Контрольная работа по "Эконометрике"

• Статистическую значимость уравнения регрессии и показателя тесноты связи проверим расчетом фактического значения критерия Фишера.

количество  данных в модели ( в данном случае 29)

количество  степеней свободы (в данном случае 2)

 

Сравнивая полученное значение с = 3,26, получим => гипотеза о статистической незначимости уравнения отвергается, модель надежна и пригодна для прогнозов.

• Частные F-критерии предназначены для оценки статистической значимости критериев и целесообразности их включения в модель.

= 29,346

Высокие значения полученных коэффициентов  о том, что в регрессионную  модель стоит включить оба фактора, причем фактор является более значимым, чем

(.

Вывод: в ходе работы над п.1 мы получили уравнение множественной регрессии

. Результаты F-теста и расчет средней ошибки аппроксимации означают, что данная модель очень точная и качественная; при этом целесообразнее включать фактор а считать уточняющим. Анализ значений β-коэффициентов, коэффициентов эластичности и линейной корреляции показывает, что влияние фактора смертности на среднюю продолжительность жизни людей в стране выше, чем расходы на здравоохранение.

 

2. Построение линейной, степенной,  показательной и гиперболической  моделей парной регрессии.

 

2.1 Парная линейная модель зависимости  средней продолжительности жизни  в странах Европы от коэффициента  смертности и расходов государства  на здравоохранение в расчете  на душу населения по данным 2011 года.

Исключим  из рассмотрения фактор - расходов на здравоохранение – как менее значимый и построим парную линейную модель. Необходимые данные представлены в таблице Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

Найдём параметр b:                                                 Рассчитаем параметр a:

 

 

 
Таблица 3 – Вспомогательные расчёты для построения парной линейной модели регрессии

№ п/п	Средняя продолжи-тельность жизни, лет,y	Коэффициент смертности, чел/тыс. жит.,x	y^	|y-y^|	Ai
1	79,3000	9,2000	78,40658368	0,893416	1,126628
2	79,0000	9,6000	78,03497222	0,965028	1,221554
3	73,2000	14,6000	73,3898289	0,189829	0,259329
4	78,3000	9,1000	78,49948655	0,199487	0,254772
5	78,7500	9,0000	78,59238941	0,157611	0,20014
6	73,0500	13,0000	74,87627476	1,826275	2,500034
7	79,0500	10,5000	77,19884642	1,851154	2,34175
8	79,0500	8,2000	79,33561235	0,285612	0,361306
9	79,5000	9,4000	78,22077795	1,279222	1,609084
10	78,0500	9,8000	77,84916648	0,200834	0,257314
11	78,0000	6,1000	81,28657254	3,286573	4,213555
12	80,4500	8,6000	78,96400088	1,485999	1,847109
13	79,9000	8,3000	79,24270948	0,657291	0,822641
14	80,0500	9,7000	77,94206935	2,107931	2,633268
15	78,0500	7,7000	79,80012668	1,750127	2,242315
16	79,1500	7,9000	79,61432094	0,464321	0,586634
17	79,2500	8,1000	79,42851521	0,178515	0,225256
18	79,9000	8,5000	79,05690375	0,843096	1,055189
19	76,6500	9,9000	77,75626362	1,106264	1,443266
Окончание таблицы 3 - Вспомогательные расчёты для построения парной линейной модели регрессии
20	78,0000	10,0000	77,66336075	0,336639	0,431589
21	72,0000	12,1000	75,71240056	3,712401	5,156112
22	75,2000	14,2000	73,76144036	1,43856	1,912978
23	75,0500	9,8000	77,84916648	2,799166	3,729735
24	76,6500	9,1000	78,49948655	1,849487	2,412898
25	78,7500	9,5000	78,12787508	0,622125	0,79
26	81,0000	8,5000	79,05690375	1,943096	2,398884
27	76,5000	10,2000	77,47755502	0,977555	1,27785
28	80,7000	8,0000	79,52141808	1,178582	1,460448
29	80,7000	9,6000	78,03497222	2,665028	3,302389
ИТОГ	2263,2000	278,2000	2263,2000	37,2512	48,0740
Среднее значение	78,0414	9,5931	x	x	2,381419
СКО	2,335522867	1,830570108	x	x	x
ДИСПР	5,454667063	3,35098692	x	x	x

Уравнение парной линейной регрессии зависимости  средней продолжительности жизни (y) от коэффициента смертности ( выглядит так:

 

Таким образом, с увеличением коэффициента смертности на одну тысячу, средняя продолжительность жизни снижается на 0,929%-ных пункта.

Начнем  расчет показателей для последущего  анализа модели.

Определим значение линейного коэффициента парной корреляции:

и коэффициента детерминации:

 

Судя  по полученным результатам, связь между факторным (х) и результативным (у) признаками обратная, ближе к сильной. Вариация результативного признака на объясняется вариацией факторного, оставшаяся часть (47%) вызвана признаками, не вошедшими в модель.

Подставив в полученное уравнение парной линейной регрессии 

фактические значения факторного признака , определим  теоретические значения y.

Найдём  среднюю ошибку аппроксимации:

= 2,3814%, что говорит о достаточно высокой точности модели, т.к. рассчитанные значения y отклоняются от фактических на указанную величину, которая в принципе невелика.

Проведём  F-тест, рассчитаем фактическое значение F-критерия:

 

 

30,47; ,значит, гипотеза о статистической незначимости парной линейной модели зависимости средней продолжительности жизни от коэффициента смертности не принимается и признаётся статистическая значимость параметров полученного уравнения линейной функции.

Построим  график полученной модели.

 

 

 

 

2.2 Парная степенная модель зависимости  средней продолжительности жизни в странах Европы от коэффициента смертности и расходов государства на здравоохранение в расчете на душу населения по данным 2011 года.

 

Теперь  зависимость средней продолжительности  жизни от смертности представим в  виде парной степенной модели Уравнение парной степенной регрессии имеет вид:    

 

Проведём  линеаризацию переменных путём логарифмирования обеих частей уравнения:

Найдём  C и b:

-0,1175

2,0066

 

Получим линейное уравнение  *X  и выполним его потенцирование. Получим:

Рассчитаем  теоретические значения результативного  признака (см. в таблице, графа 6)

Тесноту связи числа оценим с помощью  индекса корреляции:

 

Степенная модель показывает, что связь между  средней продолжительностью жизни  и коэффициентом смертности умеренная. Однако она слабее, чем в линейной

(.

 

