Контрольная работа по "Экономике"

F = 16y₁ + 110y₂+ 100y₃.

при ограничениях:

,

Целевая функция двойственной задачи представляет собой минимальную оценку затраченного сырья, левая часть каждого ограничения  показывает оценку сырья, затраченного на единицу изделия каждого вида, в правой части стоит прибыль от реализации единицы изделия данного вида.

Между переменными  исходной и двойственной задач имеется  следующее соответствие:

х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆, х₇

y₄, y₅, y₆, y₇, y₁, y₂, y₃,

 

Используя решение исходной задачи и соответствие между двойственными переменными, найдем компоненты оптимального плана  двойственной задачи: Y* = (0; 0, 12; 33; 62; 0; 91).

Двойственная  оценка у^*₃ = 12, показывает, что увеличение ресурса Р₃ на единицу приведет к увеличению целевой функции Z на 12 единиц. Следовательно, ресурс Р₃ является дефицитным (так как у него положительная двойственная оценка). Двойственная оценка у^*₁ = у^*₂ = 0 показывает, что увеличение избыточных ресурсов Р₁ и Р₂ на единицу не приведет к увеличению целевой функции Z. Дополнительная двойственна оценка у^*₆ = 0 говорит о том, что стоимость ресурсов, расходуемых на единицу продукции третьего вида (в оптимальных оценках) не превосходит стоимости единицы этой продукции. Дополнительные двойственные оценки у^*₄ = 33, у^*₅ = 62 и у^*₇ = 915 говорят о том, что стоимость ресурсов, расходуемых на единицу продукции первого, третьего и четвертого вида (в оптимальных оценках) превосходят стоимости единиц каждой продукции на 33 ден. ед., 62 ден. ед. и 91 ден. ед. соответственно.

Определим изменение максимальной прибыли от реализации продукции при увеличении запаса ресурса I на 10 ед., ресурса II – на 50 ед. и уменьшении запаса ресурса III на 30 ед.

По отдельности: изменение ресурсов I и II  не выходят за пределы допустимых изменений, поэтому структура оптимального плана и максимальная прибыль не изменится. Изменение запаса сырья III вида также не выходит за пределы допустимого уменьшения, поэтому структура оптимального плана не изменится, однако  станет возможным производство только 7 единиц продукции третьего вида, и максимальная прибыль в этом случае составит 840 единиц (произведем пересчет: в ячейках запасов введем новые значения и произведем Поиск решения).

Оценим  теперь суммарное влияние, произведем пересчет: в ячейках запасов введем новые значения и произведем Поиск  решения. Получены следующие результаты: оптимальный план задачи единиц, максимальная прибыль равна 840 единиц.

Видим, что  влияние оказывает только изменение запаса ресурса третьего вида. Причем как при изменении запасов сырья только третьего вида, так и всех трех видов, сырье вида III используется полностью, т.е. является дефицитным.

 

 

 

 

 

Задание №4

Решить  задачу управления запасами

Вариант 17

4.5. Определить, как изменятся издержки в задаче 4.3, если D = 350 ед., стоимость подачи заказа С₀ = 45 руб./заказ, издержки хранения одной единицы С_к = 260 руб./год, время доставки 6 дней, 1 год – 250 рабочих дней.

4.3. Годовой спрос 400 ед., стоимость подачи заказа 40 руб./заказ, издержки хранения одной единицы 250 руб./год, время доставки – 6 дней, 1 год – 250 рабочих дней.

 

Решение

Минимальные издержки находятся по формуле:

                                                                    (4.6)

Тогда для  задачи 4.3:

Минимальные издержки

Для задачи 4.5:

Минимальные издержки

Получаем: 2862-2828=34 руб./ год.

Таким образом, издержки увеличатся на 34 руб./год.

Ответ: увеличатся.

 

Задание №5

В таблице для каждого варианта заданы три временных ряда: первый из них представляет ВНП (млрд $) за 10 лет у_t, второй и третий ряд – потребление (млрд $) х_1t  и инвестиции(млрд $) х_2t.

Требуется:

1. Вычислить матрицу коэффициентов парной корреляции и проанализировать тесноту связи между показателями.
2. Построить линейную и нелинейную модели регрессии, описывающие зависимость у_t от факторов х_1t и х_2t
3. Оценить качество моделей. Вычислить среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации.
4. Проанализировать влияние факторов на зависимую переменную (β-коэффициент) и оценить их значимость, найти доверительный интервал.
5. Проверить остатки на нормальность распределения.
6. Определить точечные прогнозные оценки ВНП для 5 наблюдений (объясняющие переменные задать самостоятельно).

Результаты, полученные в EXCEL, необходимо интерпретировать – просто таблицы  без соответствующих выводов  не защитываются.

