Контрольная работа по "Экономике"

Получили  следующую таблицу:

	Исходные данные
Работа (1,2)	Работа (1,3)	Работа (2,5)	Работа (3,4)	Работа (3,5)	Работа (4,6)	Работа (5,6)	Работа (6,7)
2	7	6	13	19	13	15	0
1	2	2	6	15	10	4	0
0,6	0,1	0,4	0,8	0,9	0,2	0,3	0
	Дополнительные  средства							Сумма
0	50	0	8,75	4,4444444	0	36,66667	0	99,8611
							B	220
	Фактические длительности работ
2	2	6	6	15	13	4	0
	Моменты начала выполнения работ						Целевая функция
0	0	2	2	2	8	17	21
	Моменты окончания  выполнения работ
2	2	8	8	17	21	21	21

 

Таким образом, общая сумма дополнительно вложенных  денежных средств составляет 99,8611 ден.ед., при этом

в работу (1,3) следует вложить 50 ден.ед., что сократит ее продолжительность на 50·0,1 = 5 ед., и новая длина составит 2 ед.,

в работу (3,4) следует вложить 8,75 ден.ед., что сократит ее продолжительность на 8,75·0,8 = 7 ед., и новая длина составит 6 ед.,

в работу (3,5) следует вложить 4,4444 ден.ед., что сократит ее продолжительность на 4,4444·0,9 = 4 ед., и новая длина составит 15 ед.,

в работу (5,6) следует вложить 36,667 ден.ед., что сократит ее продолжительность на 36,667·0,3 = 11 ед., и новая длина составит 4 ед.

Длина критического пути будет равна 21 ед. Критических путей теперь будет 2: (1-3-5-6-7) и (1-3-4-6-7).

 

 

 

Задание №3

Для изготовления четырех видов продукции  используются три вида сырья.

Ресурсы	Запас ресурсов, ед.	Нормы расхода сырья на единицу продукции
		А	Б	В	Г
I	16	1	1	1	1
II	110	6	5	4	3
III	100	4	6	10	13
Прибыль от реализации единицы продукции, ден.ед.		15	10	120	65

 Необходимо:

1. Записать прямую задачу. Определить план выпуска продукции, при котором прибыль от ее реализации  будет максимальной (при решении задачи показать все промежуточные симплекс-таблицы – просто решить в EXCEL без промежуточных вычислений не допускается – в этом случае задача защитываться не будет. Допускается использование EXCEL для проверки правильности решения). В остальных пунктах использовать таблицы EXCEL для ответа на вопросы допускается – но при этом необходимо их интерпретировать, т.е. пояснить смысл полученных значений.
2. Записать двойственную задачу. Получить решение двойственной задачи. Пояснить экономический смысл полученных объективно обусловленных (теневых) оценок ресурсов.
3. Найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению запаса ресурсов каждого вида.
4. Определить изменение максимальной прибыли от реализации продукции при увеличении запаса ресурса I на 10 ед., ресурса II – на 50 ед. и уменьшении запаса ресурса III на 30 ед. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное влияние.
5. Сопоставить оценку затрат и прибыли по оптимальному плану и каждому виду продукции.

 

Решение

Запишем экономико-математическую модель задачи

,

,

Здесь переменные обозначают объемы производства соответствующих видов продукции, Z – выручка от реализации продукции при заданных ценах (15, 10, 120, 65) и заданных ограничениях по сырью (16, 110, 100).

Решение задачи будем осуществлять при помощи пакета Excel с помощью функции Поиск решения.

Создадим  в Excel следующую таблицу:

	Переменные						Запас
	Х1	Х2	Х3	Х4	Расчет.	Вид
Ресурс					значен.	огран.	сырья
Прибыль	15	10	120	65		max
I	1	1	1	1		≤	16
II	6	5	4	3		≤	110
III	4	6	10	13		≤	100

 

Присвоим  блоку переменных уникальное имя  Переменные, введем формулы для вычисления значений прибыли и используемых ресурсов с использованием функции  СУММПРОИЗВ, умножая и складывая  диапазон Переменные с коэффициентами, находящимися в соответствующих  строках.

Решим задачу оптимизации. Выберем команду Поиск  решения. В поле Установить целевую ячейку выделим ячейку со значением целевой функции модели и выберем максимизировать значение. В поле Изменяя ячейки выделим блок Переменные, в поле Ограничения введем ограничения, накладываемые на решение задачи. В окне Параметры поиска решения установим флажки Линейная модель и Неотрицательные значения. Выполним решение задачи, зададим тип отчета Результаты и Устойчивость.

