Сітьове планування з урахуванням вартості робіт та умов ризику щодо тривалостей операцій

     

     Незалежні резерви часу намагаються використовувати  тоді, коли попередня робота завершилась  у пізній допустимий термін, а наступні роботи хочуть виконати в ранні терміни [5,306].

     Для кожної з робіт усі три види резервів часу задовольняють нерівність:

                                                M(i, j)≥ N(i,j)≥ P(i, j)≥0.                                             (14)

     Отже, якщо вільний резерв часу можна використовувати  при збільшенні тривалості як попередніх , так і наступних робіт, то незалежний резерв часу можна використовувати  тільки на збільшення тривалості даної  роботи. 
 
 

Розділ 2. Аналіз сітьового планування 

     2.1. Постановка задачі сітьового планування з урахуванням вартості виконання робіт

     Тривалість  виконання окремих робіт може бути скорочена за рахунок скорочення додаткових фінансових ресурсів. У таких випадках залежність вартості виконання проекту від терміну його виконання є спадною: більшій тривалості виконання проекту відповідають менші витрати, і навпаки – меншій тривалості відповідають більші витрати [4, 186].

     Але при затримці із закінченням проекту  можуть мати місце додаткові збитки, пов’язані із штрафами за порушення умов контракту на виконання проекту. Тобто залежність витрат, пов’язаних із запізненням завершення проекту, є зростаючою від тривалості строку виконання проекту.

     Постає  проблема визначення такої стратегії  виконання проекту, при якій загальні витрати, що пов’язані із виконанням проекту і з втратами внаслідок затримки із його завершенням, будуть мінімальними (рис.4).

     

     Опрацюємо спочатку питання про оптимізацію  сітьового графіка за показником вартості виконання проекту для випадку, коли задано директивний термін завершення всього комплексу робіт T _d.

     Нехай {1,2,…,n} – множина вершин сітьового графіка,U – множина його дуг. Припустимо, що тривалість t_ij роботи (i,j U) може змінюватись у певних межах від d_ij до D_ij одиниць часу, де D_ij – тривалість цієї роботи, скажімо, у нормативному режимі, а d_ij – тривалість її виконання у максимально прискореному режимі.

     Нехай c_ij – вартість виконання роботи (i, j) у нормальному режимі, а c_ij + c_ij – витрати на її виконання у максимально прискореному режимі. Припустимо, що залежність вартості z_ij від тривалості виконання t_ij є лінійною:

                                         z_ij = c_ij +                                        (15)

що ілюструє рисунок 5.

       
 

     

 

     Тоді  задача оптимізації сітьового графіка  за показником мінімізації загальної  вартості z з виконання проекту, з урахуванням вимоги завершення проекту у заданий директивний термін T _d, набирає вигляду:

      Знайти t_ij, z_ij, T_i, T_j, i,j =1,…,n, що належать області G, визначеної умовами:

     

і мінімізують  функцію цілі:

                                                                                              (19)

     Задача (16) - (19) є задачею лінійного програмування з двосторонніми обмеженнями на t_ij . Якщо її розв’язок існує, тобто коли є можливість виконати проект за директивний термін T _d, результатом розв’язування задачі будуть такі тривалості виконання кожної з робіт t_ij*, (i,j U), за яких вартість виконання z* всього проекту буде найменшою.

     У загальному випадку задачу оптимізації  сітьового графіка з урахуванням  часу та вартості можна розглядати як двоцільову проблему:

                                                                                                                         (20)   

в якій перша цільова функція орієнтує на найскоріше виконання проекту ( терміну  настання кінцевої події), а друга  – на мінімізацію витрат, пов’язаних із виконанням проекту. Обмеження (16) – (18) визначають множину допустимих планів.

     Таким чином, задачу (16) – (19) слід розглядати лише як спрощений підхід до розв’язання цільової проблеми оптимізації сітьового графіка. Наступним кроком здійснення цільової оптимізації буде дослідження задачі (16) – (19) як параметричної відносно директивного терміну виконання проекту T _d. Це дозволить визначити залежність оптимальної вартості z* від T _d (рис.6), що є корисним для узгодження термінів виконання проекту та необхідних для цього витрат.

  
 

     Досі  при плануванні проекту враховувалися лише витрати, що пов’язані із скороченням термінів виконання окремих робіт. Далі опрацюємо питання про те, як додатково враховувати втрати, пов’язані із затримкою з виконанням проекту [4, 192].