Номер наблюдения (t=1,2,…,10)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Вариант 18
41	46	49	48	65	55	61	59	65	57
110	125	132	137	160	177	192	215	235	240
42	47	50	48	67	57	61	59	65	54

Решение

Рассмотрим  решение этой задачи с помощью  системы Excel. Найдем коэффициент корреляции между переменными X₁, Х₂ и Y, введем данные в таблицу Excel и вызовем пакет Анализ данных, где выберем режим Корреляция.

	Y	X1	X2
Y	1
X1	0,775486	1
X2	0,984995	0,674939	1

Получили: коэффициенты частной корреляции R_yx1 = 0.775, R_yx2 = 0.985 коэффициент парной корреляции R_x1x2 = 0.675. Так как >0,8, то между результативным фактором и фактором X₂ существует тесная линейная связь (обратная), далее < 0.8, и < 0.8, следовательно, между результативным фактором и фактором Х₁ , а также между факторными признаками связь умеренная.

Далее в  пакете Анализ данных выберем режим  Регрессия. Выберем также вывод  остатков и зададим вывод результатов  на том же листе.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,99635
R-квадрат	0,992713
Нормированный R-квадрат	0,990631
Стандартная ошибка	0,801043
Наблюдения	10
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	611,9083	305,9542	476,8098	3,3E-08
Остаток	7	4,491685	0,641669
Итого	9	616,4
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	1,48414	1,830723	0,810685	0,444231	-2,84483	5,813113
X1	0,035786	0,007698	4,648777	0,002345	0,017583	0,053989
X2	0,853634	0,044027	19,38876	2,42E-07	0,749526	0,957742

Таким образом, модель линейной регрессии  имеет вид:

В модели коэффициент детерминации является высоким R² = 0,9927, т.е. на 99,27% модель объясняет зависимость между переменными. Модель линейной регрессии является значимой, так как расчетное значение F-статистики F_набл = 476,8098, что больше табличного равного F_таб=3,347 (для нахождения табличного значения использовали функцию FРАСПОБР(0,05;10;8)).

Оценим  значимость регрессионных коэффициентов  – t-статистики по модулю достаточно высоки (0,81, 4,64 и 19,388) и кроме того превышают t(таб) = 2,26 для всех коэффициентов, кроме β₀. Получаем, что связь между результативным и факторными показателями является надежной, а величина коэффициента регрессии – значимой.

Стандартная ошибка модели SE равна 0,801, стандартные ошибки коэффициентов равны SE(β₀)=1,83, SE(β₁)=0,008 и SE (β₂)=0,044. Доверительные интервалы коэффициентов (с уровнем доверительной вероятности 0,95) равны (-2,84483; 5,813) для β₀, (0,0176; 0,054) для β₁ и (0,75; 0,96) для β₂.

Среднюю ошибку аппроксимации найдем по формуле

Найдем  теоретические значения прибыли  и значения остатков.

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	модуль
1	41,27327	-0,27327	0,273271
2	46,07824	-0,07824	0,078236
3	48,88964	0,110357	0,110357
4	47,36131	0,638695	0,638695
5	64,40344	0,596557	0,596557
6	56,47546	-1,47546	1,475464
7	60,4268	0,573205	0,573205
8	59,54261	-0,54261	0,542609
9	65,38014	-0,38014	0,380141
10	56,16909	0,830907	0,830907

Просуммируем  их модули и получим следующее  значение средней ошибки аппроксимации:

Модель  считается подобранной удачно, если средняя ошибка аппроксимации находится  в пределах 5-7%.

Проанализируем  по модели влияние факторов на зависимую  переменную: для каждого коэффициента регрессии вычислим β-коэффициент.

β-коэффициент вычисляется по формуле

Средние квадратические отклонения исходных данных найдем в Excel с помощью функции СТАНДОТКЛ, получим

Тогда для β-коэффициентов получаем:

 

Проверим остатки на нормальность распределения графическим способом. Число интервалов равно 4, размах варьирования 0,83 – (-1.47) = 2.3, длина интервала 0,575. Получаем следующие интервалы:

№	Интервал	Частота
1	[-1.47; -0,895)	1
2	[-0,895; -0.32)	2
3	[-0.32; 0,255)	3
4	[0,255; 0,83]	4

 

Строим гистограмму:

Гистограмма не симметричная, значит, остатки не подчиняются нормальному  распределению.

 

 

 

 

Построим теперь модель нелинейной регрессии путем ее сведения к линейной.

Делается  замена переменных: V= Ln(Y), Z=Ln(X), β₀=Ln(a) и строится линейная регрессия:

V= β₀+ β₁Z

Откуда  нелинейная регрессия будет иметь  вид:

Y=Exp(β₀)X ^β1.

Прологарифмируем  значения признаков

lnY	lnX1	lnX2
3,713572	4,70048	3,73767
3,828641	4,828314	3,850148
3,89182	4,882802	3,912023
3,871201	4,919981	3,871201
4,174387	5,075174	4,204693
4,007333	5,17615	4,043051
4,110874	5,257495	4,110874
4,077537	5,370638	4,077537
4,174387	5,459586	4,174387
4,043051	5,480639	3,988984