X_i(t) = _, i=1…n (5.2.3)

     Представим (5.2.3) в матричном виде

     X (t)=A X (t)+Ф∆X (t)+Y (t),                           (5.2.4)

     A=||a_ij||, Ф =||_{|| i},j=1,2,..,n

     Из (5.2.4) следует, что

     (E - A - Ф)X(t) = Y(t) - ФX(t -1),   X(t)=(E - A - Ф)^-1 (Y(t) - ФX(t -1)). (5.2.5)

     Модель (5.2.3) называется дискретной динамической моделью межотраслевого баланса Леонтьева (ДМОБ). Система уравнений (5.2.3) представляет собой систему линейных разностных уравнений 1-го порядка. Для исследования данной модели надо задать в начальный момент времени векторы X(0) и Y(t) для t = 1, 2, T. Решением модели будут значения векторов X(t), K(t), t = 1, 2, ..., T.

     Условием  разрешимости системы (5.2.3) относительно вектора X(t) является требование det(E - A - Ф) ≠0 .

     В данной модели предполагается, что  прирост продукции в периоде (t - 1, t) обусловлен капиталовложениями, произведенными в том же периоде. Для коротких периодов это предположение нереально, т.к. существуют отставания во времени (временные лаги) между вложением средств в производственные фонды и приростом выпуска продукции. Модели, учитывающие лаги капитальных вложений, образуют особую группу динамических моделей МОБ.

     Если  перейти к непрерывному времени, то уравнения (5.2.3) перепишутся в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами

                          (5.2.6) 

     Для ее решения помимо матриц коэффициентов  текущих прямых материальных затрат A = (a_ij) и коэффициентов капитальных затрат Ф = (₎ необходимо знать уровни валового выпуска в начальный момент времени t = 0 (x(0)) и закон изменения величин конечного продукта y(t) на отрезке [0, T].

     Решением  системы уравнений (5.2.6) будут значения вектор-функции x(t) на отрезке [0, T]. Условием разрешимости системы (5.2.6) является detФ ≠0.

     Таким образом, решение динамической системы  линейных уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем  периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается через коэффициенты вложений φij, характеризующие фондоёмкость единицы прироста продукции.

    1.5.3. Применение особенности, достоинства и недостатки  модели

 

    В целом можно отметить две особенности, отличающие динамическую модель межотраслевого баланса от статической. Первая — ввод в модель показателей капитальных вложений и основных фондов. Вторая — учет накопления запасов продукции, поскольку они отражаются на дальнейшем развитии производства. Динамические модели экономики. В отличие от статических это такие модели, которые описывают экономику в движении, в развитии. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.6. Модель Неймана

1.6.1 Постановка задачи

 

     Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:

1. экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;
2. производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;
3. для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;
4. спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;
5. цены товаров изменяются во времени.

    Модель  Неймана включает в себя иодель леонтьева как частный случай и отличается от нее тем что в ней допускается совместное производство в каждом технологическом процессе ( отрасли) нескольких видов товаров. Тем самым устраняется существенный недостаток модели Леонтьева, заключающийся в оперировании понятием»чистой отрасли .

1.6.2. Математическая модель

 

     Рассмотрим  производство, в котором  представлены n продуктов и m способов их производства. Каждый j-й способ задается вектор-столбцом затрат продуктов a_j и вектор-столбцом выпусков продуктов b_j в расчете на единицу интенсивности процесса:

     , , j=1,2,…,m.                     (6.2.1)

     Это     означает,     что     при     единичных интенсивностях    j-го производственного процесса потребляется вектор продуктов a_j и производится продуктов b_j. Векторы (5.2.1) рассматриваются в натуральных единицах или в постоянных ценах.

     Из  векторов затрат и выпуска образуются матрицы затрат А и выпусков В с неотрицательными коэффициентами затрат a_ij- и выпусков b_ij.

     А = (a₁,…, a_n) =|| a_ij ||, В = ( b₁,...,b_n ) =|| b_ij||

     Матрицы А и В обладают следующими свойствами.

1. a_ij ≥0, b_ij ≥ 0,т.е. все элементы матриц неотрицательны;
2. > 0, j=1-m , что означает: в каждом из m способов производства потребляется хотя бы один продукт;
3. > 0, i=1-n, что означает. каждый продукт производится хотя бы одним способом производства.

     Таким образом, каждый столбец матрицы А и каждая строка матрицы В должны иметь по крайней мере один положительный элемент.

     Через X(t) обозначим вектор-столбец интенсивностей 

     Тогда AX(t) - вектор затрат, BX(t) - вектор выпусков при заданном векторе X(t) интенсивностей процессов.

     Модель  Неймана является обобщением динамической модели межотраслевого баланса Леонтьева, поскольку допускает производство одного продукта несколькими способами производства, и совпадает с ней, если В = Е.

