Контрольная работа по "Эконометрике"

  
 
 
 
 
 

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведём аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда. Линейная функция имеет вид:

= a + b×t.

Параметры a и b согласно методу наименьших квадратов находятся решением системы нормальных уравнений: 

где y - фактические (эмпирические) значения результативного признака; x - факторный признак. 
Разделив обе части уравнений системы на n, получим систему нормальных уравнений в виде:

 
Решение этой системы относительно искомых параметров дает следующие  выражения:

 

 
Для расчета  параметров вычислим необходимые величины в Таблице 10

 

a = 8.515-0,199×10.5 = 6,425

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

T = 0.199×t  + 6,425

Подставляя в  это уравнение значения t = 1,……..,20, найдём уровни T для каждого момента времени (графа 7 Таблицы 10).

Рисунок 1- Потребление электроэнергии (фактические, выравненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда)

Шаг 5. Найдём значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (T+S) представлены на Рисунке 1.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчёт ошибки производится по формуле

E=Y-(T+S)

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в графе 9 Таблицы 10.

Теперь найдём отношение суммы квадратов  случайной  компоненты к общей сумме квадратов  отклонений уровней ряда от его среднего значения: 

Вывод: Построенная аддитивная модель объясняет 99,53% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии за 20 кварталов исследуемых 5-ти лет и её можно использовать в прогнозах будущего потребления электроэнергии. 
 
 
 
 
 

    Построим  мультипликативную  модель.

Шаг 1.

Таблица 11 - Расчёт оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

  

Шаг 2. Найдём оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (графа 6 Таблицы 11).

     Используем  эти оценки для расчёта значений сезонной компоненты S (Таблица 12).

     Для этого найдём средние за каждый квартал  оценки сезонной компоненты .

     Взаимопогашаемость  сезонных воздействий  в мультипликативной  модели выражается в том, что сумма  значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 4 (четыре квартала).

Таблица 12 - Расчёт значений сезонной компоненты в мультипликативной  модели

 

Для данной модели имеем:   0,81 + 0,88 + 1,33 + 1,13 = 4,15

Определим корректирующий коэффициент : k = = 0,964

Рассчитаем скорректированные  значения сезонной компоненты как произведение  между её средней оценкой и  корректирующим коэффициентом k :

  × k,

где i = 1: 4.

Проверим условие  равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

0,781 + 0,848 + 1,282 + 1,089 = 4

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: = 0,781;

II квартал: = 0,848;

III квартал: = 1,282;

IV квартал: = 1,089. 
 

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым получим величины T×E = Y÷S (графа 4 Таблицы 13), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 13 - Расчёт выравненных значений T и ошибок Е в мультипликативной модели

 

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведём аналитическое выравнивание ряда (Т×Е) с помощью линейного тренда. Линейная функция имеет вид:

= a + b×t.

 

 
Для расчета  параметров вычислим необходимые величины в Таблице 13

 

a = 8.808 - 0,205×10.5 = 6,656

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

T = 0.205×t  + 6,656

Подставляя в  это уравнение значения t = 1,……..,20, найдём уровни T для каждого момента времени (графа 7 Таблицы 13).

Рисунок 2- Потребление электроэнергии жителями района (фактические, выравненные и полученные по мультипликативной модели значения уровней ряда) 

Шаг 5. Найдём уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни T на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (T×S) представлены на Рисунке 2.

Шаг 6. Расчёт ошибки в мультипликативной модели производится по формуле: 

Численные значения ошибки приведены в графе 9 Таблицы 13. Для того чтобы сравнить мультипликативную модель и другие модели временного ряда используем метод суммы квадратов абсолютных ошибок.

Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются так: 

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 130,07

Теперь найдём отношение суммы квадратов  случайной  компоненты к общей сумме квадратов  отклонений уровней ряда от его среднего значения: 

Вывод: Построенная мультипликативная модель объясняет 99,5% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии за 20 кварталов исследуемых 5-ти лет и её можно использовать в прогнозах будущего потребления электроэнергии.

5) Рассчитаем прогнозные  значения на очередной следующий год

 5a) Прогнозирование по аддитивной модели.

Прогнозное значение уровня временного ряда в соответствии с соотношением Y=T+S+E есть сумма трендовой и сезонной компонент.

Объём электроэнергии, потреблённой в течение следующего года, т.е шестого года, рассчитывается как сумма объёмов потребления  электроэнергии в 4-х кварталах шестого  года, соответственно . Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда аддитивной модели: T = 0.199×t  + 6,425