Таблица 4 - Вспомогательные расчеты для построения парной степенной модели

№ п/п	Средняя продол-житель-ность жизни, лет,y	Коэффи-циент смерт-ности, чел/тыс. жит.,x	Y	X	y^	y-y^	Ai	(y-y^)^2
1	79,3000	9,2000	1,8993	0,9638	78,23650918	1,0635	1,341098	1,131013
2	79,0000	9,6000	1,8976	0,9823	77,84640217	1,1536	1,46025	1,330788
3	73,2000	14,6000	1,8645	1,1644	74,1058744	-0,9059	1,237533	0,820608
4	78,3000	9,1000	1,8938	0,9590	78,33700155	-0,0370	0,047256	0,001369
5	78,7500	9,0000	1,8963	0,9542	78,43873558	0,3113	0,395256	0,096886
6	73,0500	13,0000	1,8636	1,1139	75,12307375	-2,0731	2,837883	4,297635
7	79,0500	10,5000	1,8979	1,0212	77,03135341	2,0186	2,553633	4,074934
8	79,0500	8,2000	1,8979	0,9138	79,30106575	-0,2511	0,317604	0,063034
9	79,5000	9,4000	1,9004	0,9731	78,03913676	1,4609	1,837564	2,134121
10	78,0500	9,8000	1,8924	0,9912	77,65810317	0,3919	0,50211	0,153583
11	78,0000	6,1000	1,8921	0,7853	82,10503117	-4,1050	5,26286	16,85128
12	80,4500	8,6000	1,9055	0,9345	78,85869209	1,5913	1,978009	2,532261
13	79,9000	8,3000	1,9025	0,9191	79,18824658	0,7118	0,890805	0,506593
14	80,0500	9,7000	1,9034	0,9868	77,75171036	2,2983	2,871068	5,282135
15	78,0500	7,7000	1,8924	0,8865	79,88922144	-1,8392	2,356466	3,382735
16	79,1500	7,9000	1,8985	0,8976	79,64897599	-0,4990	0,630418	0,248977
17	79,2500	8,1000	1,8990	0,9085	79,41543294	-0,1654	0,208748	0,027368
18	79,9000	8,5000	1,9025	0,9294	78,96709685	0,9329	1,167588	0,870308
19	76,6500	9,9000	1,8845	0,9956	77,56555731	-0,9156	1,194465	0,838245
20	78,0000	10,0000	1,8921	1,0000	77,47405021	0,5259	0,674295	0,276623
21	72,0000	12,1000	1,8573	1,0828	75,75877204	-3,7588	5,220517	14,12837
22	75,2000	14,2000	1,8762	1,1523	74,34806002	0,8519	1,132899	0,725802
23	75,0500	9,8000	1,8754	0,9912	77,65810317	-2,6081	3,475154	6,802202
24	76,6500	9,1000	1,8845	0,9590	78,33700155	-1,6870	2,200915	2,845974
25	78,7500	9,5000	1,8963	0,9777	77,94220269	0,8078	1,025774	0,652536
26	81,0000	8,5000	1,9085	0,9294	78,96709685	2,0329	2,509757	4,132695
27	76,5000	10,2000	1,8837	1,0086	77,29406545	-0,7941	1,037994	0,63054
28	80,7000	8,0000	1,9069	0,9031	79,53138891	1,1686	1,448093	1,365652
29	80,7000	9,6000	1,9069	0,9823	77,84640217	2,8536	3,536057	8,143021
Итог	2263,200	278,2000	54,8717	28,2668	2262,664364	0,535636	51,35207	84,34729
Ср.зн.	78,0414	9,5931	1,8921	0,9747	x	x	1,410416
СКО	2,335522867	1,830570108	0,0132	0,0780	x	x	x
Диспр	5,454667063	3,35098692	0,0002	0,0061	x	x	x

Рассчитаем  значение индекса детерминации:

= 0,4668

При использовании степенной модели зависимости средней продолжительности жизни от коэффициента смертности вариация результативного признака объясняется вариацией факторного на , остальная доля вариации зависит от прочих показателей.

Найдём  среднюю ошибку аппроксимации:

= 1,4104%, что говорит о высокой точности модели, поскольку отклонение рассчитанных результатов от теоретических невелико

Проведём  F-тест качества уравнения степенной регрессии. Определим фактическое значение F-критерия:

23,64; , статистическая значимость параметров уравнения степенной функции   доказана .

Построим  график полученной модели.

 

 

 

2.3 Парная показательная модель  средней продолжительности жизни в странах Европы от коэффициента смертности и расходов государства на здравоохранение в расчете на душу населения по данным 2011 года.

Для описания данной зависимости составим уравнение вида : . Предварительно проведём  линеаризацию переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

где  

 

Найдем  параметры A и B:

-0,052

1,9428

 

Линейное  уравнение имеет вид:                                              . Произведём его потенцирование и запишем в обычной форме: = =86,6616*

Используя полученное уравнение регрессии  определим теоретические значения результата (см.табл.).

Оценим  тесноту связи между результатом  и фактором через индекс корреляции:

 

Связь между средней продолжительностью жизни и коэффициентом смертност умеренная, ближе к сильной.

 

