Уравнение Y=(E-A)^-1X позволяет ответить на вопрос переходной экономики

     - в какой степени платежеспособного  конечного спроса (Y) влияет на обьемы производства валовой продукции отраслей

     X=(E-A)^-1Y

     -в  какой стпени спад производства (Х) в отдельных отраслях отразится на величине конечного использования продукции отраслей ( Y), а также на таком его наименее устойчивом его элементе, как валовые накопления.

     Использование метода «затраты-выпуск» межотраслевого баланса позволяет не только изучить взаимосвязь между различными отраслями экономики, но и осуществить прогнозирование развития экономики страны и темпы экономического роста. 
 
 
 
 

1.3. Модель межотраслевого баланса конкурентно-импортного типа

    1.3.1 Постановка задачи

 

    Предположим, что кроме собственного производства для удовлетворения конечного спроса используется импорт и экспорт. Тогда вектор конечного спроса Y можно представить в виде:

    Y = Y_вн + Y_экс – Y_имп ,

    где Y_вн – внутренний конечный спрос;

          Y_экс – величина экспорта;

          Y_имп – величина импорта.

    Тогда: AX + Y_вн – совокупный внутренний спрос;

      AX + Y_вн + Y_экс – внутреннее валовое производство;

    Получаем  уравнение:

              X + Y_имп = AX + Y_вн + Y_экс,

    или

                      X = AX + Y_вн + Y_экс – Y_имп.                                (3.1)

      Предположим, что импорт каждого вида продукции  пропорционален совокупному внутреннему  спросу на эту же продукцию. Тогда 

                      Y_имп = M (AX + Y_вн),  (3.2)

    причем  матрица коэффициентов М является диагональной:

           M = diag{m₁,…,m_n}.

      Основное  уравнение баланса в этом случае можно записать так:

                      X = AX + Y_вн+ Y_экс – M (AX+Y_вн),                             (3.3)

    откуда(E – A + MA)X = (E – M)Y_вн+Y_экс,

    или

                      X = (E – (E - M)A)^-1[(E - M) Y_вн + Y_экс]             (3.4)

      Формула (3.4) позволяет по известной величине экспортного и внутреннего конечного спроса найти объем равновесного валового выпуска X и затем по формуле (3.3) найти объем импорта. 

     В известной модели конкурентно-импортного типа ( или расширенной модели МОБ), где n-число отраслей экономики,  система линейных алгебраических уравнений имеет следующий вид: 
 

     Где - векторы размерности n,  элементами которых являются объемы соответственно валового выпуска продукции, внутреннего конечного потребления, экспорта и импорта, А=-технологическая матрица, - диагональная матрица с элементами   при i=j, при i≠j. Задача состоит в нахождении векторов .

     Следует отметить,что величина представляет собой коэффициент импорта i-отрасли , т.е. отношение объема импорта к сумме промежуточного и внутреннего конечного потребления .

     Считая  что все показатели МОБ заданы в стоимостном выражении, а вектор неотрицательны, можно найти единственное экономически обоснованное решение  х*, если х*≥ и коэффициенты импорта удовлетворяют неравенствам  0≤≤1 , а матрица А продуктивна. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.4. Модель международной торговли (модель обмена)

1.4.1. Постановка задачи

 

     Рассмотрим  n стран - участниц торговли с государственными бюджетами X₁, X₂, …, X_n. Будем считать, что весь бюджет каждой страны тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран.

     Используя линейную модель обмена,  найдем  национальные доходы стран или их соотношение для сбалансированной торговли.

1.4.2. Математическая модель

 

     Пусть а_ij – доля бюджета х_j, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов а_ij: 

     

. 

     Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне  ее (это можно трактовать как торговый бюджет), справедливо равенство .

     Матрица А с данным свойством, в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой .

     Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т. е. , или .

     Сложим  все эти неравенства при i от 1 до п. Группируя слагаемые с величинами бюджетов , получаем

      . 

     Нетрудно  заметить, что в скобках стоят  суммы элементов матрицы А по ее столбцам, которые равны единице по условию. Стало быть, мы получили неравенство , откуда следует, что возможен только знак равенства.

     Таким образом, условия принимают вид  равенств: 

     

 

     Введем  вектор бюджетов , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме: . Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению = 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли. Перепишем уравнение в виде, позволяющем определить

     Таким образом, модель международной торговли позволяет найти вектор национальных доходов стран, при котором достигает сбалансированность торговли стран  
 
 
 

     1.5. Динамическая модель Леонтьева

 

     В процессе совершенствования и усложнения модели «затраты—выпуск» был создан динамический вариант системы, учитывавший технический прогресс, перестройку промышленности, изменения ценовых пропорций. Модель была переведена на гибкие коэффициенты. Эта работа оказалась весьма успешной еще и потому, что параллельно с научным поиском совершенствовалось компьютерное обеспечение.

     В отличие от статических динамическая модель призвана отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную взаимосвязь между  предыдущими и последующими этапами  развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы. В динамических моделях отражается процесс развития экономики. В них производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуется их структура и влияние на рост объема производства.

     1.5.1. Постановка задачи

 

     Предположения модели:

1. Учет динамики
2. Время t дискретно , t=1,…,T ( исходный год нулевой) \

     Таблица 5.1 «Схема динамического межотраслевого баланса» 

            
 

     Табл. 5.1 содержит две матрицы, соответствующие первому и второму квадранту статического МОБ. Матрица промежуточного потребления с элементами X_j совпадает с соответствующей матрицей статического баланса.

     Элементы  второй матрицы показывают, какое  количество продукции i-й отрасли направлено в текущем периоде в j-ю отрасль в качестве производственных капитальных вложений в основные и оборотные средства. В динамической схеме конечный продукт y_i включает продукцию i-й отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, незавершенное строительство, на экспорт.

     1.5.2. Математическая модель

 

     Рассмотрим  экономику производящую и потребляющую  n типов товаров, совокупный запас которых оценивается вектором X=(X₁,…,X_n). Чтобы подчеркнуть, что величина этого запаса относится к определенному промежутку времени, вектор X=X_t  называется еще интенсивностью производства.

     В таблице выполняется следующее  балансовое соотношение:

                   (5.2.1)

     Как и в статической модели, X_ij = a_ijX_j. Межотраслевые потоки капитальных вложений относятся к периоду (t-1,t). Динамика задается дополнительными соотношениями

     K_ij =φ_ij∆X_j,  ∆X_j= X_j(t) – X_j(t - 1).                         (5.2.2)

     Переменные  модели:

1. X_i(t)-валовый выпуск отрасли i в t году
2. Y_i(t)-конечное потребление отрасли i в t году
3. K_ij-количество продукции отрасли, направленное в текущем периоде в отрасль в качестве производственных капиталовложений в основные и оборотные средства.
4. φ_ij—коэффициенты капитальных вложений или коэффициенты приростной фондоемкости. Предполагается, что производственные мощности используются полностью и прирост продукции равен приросту мощности. Коэффициенты φij называются коэффициентами вложений, или коэффициентами приростной фондоёмкости.

     Экономический смысл коэффициентов φ_ij = K_ij/∆X_j следующий: они показывают, какое количество продукции i-й отрасли должно быть вложено в j-ю отрасль для увеличения выпуска ее продукции на единицу в рассматриваемых единицах измерения. Систему уравнений (5.2.1) с учетом (5.2.2) можно записать как: