x_t+h =A₁₁x_t+h+A₁₂y_t+h+B₁₁(x_t+h-x_t)/h+B₁₂(y_t+h-y_t)/h+f_1,t+h ,

     y_t+h =A₂₁x_t+h+A₂₂y_t+h+B₂₁(x_t+h-x_t)/h+B₂₂(y_t+h-y_t)/h-f_2,t+h ,         (7.1.1)

     x_{t+ h} ≥ө, y_{t + h ≥}ө, x_t ≥ө, y_t ≥ө ,

     где x_t+h - вектор валового выпуска полезного продукта, достигаемый к моменту времени t + h ;

     y_{t + h} - вектор вредных отходов в окружающей среде, возникающих в процессе производства и подлежащих уничтожению в момент времени t + h ;

     f_1,t+h - вектор чистого выпуска полезного продукта в момент времени t + h ;

     f _2,t+h - вектор остаточного уровня вредных отходов в момент времени t + h ; A₁₁ - (n х n) технологическая матрица;

     A₁₂ - такая (n х m) матрица, что A₁₂y - вектор полезного продукта, возникающий при переработке вредных отходов в объеме вектора y ;

     A₂₁ - такая ⁽m х n⁾ матрица, что A₂₁x - вектор вредных отходов, создаваемых при выпуске полезного продукта в объеме вектора x ;

     A₂₂ - такая (m х m) матрица, что при уничтожении вектора ^y вредных отходов в окружающую среду выделяется вредных отходов в объеме вектора A₂₂y ; B₁₁ - матрица, характеризующая инвестиции части созданного в момент времени t i-го продукта на создание дополнительного резерва производства для выпуска продукции в момент времени t + h ;

     B₁₂ - матрица инвестиций, идущих на подавление вредных отходов, возникающих при создании дополнительного резерва производства;

     B₂₁ - матрица, характеризующая количество выделяемых единиц вредных отходов при увеличении производства полезного продукта на единицу за промежуток времени h;

     B₂₂ - матрица, характеризующая количество выделяемых вредных отходов, при подавлении вредных отходов, выделяющихся при увеличении годового производства продукта x на единицу.

     Рассмотрим  проблему существования неотрицательного решения х_t+h, у_t+h Системы (7.1.1) при заданных неотрицательных векторах f ₁,_t+h и f_2,t+h . Даже в самой простой ситуации существование неотрицательного решения возможно лишь при выполнении дополнительного условия, связанного с «согласованием» векторов f ₁,_t+h и  f_2,t+h, что в ряде случаев неестественно. Действительно, в случае достаточно «чистого» в экологическом смысле производства выпуск заданного вектора f ₁,_t+h полезного продукта может сопровождаться «выбросом» в окружающую среду незначительного по уровню вектора вредных отходов, «меньшего» предела их допустимого содержания f_2,t+h в окружающей среде. Тогда для получения решения системы (7.1.1) необходимо «искусственно» произвести вредные отходы до объема f_2,t+h, вместо того чтобы удовлетворится меньшим по объему их содержанием в окружающей среде. Таким образом, целесообразно заменить модель (7.1.1) следующей системой, составленной из уравнений и неравенств: 

      x_t+h ≥A₁₁x_t+h+A₁₂y_t+h+B₁₁(x_t+h-x_t)/h+B₁₂(y_t+h-y_t)/h+f_1,t+h ,

     y_t+h ≥A₂₁x_t+h+A₂₂y_t+h+B₂₁(x_t+h-x_t)/h+B₂₂(y_t+h-y_t)/h-f_2,t+h ,        (7.1.2)

     x_{t+ h} ≥ө, y_{t + h ≥}ө, x_t ≥ө, y_t ≥ө ,

     Переход от системы уравнений (7.1.1) к системе уравнений-неравенств (2) связан с «утратой определенности», так как (7.1.2) в отличие от (7.1.1) может иметь бесконечное множество решений.

     Более общей по сравнению с моделью (7.1.2) является модель,

      x_t+h ≥A₁₁x_t+h+A₁₂y_t+h+B₁₁(x_t+h-x_t)/h+B₁₂(y_t+h-y_t)/h+f_1,t+h ,

     y_t+h ≥A₂₁x_t+h+A₂₂y_t+h+B₂₁(x_t+h-x_t)/h+B₂₂(y_t+h-y_t)/h-f_2,t+h ,      (7.1.3)

     x_{t+ h} ≥ө, y_{t + h ≥}ө, x_t ≥ө, y_t ≥ө ,

     в которой валовой выпуск продукта превосходит затраты на производство, инвестиции и потребление.

     Традиционно итоги хозяйственной деятельности как на макро-, так и на микроуровнях подводят за год, поэтому в большинстве случаев h равно одному году. При более мелком разбиении времени отчетности (полугодие, квартал, месяц) h - соответствующая единица (полугодие, квартал, месяц). Пусть для определенности h=1, x_t, y_t - имеющиеся ко времени t полезный продукт и уровень вредных отходов соответственно, следовательно, можно считать их заданными. Таким образом, система (7.1.3) примет вид

      x_t+1 ≥ A₁₁x_t+1+A₁₂y_t+1+B₁₁x_t+1+B₁₂y_t+1+ g ₁,

     y_t+1 =A₂₁x_t+1+A₂₂y_t+1+B₂₁x_t+1+B₂₂y_t+1- g ₂ ,                  (7.1.4)

     где

     g₁=-B₁₁x_t+1-B₁₂y_t+1-f_1,t+1

     g₂=B₂₁(x_t+1-B₂₂y_t+1+f_2,t+1

     Рассмотрение  системы (7.1.4) связано с риском неоправданного перепроизводства. Исходя из экономических соображений, естественно остановиться на таком решении {x*, y*}, которое удовлетворяет условию

     { x*,y*}- {inf{x},inf{y}}, (7.1.5)

     где inf берется по всему множеству {x,y} . При таком определении решения мы имеем заданный объем полезного продукта, при условии, что не превышается допустимый уровень содержания вредных отходов в окружающей среде и обеспечивается минимально необходимое производство полезного продукта.

     В модели (7.1.4) A_ij, B_ij (i, j = 1,2) - линейные положительные операторы, действующие в соответствующих банаховых пространствах E_x = Rⁿ и Е_у = R^m (n - количество единиц выпускаемого полезного продукта, m - количество единиц вредных отходов, выделяемых в окружающую среду при данной технологии). При этом A₁₁, B₁₁ действуют из Rⁿ в Rⁿ , A₁₂,B₁₂ - из R^m в Rⁿ , A₂₁ , B₁₂ - из Rⁿ в R^m , A₂₂, B₂₂ - из R^m в R^m . Полуупорядочим банаховы пространства Rⁿ и R^m конусами неотрицательных векторов К_х и K_y соответственно.

     Пару  элементов (x,y) K_х K_y, удовлетворяющую системе неравенств (7.1.4), будем называть планом задачи (7.1.4), П - множество всех планов этой задачи. Если множество планов задачи (7.1.4) не пустое, то оно, как правило, содержит бесконечное множество элементов. Положим, как и ранее, что выполняется условие (7.1.5). Вектор (x^*,y^*) ,если он существует, назовем решением задачи (7.1.4). Решение задачи (7.1.4) существует и единственное, если П≠ (это следует из ограниченности снизу по конусу множеством планов и сильной миниэдральности конусов K_x и K_y. Система (7.1.4) называется продуктивной, если она имеет неотрицательное решение.

     Перепишем модель (7.1.4) в следующем виде

      x_t+1 ≥ (A₁₁+ B₁₁ )x_t+1+(A₁₂+B12)y_t+1+ g ₁,

     y_t+1 ≥(A₂₁+B21)x_t+1+(A₂₂+B22)y_t+1- g ₂ ,                     (7.1.6)

     Опустим индекс, обозначающий год у переменных, и введем обозначения                                           С_ij = A_ij + B_ij (ij = 1,2),

     Таким образом, обобщенная динамическая модель межотраслевого баланса представляется в виде: 

                                  x≥C₁₁x+C₁₂y+g₁

                                 y≥C₂₁x+C₂₂y-g₂

                              x≥ө,y≥ө

    2.   Методологические рекомендации

    2.1. Статическая модель межотраслевого баланса

 

      Для шести отраслей экономики за отчетный период известны межотраслевые потоки  x_ij и вектор объемов конечного использования Yотч. Предполагается, что в плановом периоде технология производства не меняется.

      Требуется:

1. Рассчитать плановый межотраслевой баланс при условии, что планируемый валовой выпуск равен  Xпл
2. Привести числовую схему баланса и проверить балансовые соотношения
3. Проанализировать полученные результаты
4. Рассчитать плановый межотраслевой баланс при условии, что планируемый покупательский спрос равен  Yпл
5. Привести числовую схему баланса и проверить балансовые соотношения
6. Определите, какое влияние оказывает увеличение цены на продукцию i отрасли
7. Проанализировать полученные результаты

 

   Инструкция  по решению задачи на ПЭВМ средствами Excel

   1. Заносим исходные данные баланса в электронную таблицу Excel:

                                            Таблица 2.1.1

     Таблица межотраслевых потоков 

      

     Элементы  столбца Х_отч рассчитываем по формуле

      

     Для этого курсор помещаем в ячейку для , используем функцию СУММ, где в качестве аргумента берем элементы первой строки, затем копируем эту формулу в остальные ячейки столбца Х_отч. Переписываем полученные значения в строчку Х_отч внизу, для этого используем формулы, то есть   и т.д.

     2. Строим матрицу А – матрицу прямых затрат. Для этого

     Строим  таблицу для матрицы размером n •n( n-количество отраслей). В первой клетке записываем формулу: 

     Например, для B2/B$8, (где В$8 — адрес в столбце).