Таблица 5 - Вспомогательные расчеты для построения парной показательной модели

№ п/п	Средняя продол-житель-ность жизни, лет,y	Коэффи-циент смерт-ности, чел/тыс. жит.,x	Y	y^	|y-y^|	Ai
1	79,3000	9,2000	1,899273187	78,37955228	0,9204477	1,160716
2	79,0000	9,6000	1,897627091	77,99907242	1,0009276	1,266997
3	73,2000	14,6000	1,864511081	73,39604931	0,1960493	0,267827
4	78,3000	9,1000	1,893761762	78,47496189	0,1749619	0,223451
5	78,7500	9,0000	1,896250562	78,57048764	0,1795124	0,227952
6	73,0500	13,0000	1,86362022	74,8386673	1,7886673	2,448552
7	79,0500	10,5000	1,897901874	77,14973209	1,9002679	2,403881
8	79,0500	8,2000	1,897901874	79,33889166	0,2888917	0,365454
9	79,5000	9,4000	1,900367129	78,18908092	1,3109191	1,648955
10	78,0500	9,8000	1,892372907	77,80952567	0,2404743	0,308103
11	78,0000	6,1000	1,892094603	81,39189612	3,3918961	4,348585
12	80,4500	8,6000	1,905526048	78,95375486	1,4962451	1,859845
13	79,9000	8,3000	1,902546779	79,24243169	0,6575683	0,822989
14	80,0500	9,7000	1,903361336	77,9042414	2,1457586	2,680523
15	78,0500	7,7000	1,892372907	79,82295566	1,7729557	2,271564
16	79,1500	7,9000	1,898450919	79,62897666	0,4789767	0,605151
17	79,2500	8,1000	1,898999271	79,43546905	0,1854691	0,23403
18	79,9000	8,5000	1,902546779	79,04986343	0,8501366	1,064001
19	76,6500	9,9000	1,884512159	77,7149251	1,0649251	1,389335
20	78,0000	10,0000	1,892094603	77,62043954	0,3795605	0,486616
21	72,0000	12,1000	1,857332496	75,66256516	3,6625652	5,086896
22	75,2000	14,2000	1,876217841	73,7540756	1,4459244	1,922772
23	75,0500	9,8000	1,875350697	77,80952567	2,7595257	3,676916
24	76,6500	9,1000	1,884512159	78,47496189	1,8249619	2,380903
25	78,7500	9,5000	1,896250562	78,09401888	0,6559811	0,832992
26	81,0000	8,5000	1,908485019	79,04986343	1,9501366	2,407576
27	76,5000	10,2000	1,883661435	77,43181291	0,9318129	1,218056
28	80,7000	8,0000	1,906873535	79,532164	1,167836	1,447133
29	80,7000	9,6000	1,906873535	77,99907242	2,7009276	3,346874
Итог	2263,2000	278,2000	54,87165	2262,719035	37,524282	48,40464
Ср.знач	78,0414	9,5931	1,8921259	x	x	1,669126
СКО	2,335522867	1,830570108	0,0132267	x	x	x
ДИСПР	5,454667063	3,35098692	0,0001749	x	x	x

 

Определим индекс детерминации:

= 0,5257

Получается, что вариация продолжительности жизни на     объясняется вариацией коэффициента смертности в странах . Оставшаяся доля объясняется вариацией признаков, не вошедших в модель.

Рассчитаем  среднюю ошибку аппроксимации:

= 1,6691%, что означает высокую точность показательной модели, поскольку отклонение рассчитанных значений результативного признака и его фактических значений мало.

Проверим  гипотезу H₀ о статистической незначимости полученного уравнения показательной регрессии   =86,6616* и индекса корреляции. Найдём фактическое значение F-критерия:

29,9316; , что доказывает статистическую значимость полученной модели и ее пригодность для прогнозов.

В целом показательная функция  =86,6616* описывает зависимость лучше степенной, но хуже линейной. В заключение построим её график.

 

2.4 Парная гиперболическая модель  зависимости числа зарегистрированных  за 2001 г. в субъекте Российской  Федерации краж и грабежей  от определённого в среднем  за 2001 г. в субъекте числа безработных.

Построим парную модель равносторонней гиперболы для отражения зависимости средней продолжительности жизни от коэффициента смертности.

Уравнение разносторонней гиперболы

Введем  переменную

Тогда

Найдём  значения параметров регрессии a и b:

78,0736

69,6354

 

Получим уравнение равносторонней гиперболы:

Рассчитаем  теоретические значения результативного  признака (см.табл)

Найдём  значение индекса корреляции:

 
Связь между средней продолжительностью жизни и коэффициентом смертности прямая, умеренная.

Рассчитаем  индекс детерминации

= 0,3926

Это означает, что вариация результативного признака лишь на  39% объясняется вариацией факторного призкана. Среди всех моделей парной корреляции данное значение индекса детерминации наименьшее.

 

Таблица 6 – Данные для расчета  парной модели равносторонней гиперболы