     В модели Неймана имеют место следующие  соотношения.

     AX(t + 1) < BX(t),

     X(t) ≥0, X(t +1) ≥ 0.                                   ( 6.2.2)

     Соотношения (6.2.2.) означают, что при производстве продукции в году (t+1) расходуется продукция, произведенная в году t.

     Вектор  p(t)=(p₁(t),p₂(t),...,p_n (t))>0 называется вектором цен продуктов, произведенных в году t, если он удовлетворяет следующим соотношениям.

     p (t+1)В p (t) A,

     p (t) AX (t+1)=p (t) BX (t),                         (6.2.3.)

     p (t+1) BX (t)=p (t) AX (t).

     Если  коэффициенты матриц А и В - стоимостные величины в постоянных ценах, то p(t) будет вектором индексов цен.

     Первое  векторное неравенство в (5.2.3.) означает, что стоимость выпуска продукции для каждого технологического способа производства в году t +1 не может быть больше стоимости затрат в ценах года t.

     Из (5.2.2.) и (5.2.3.) следует, что имеют место следующие соотношения 
 

     Первое  соотношение в (6.2.4.) означает, что цена i-го продукта в году t равна нулю, если его выпуск в году t будет больше его затрат в году (t + 1).

     Второе  соотношение (6.2.4.) означает, что j-й технологический процесс в году t не будет применяться (интенсивность равна нулю), если стоимость затрат по нему в году t больше стоимости его выпуска в году (t + 1).

     Векторы X(t) и p(t), t = 1, 2, T  называются траекторией сбалансированного роста в модели Неймана, если они удовлетворяют условиям

     X (t+1)=(1+λ) X (t)                                                  ,        

     p(t+1)=(1+ρ)^-1 p(t) ,                                     (5.2.5.)

     где λ> 0, ρ> 0.

     Здесь λ - темп, ρ - норма процента сбалансированного роста.

     Из (5.2.5.) следует, что в состоянии сбалансированного роста значения компонент вектора X(t) пропорционально возрастают, а вектора p(t) -снижаются. При этом имеют место соотношения

     X(t+1)=(1+λ)^t X(0),                                (6.2.6.)

     p(t+1)=(1+ρ)^-t p(0)                                               

     где X(0) и р(0) - начальные значения векторов в году t = 0.

     Из (6.2.5.), (6.2.6.) следует, что на траектории сбалансированного роста должны выполняться соотношения

     (1+λ) AX (t) < BX (t)

     p (t) B < (1+ρ) p (t) A

     (1+λ) p (t) AX (t)=p (t) BX (t)

     p (t) BX (t)=(1+ρ) p (t) AX (t).                           (6.2.7.)

     X (t) ≥ 0, p (t) ≥ 0                                                    

     λ> 0, ρ> 0.

     Вопрос  о существовании траекторий сбалансированного  роста решается следующими теоремами.

     Первая  теорема Неймана. Если матрицы  А и В удовлетворяют свойствам 1-3, то система неравенств (6.2.7.) имеет решение X (t), p (t ),λ, ρ,т. е. в модели Неймана существуют траектории сбалансированного роста.

     Вторая  теорема Неймана. Существует решение X^*(t), p^*(t ),λ^*, ρ^* системы (6.2.7.), у которого будет максимальный темп роста λ^* ≥ λ и минимальная норма процента ρ^* ρ по сравнению с другими решениями. При этом выполняется соотношение

      (6.2.8.)

     Данное    решение    называется    магистралью,    или    траекторией максимального сбалансированного роста в модели Неймана.

     В модели Леонтьева задача о максимальном сбалансированном росте (магистрали) будет  иметь вид

     max (1 + λ),

     X ≥ (1+ λ) AX,                                        (6.2.9.)

     X ≥ 0.

     Согласно  теореме Фробениуса-Перрона, если А продуктивная матрица, то задача (6.2.9.)  имеет решение X^* > 0, (1+ λ^*),  где (1+ λ^*)   равно наименьшему собственному значению матрицы А большему или равному единице, а X^* соответствующий нормированный собственный вектор. При этом в (6.2.9.) будет достигаться равенство. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1.7. Динамическая модель межотраслевого баланса, учитывающая выделение вредных отходов

 

     Рассмотрим  динамическую модель межотраслевого баланса с учетом экологического состояния окружающей среды c дискретным временем. Дискретное время удобно для приложений, поскольку статистические данные всегда дискретны и относятся к конкретным единицам времени. Для дискретного времени может использоваться аппарат разностных уравнений. Заметим, что большинство известных моделей экономической динамики существуют дискретном вариантах.

     1.7.1. Математическая модель

 

     Рассмотрим  динамическую модель межотраслевого баланса, в которой учитывается выделение  и утилизация вредных отходов  и внесение инвестиций на развитие производства: