (т.е. натуральное хозяйство) и неустойчивое состояние (,) на этой диаграмме уже разделены.

Таким образом, модель содержит два управляющих параметра: и . Их бифуркационные значения связаны между собой, т.е.

. При их изменении возможны следующие состояния.

{1}. При  и любом имеется одно стационарное состояние.

{2}. При  возможны два устойчивых стационарных состояния: ВП и натуральное хозяйство (,). Однако область притяжения ВП состояния значительно шире. Поэтому режим {2} мало отличается от режима {1}. При имеет место бифуркация типа складки: состояния (,) и (,) сливаются. При они исчезают и при   появляются.

{3}. При  ситуация зависит от параметра . Существуют два варианта.

{3а}. При  возможны все пять состояний. Из них устойчивы ВП, НП и натуральное хозяйство. Фазовый портрет на рисунке 12 соответствует именно этому варианту. Бифуркационное значение зависит от параметра и тем больше, чем больше .

{3б}. При  отсутствует ВП состояние и возможны лишь НП состояние и натуральное хозяйство. При имеет место бифуркация типа складки. Состояния (,) и (,) при этом сливаются.

{4}. При имеет место бифуркация, состояния (,) и (,) сливаются и затем исчезают. Возможны два варианта.

{4а}. При остается одно стационарное состояние — натуральное хозяйство.

{4б}. При возможны два устойчивых состояния: ВП и натуральное хозяйство. Однако область притяжения первого мала и практически вариант {4б} мало чем отличается от {4а}.

Сказанное справедливо при заданных параметрах функции спроса. В общем случае бифуркационные значения управляющих параметров и зависят от параметров функции спроса.

Обсудим варианты переходных процессов. В общем случае переходы возможны в результате внешних воздействий. Различают два типа переключающих воздействий: силовые и параметрические.

Силовые переключения происходят в результате изменений динамических переменных (в нашем случае — накоплений владельцев х и y или цен p = 1/у). При этом параметры модели не меняются, фазовый портрет остается прежним, но изображающая точка смещается.

Обсудим в качестве примера возможный переход из НП состояния в ВП в результате, например, адресной эмиссии денег. В случае безадресной эмиссии увеличивается параметр М и пропорционально изменяются накопления и цены. Однако безразмерные (перенормированные) переменные, равно как и структура фазового портрета, при этом сохраняются. При адресной эмиссии изменяются безразмерные переменные. Если средства адресуются "владельцам”, то точка х смещается вправо вдоль линии (а), представленной жирной штриховой линией на рисунке 12. При достаточно большом смещении, таком, что точка переходит через сепаратрису (т.е. точку ), система сама устремится к ВП состоянию. В экономике это явление производит впечатление ”экономического чуда”.

Если адресная эмиссия недостаточна и точка остается в области притяжения НП состояния, система после некоторого оживления экономики снова возвращается в него. Безразмерные переменные остаются прежними, но размерные величины (цены и накопления) увеличиваются в меру эмиссии.

Когда эмитированные средства адресуются ”трудящимся”, безразмерная переменная х уменьшается (вследствие падения доли накоплений владельцев). При этом точка х движется вдоль штриховой линии (b) на рисунке 12. ”Экономическое чудо” возможно и в этом случае, если изображающая точка будет переброшена за сепаратрису. Таковое возможно, когда сепаратриса в левой части портрета достаточно полога (вариант, представленный на рисунке 12, такому условию не удовлетворяет). Последнее означает, что вслед за адресной эмиссией производство развивается быстро и опережает рост цен.