Запишем первоначальную и все промежуточные симплексные таблицы:

Базис	С	b	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	Θ
			15	10	120	65	0	0	0
х4	0	16	1	1	1	1	1	0	0	16
х5	0	110	6	5	4	3	0	1	0	27,5
х6	0	100	4	6	10	13	0	0	1	10
		0	-15	-10	-120	-65	0	0	0
Базис	С	b	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	Θ
			15	10	120	65	0	0	0
х4	0	6	0,6	0,4	0	-0,3	1	0	-0,1
х5	0	70	4,4	2,6	0	-2,2	0	1	-0,4
х3	120	10	0,4	0,6	1	1,3	0	0	0,1
		1200	33	62	0	91	0	0	12

Получено  следующее решение задачи:

	Переменные						Запас
	Х1	Х2	Х3	Х4	Расчет.	Вид
Ресурс	0	0	10	0	значен.	огран.	сырья
Прибыль	15	10	120	65	1200	max
I	1	1	1	1	10	≤	16
II	6	5	4	3	40	≤	110
III	4	6	10	13	100	≤	100

 

Оптимальный план задачи единиц. Максимальная прибыль равна 1200 единиц.

Определим ценность каждого ресурса и его  приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов. Ресурсы  использованы следующим образом: сырье  вида I не полностью – 10 единиц, сырье вида II не полностью – 40 единиц, сырье вида III полностью – 100 единиц.

Рассмотрим  отчет по устойчивости. Этот отчет  содержит сведения о чувствительности решения к  малым изменениям в  формуле для целевой функции  и в формулах ограничений.

Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
	$B$3	Ресурс Х1	0	-33	15	33	1E+30
	$C$3	Ресурс Х2	0	-62	10	62	1E+30
	$D$3	Ресурс Х3	10	0	120	1E+30	70
	$E$3	Ресурс Х4	0	-91	65	91	1E+30
Ограничения
			Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая  часть	Увеличение	Уменьшение
	$F$5	I значен.	10	0	16	1E+30	6
	$F$6	II значен.	40	0	110	1E+30	70
	$F$7	III значен.	100	12	100	60	100

 

Допустимое  увеличение и уменьшение определяют интервал изменений коэффициентов  целевой функции, внутри которого сохраняются  значения переменных оптимального плана.

В разделе  отчета «Ограничения» теневые цены это двойственные оценки ресурсов, а Допустимое увеличение и уменьшение показывают допустимые диапазоны изменения правых частей ограничений, в пределах которых в оптимальный план входят те же переменные, хотя возможно и с другими значениями.

Приоритетным (дефицитным) является ресурс III вида, его теневая цена 12.

Максимальный  интервал изменения запасов каждого  из ресурсов, в пределах которого структура  оптимального решения, т.е. номенклатура выпускаемой продукции, остается без  изменений: третий ресурс допускает увеличение запасов на 60 единиц и уменьшение на 100 единиц. Увеличение первого и второго ресурсов (поскольку они недефицитные) на любую величину не приведет к изменениям структуры решения, уменьшить же их можно на 6 и 70 единиц, соответственно.

Суммарная стоимостная оценка ресурсов приведена  в столбце Нормированная стоимость показывает изменение целевой функции при увеличении соответствующей переменной на единицу. Например, если ввести x₁ = 1, то x₃ станет меньше, а величина целевой функции изменится на -33, если ввести x₂ = 1 и x₄ = 1, то величина целевой функции изменится на -62 и -91, соответственно.

Интервалы изменения цен на каждый вид продукции, при которых сохраняется структура  оптимального плана приведены в столбцах Допустимое увеличение и уменьшение. Так, на третий вид продукции можно увеличить цену на любое число единиц (или уменьшить на 70), и это не приведет к изменению структуры оптимального плана. На продукцию первого, второго и четвертого типов можно уменьшить цену на любое число единиц. Рентабельными эти типы продукции станут при увеличении цены на них на 33, 62 и 91 денежных единиц, соответственно.

Cформулируем двойственную задачу и составим ее математическую модель. Оценим каждую единицу используемых ресурсов через y_i (i = 1,3).

Экономическая формулировка двойственной задачи имеет  следующий вид: какие оценки надо назначить единице каждого вида сырья, чтобы при заданных количествах сырья, при заданных нормах расхода ресурсов на единицу каждого изделия, при известной прибыли от реализации единицы каждого изделия, получить общую минимальную оценку истраченного сырья.

Так как  экономически основное неравенство  двойственности означает, что стоимость  изготовленного продукта не превосходит  оценки ресурсов, получаем следующую  экономико-математическую модель двойственной задачи: минимизировать целевую функцию