     Нехай T _d – нормативний термін завершення проекту, s- втрати, що пов’язані із затримкою закінчення проекту на одиницю часу понад нормативний термін його виконання.

     Час затримки із виконанням проекту t обчислюється за формулою:

                                                                                               (21)

де  T _n – термін настання кінцевої п- ої події сітьового графіка.

     Тому  додаткові витрати через затримку завершення проекту складуть величину st грошових одиниць. Щоб врахувати ці витрати при оптимізації сітьового графіка за показником мінімізації вартості, до економіко-математичної моделі (16) – (20) слід ввести такі корективи:

1. замінити цільову функцію (20) на функцію:

                                                                                                      (22)

     Яка враховує як витрати, що пов’язані із виконанням проекту (перший доданок), так і втрати внаслідок закінчення проекту із запізненням понад нормативний термін T _d (другий доданок);

2. обмеження (18) ( ) замінити умовами, які відбивають можливість запізнення із закінченням проекту на термін t :

                                                                t>0.                                                    (23)

     В оптимальному плані скоригованої задачі значення t* змінної t задовольнятиме умову:

                                                                                                         (24)

тобто являтиме собою оптимальний термін можливої затримки із завершенням проекту  понад нормативний термін T _d , якщо це технологічно необхідно та економічно виправдано.  

2.2. Постановка задачі сітьового планування за умов ризику щодо тривалості операцій

     У практичному застосуванні сітьового  планування виконання проекту часом  трапляються ситуації, коли одна або декілька робіт можуть бути не детермінованими. Тобто тривалість t_ij роботи є випадковою величиною з проміжку , яка має β– розподіл з параметрами α та γ [4, 192].

     Функція щільності ймовірностей β– розподіленої на відрізку a_ij,b_ij випадкової величини визначається у вигляді:

                                                                                (25)

де В, α, γ > 0; В визначається через параметри розподілу α та γ за формулою :

                                                            .                                    (26)

Графік  цієї функції:

 

            Статистичні характеристики β- розподіленої випадкової величини обчислюються за формулами:

• очікуване значення :
• стандартне відхилення:

де m_ij – модальне (найімовірніше) значення цієї випадкової величини;

     α =     γ =

           Таким чином, для знаходження статистичних характеристик випадкової величини t_ij  тривалості роботи потрібно визначити (як правило, експертним методом) лише три її оцінки :

• оптимістичну (найменше значення) - ;
• песимістичну (найбільше значення) - ;
• модальну (найімовірніше значення) - m_ij .

        На основі наведених оцінок  статистичні характеристики випадкової  тривалості t_ij роботи   обчислюється за формулами:

• очікуване значення :                                                               (27)
• стандартне відхилення :                                                                 (28)

     Якщо  тривалості робіт не детерміновані, тривалість T виконання проекту теж буде не детермінованою, тобто її слід розглядати як випадкову величину. Статистичні характеристики цієї випадкової величини обчислюються за результатами дослідження сітьового графіка. Якщо у сітьовому графіку за тривалості виконання робіт обрати їх очікувані значення, очікувана тривалість виконання проекту збігатиметься з довжиною відповідного критичного шляху.

     Дисперсію випадкової величини тривалості виконання проекту T  обчислюють у припущенні про статистичну незалежність випадкових термінів виконання окремих робіт. Ця дисперсія є сумою дисперсій тривалостей робіт, які утворюють критичний шлях у сітьовому графіку з очікуваними тривалостями виконання робіт :                                                                                   (29)

     де  U*- множина дуг, які утворюють критичний шлях.

     Примітка. Якщо критичних шляхів декілька, то слід обрати шлях із найбільшою дисперсією довжини [4, 194].

     Оскільки  на тривалість T виконання проекту впливає велика кількість різних чинників, водиться поняття припущення, що T є нормально розподіленою випадковою величиною. Це припущення дозволяє, зокрема, оцінювати імовірності подій завершення проекту до певної календарної дати або у певний проміжок часу.

       
 

2.3. Методи оптимізації плану комплексу робіт.

     Аналіз  графу мережі дозволяє оцінити доцільність обраної структури графу, тобто класифікацію робіт та їх послідовність, завантаження виконавців робіт, можливості зміщень в часі виконання робіт некритичних шляхів. Якщо оцінки термінів виконання робіт мають ймовірнісний характер, то аналіз сітьового планування дає можливість оцінити ймовірність виконання повного комплексу робіт з реалізації плану в заданий термін [5, 224].